初中二次函数三角形面积问题透析
初中二次函数三角形面积问题研究
初中二次函数三角形面积问题研究初中二次函数是初中数学中的一个重要内容，而与二次函数相关的三角形面积问题也是我们在数学学习中常常遇到的。
在学习二次函数和三角形面积问题的过程中，我们不仅可以掌握基本的数学知识，还能培养逻辑思维和解决问题的能力。
本文将对初中二次函数与三角形面积问题进行研究，以期更好地理解和运用这些知识。
我们来了解一下二次函数的基本概念。
二次函数是指函数y=ax^2+bx+c（a≠0）形式的函数，其中a、b、c是实数，x是自变量，y是因变量。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负，抛物线的开口向上时a>0，开口向下时a<0。
在初中阶段，我们主要学习了二次函数的基本性质、图像、平移和对称性等内容。
而对于三角形的面积问题，我们也需要了解一些相关概念。
三角形的面积公式为S=1/2 * 底 * 高，其中S为三角形的面积，底为三角形的底边长，高为三角形的高。
我们还学习了利用三角形的边长及夹角关系进行三角形面积的计算等内容。
接下来，我们将结合二次函数和三角形面积问题，进行一些具体的研究和思考。
首先我们来看一个问题：问题：如图所示，抛物线y=ax^2+bx+c的图像与x轴围成一个封闭图形，过点A（1,0）和点B（2,0），抛物线的顶点P在线段AB上，求这个封闭图形的面积。
解析：根据题意，我们可以知道抛物线的顶点P在线段AB上，且过点A和点B，所以线段AB的长度为1。
由于抛物线的顶点在线段AB上，那么抛物线的最低点也在线段AB上，因此我们只需要求出抛物线和x轴围成的封闭图形的面积，即可满足题目要求。
接下来我们思考如何求解这个面积。
我们需要确定抛物线的方程y=ax^2+bx+c，根据题意可以求出顶点P的坐标（h,k）。
然后我们可以利用定积分的方法来求解这个封闭图形的面积。
由于抛物线和x轴围成的封闭图形关于x轴对称，我们只需求出抛物线上半部分的面积，再乘以2即可得到整个封闭图形的面积。
初中二次函数三角形面积问题研究
初中二次函数三角形面积问题研究三角形是初中数学中的重要内容之一，常常涉及到三角函数和面积的计算。
本文主要研究的是三角形面积问题中的二次函数方法。
通过二次函数的性质和特点，探讨如何利用二次函数求解三角形面积，为初中生深入学习三角函数和面积计算提供一些思路和方法。
一、三角形面积的几何意义三角形是由三条不平行的线段组成的图形。
两条线段之间的夹角叫做这两条线段所组成的角。
三角形有三个内角，它们的和为180度。
我们可以用这三个角和三条边的长度来确定一个三角形。
三角形的面积是三角形内部的平面图形所占的面积，通常用“S”表示。
根据三角形的定义，我们可以将三角形分为不同类型。
常见的三角形有直角三角形、等腰三角形、等边三角形等等。
对于不同类型的三角形，我们需要采用不同的方法来计算它们的面积。
对于一般的三角形，我们可以使用海伦公式或正弦公式、余弦公式等方法求解其面积。
但如果对于已知三角形的两条边和夹角的情况下，我们可以采用二次函数来求解三角形面积。
例如，已知三角形两个边长为a、b，夹角为θ，如下图所示。
设S为三角形的面积，则根据三角形的面积公式，可得：S=1/2×a×b×sinθ将sinθ用二次函数表示，则：sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)其中，θ/2表示夹角θ的一半，sin(θ/2)和cos(θ/2)均为可由θ计算而得的值，是已知条件。
由于三角形的两条边长已知，我们可以将sinθ用二次函数表示，进一步求出三角形的面积。
化简得：这个公式与海伦公式是等价的，但它更便于计算和理解。
三角形面积的大小由边长和夹角大小共同决定，因此可以用三个参数a、b、θ描述。
这也是二次函数方法求解三角形面积的特点之一。
三、二次函数方法的应用二次函数方法计算三角形面积可以应用于数学的多个章节，例如解析几何、三角函数等。
在三角函数的学习中，除了正弦、余弦公式，二次函数方法也是一种常见的计算三角形面积的方法。
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
解决此类题目的基本步骤与思路:1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想.3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
初中二次函数三角形面积问题研究
初中二次函数三角形面积问题研究二次函数是中学数学中一个重要的内容，在这个领域中，二次函数的概念、性质和应用都是值得深入探究的。
本文将主要讨论二次函数在解决三角形面积问题中的应用。
一、二次函数基本概念和性质1.函数与变量函数是一个集合，包含输入和输出两个部分。
输入称为自变量，输出称为函数值或因变量。
在数学中，一般用f(x)表示函数。
2.二次函数二次函数是函数的一种，其函数公式为：f(x) = ax² + bx + c （a≠0）。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项系数。
它的图象大致为开口向上或开口向下的抛物线。
• 当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下。
• 当二次项系数a>0时，函数f(x)在顶点处有极小值；当a<0时，函数f(x)在顶点处有极大值。
• 二次函数的图象关于其顶点对称。
• 二次函数的轴对称线为x=-b/2a。
1.对于已知底边和高的三角形，其面积可以表示为：S = 1/2bh其中，b表示底边长度，h表示高。
可以将h看做自变量x，那么S就可以看做函数y。
此时，S与h的函数关系为：S取得最大值时，即y取得最大值时，对应的x为h的值，此时可以通过求解二次函数的顶点，得到最大值。
即：x=-b/2a，则h=-b/2a将h代入y=1/2bx中，可以得到S的最大值。
y = -1/2ab*cosx+a/2ab+b可以通过求解二次函数的顶点，得到最大值。
由于sinC的范围在[-1,1]之间，当cosC=-1时，S取得最大值。
此时，对应的C为90度，即三角形为直角三角形。
三、例题解析1.已知等腰直角三角形的斜边长为10，求其面积的最大值。
解：由等腰直角三角形的性质可知，其腰长相等，斜边为√2倍腰长，则可设其底边长为x，高为h，则x²+h²=100 （因为斜边长等于10）h=x将y看做二次函数的函数值，将x看做自变量，可以得到二次函数的函数公式：可以通过求解二次函数的顶点，得到最大值。
二次函数中三角形问题(含问题详解)
二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。
C 是抛物线的顶点。
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。
①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。
例2：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， （1）求m 的取值范围；（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式； （3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。
(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。
A BC DO E x y(第25题图)例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．二．与三角形形状例5. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．图2图1例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．x 图①x 图②x 图③例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方， 那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)(第25题图)三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法二次函数是一种广泛应用于数学解题中的重要运算工具，有时需要根据给定的几何图形求解相关表达式，比如求出三角形的面积。
三角形面积问题在很多学科中都有着广泛的应用，下面将介绍三种求解三角形面积的方法，这三种方法均基于二次函数的概念。
第一种求解三角形面积的方法是通过使用二次函数的半径求解。
首先，根据给定的三角形边长，使用勾股定理求出该三角形的半径，然后用半径公式计算出三角形的面积，半径公式为πr/2，其中π是常数3.14159。
这种方法的优点是简单易行，只需要掌握勾股定理和半径公式即可求解三角形的面积。
第二种求解三角形面积的方法是使用三角函数求解。
有些三角形的边长有着特殊的关系，可以使用三角函数求出三角形的面积。
举例来说，如果某三角形的三条边长分别为a,b,c，那么可以使用以下公式求出此三角形的面积：S= a*b*sin(c)/2。
这种方法的优点是可以准确求出三角形的面积，但是要掌握的知识比较多，需要熟练掌握三角函数的概念。
第三种求解三角形面积的方法是使用二次函数求解。
如果给定三角形的三条边长都可以用二次函数表示，那么可以使用椭圆公式求解三角形的面积。
椭圆公式为S=∫ab√(f(x))dx，其中f(x)表示三角形边长可以表示为二次函数的表达式，a,b表示积分下限和上限。
这种方法的优点是准确度高，但使用难度也比较大，需要掌握椭圆公式和二次函数的概念。
以上就是介绍了三种求解三角形面积的方法。
不同的求解方法都有各自的优势和局限性，在不同场景下要根据实际情况选择合适的求解方法，使用二次函数可以有效地求出三角形的面积。
初中数学二次函数中三角形面积问题解析
∙∙∙∙初中数学二次函数中三角形面积问题解析一、命题意图二次函数中三角形面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,题型常考常新,体现了数形结合、化归转化、分类讨论数学思想等。
如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合，就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习，以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想，让学生学会自主思考问题的过程。
二、考点及对应的考纲要求初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点,这其中牵涉了二次函数与几何问题的融合,是初中数学课程中的一个难点。
求面积常用的方法：（1）直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。
（2）简单的组合，解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。
（3）面积不变同底等高或等底等高的转换，利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。
（4）如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”. 可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
三、试题讲解过程如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2C （0，－4）三点.（1）求该抛物线的解析式； （2）若点D 是该抛物线上一动点，且在第四象限，当∆面积最大时，求点D 的坐标.解:（1）解法一: 由题意得，c=－4, ∴⎩⎨⎧=-+=--0441604b a b a ,解得：⎩⎨⎧-==31b a , ∴=x y 解法二: 由题意得，设y=a （x+1）（x-4）, ∴∴y=（x+1）（x-4）, ∴432--=x x y ,（2）解法一:由（1）可知，y=x 2－3x －4,设点D 为（x, x 2－3x －4）,过点D 作DE ∥OC 交BC 设直线BC 的解析式为y=kx ＋b,则∙∙∙⎩⎨⎧=+-=044b k b ，∴⎩⎨⎧-==41b k ，∴y=x －4, ∴E （x, x －4）∴DE=（x －4）－（x 2－3x －4）= －x 2＋4x,∵a=－1＜0, ∴当x=2时, DE 取最大值，S △BCD 解法二：由（1）可知，y=x 2－3x －4, 设点D 为（x,y ）,过点D 作DF ⊥OB 于点F,S △BCD =S 梯形OCDF ＋S △BDF －S △OBC=21x （4-y ）＋21（-y ）（4-x ）－8 =2x －2y －8=2x －2（x 2－3x －4）－8=－2x 2＋8x,∵a=－2＜0, ∴当x=2时, S △BCD 取最大值，∴D （2,－6解法三:由（1）可知，y=x 2－3x －4, 过点D 作DE ∥设直线BC 的解析式为y=kx ＋b, 则⎩⎨⎧=+-=044b k b ，∴⎩⎨⎧-==41b k ，∴y=x －4,∴设直线DE 的解析式为y=x ＋d,则x 2－3x －4=x ＋d, x 2∴当△=（-4）2-4（-4-d ）=0, d=-8, S △BCD 取最大值， ∴x 2－4x ＋4=0, ∴（x-2）2=0, ∴x 1=x 2=2, ∴D （2,－6）. 四、试题的拓展延伸及变式分析如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2C （0，3）三点.（1）若点D 是抛物线的对称轴上一点，当ACD ∆求点D 的坐标；（2）在（1）的情况下，抛物线上是否存在除点A 得PCD ∆ 的面积与ACD ∆P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2经过A （1，0），B （3∴抛物线的对称轴l 是x=231+=2， ∵△ACD 的周长=AD+AC+CD, AC 是定值， ∴当AD+CD 最小时，△ACD 的周长最小，∵点A 、点B 关于对称轴l 对称，∴连接BC 交l 于点D ，即点D 为所求的点, 设直线BC 的解析式为n kx y +=，∴ ⎩⎨⎧=+=033n k n ，∴⎩⎨⎧=-=31n k ,∴直线BC 的解析式为3+-=x y ，∙∙当x=2时，y=-x+3=-2+3=1，∴点D 的坐标是（2，1）.（2）解：由（1）可知，∵抛物线c bx ax y ++=2经过A （1，0），B （3，0），C （0，3）三点，∴c=3, ∴⎩⎨⎧=++=++033903b a b a ,解得：⎩⎨⎧-==41b a ,∴342+-=x x y ,解法一：如图，①过点A 作AP 1∥CD 交抛物线于点P 1，∴设直线AP 1的解析式为d x y +-=， ∴∴d=1,∴直线AP 1的解析式为1+-=x y ， 解方程1+-x =342+-x x ，（x-1）（x-2）∴x 1=1, x 2=2,当x 1=1时，11+-=x y =0当x 2=2时，12+-=x y =-1，∴点P 1②设直线AP 1交y 轴于点E （0，1）把直线BC 向上平移2个单位交抛物线于P 2得直线P 2P 3的解析式为5+-=x y ，解方程5+-x =342+-x x ， x 2－3x －2=0,∴x 3=2173+, x 4=2173-, 当x 3=2173+时，53+-=x y =2177-， 当x 4=2173-时，54+-=x y =2177+， ∴点P 2的坐标是（2173+，2177-）,点P 3的坐标是（2173-，2177+）, 综上所述, 抛物线上存在点P 1（2，-1）,P 2（2173+，2177-）, P 3（2173-，2177+）, 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 解法二：如图,过A 点作AE∥y 轴，交BC 于点E ．则E 点的纵坐标为231=+-．∴ AE＝2． 设点P 为（n ，342+-n n ），过P 点作PF∥y 轴，交BC 于点F ，则点F 为（n ，n -3），PF∥AE． 若PF ＝AE ，则△PCD 与△ACD 的面积相等．∙∙①若P 点在直线BC 的下方，则PF ＝（n -3）-（342+-n n ）=n 2-∴n n 32+-=2．解得21=n ，12=n ．当2=n 时，3-n-2∴P 1点坐标为（2，-1）． 同理 当1=n 时，P 点坐标为（1，0）（不合题意，舍去）．②若P 点在直线BC 的上方，则PF=（342+-n n ）-（n -3）=n n 32-∴232=-n n ．解得21733+=n ，4=n 当21733+=n 时，P 点的纵坐标为2177221733-=++-； 当21734-=n 时，P 点的纵坐标为2177221733+=+--． ∴点P 2的坐标是（2173+，2177-）,点P 3的坐标是（2173-，2177+）, 综上所述, 抛物线上存在点P 1（2，-1）,P 2（2173+，2177-）, P 3（2173-，2177+）, 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 在以上问题的分析中研究思路为：（1）分析图形的成因；（2）识别图形的形状；（3）找出图形的计算方法。
二次函数与三角形面积问题
二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题的关系是通过求解二次函数图像与x轴交点来得到三角形的面积。
具体而言，如果给定二次函数的表达式，我们可以求解方程f(x) = 0的解，这些解就是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
通过这些横坐标，我们可以确定三角形的底边的长度。
同时，我们可以求解二次函数的最值来确定三角形的高，进而计算出三角形的面积。
首先，让我们来回顾一下二次函数的定义和性质。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由a的正负号决定，当a 大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。
二次函数的顶点是抛物线的最值点，当a大于零时顶点是最小值点，当a小于零时顶点是最大值点。
现在，让我们将二次函数与三角形面积问题联系起来。
假设我们有一个给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望求解该二次函数图像与x轴交点的横坐标，并计算出通过这些交点确定的三角形的面积。
首先，我们需要求解方程f(x) = 0，也就是求解ax^2 + bx + c = 0。
这可以通过使用求根公式来进行计算。
根据求根公式，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，我们可以求解出具体的x值。
假设我们求解得到了两个根，x1和x2。
接下来，我们可以通过计算这两个根之间的距离来确定三角形的底边的长度。
根据数学知识，我们知道两个点(x1, 0)和(x2, 0)之间的距离等于|x2 - x1|。
因此，通过计算|x2 - x1|，我们可以得到底边的长度。
接下来，我们需要确定三角形的高。
为了做到这一点，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点的横坐标可以通过使用公式x = -b / (2a)来计算。
通过计算出的顶点横坐标，我们可以计算出顶点在x轴上的纵坐标。
「中考」二次函数与三角形面积问题.doc
「中考」二次函数与三角形面积问题【面积最大值】每年的中考题中都会出现大量与面积有关的压轴题，要学会三角形的面积求法，并推广到任意多边形面积的求法。
这是非常重要！【典型例题】如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴，x轴交于点A ，B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【分析】求面积的最值问题，通常设出点的动点的坐标，引入未知数来表示出面积，再利用二次函数的性质求解即可。
【方法一】分割——铅垂（高）法过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2OB·CE【方法二】补全过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，交CD于点E，S△ABC＝S矩形OBED －S△OAB －S△ACD －S△BCES△ABC＝S梯形ABED －S△ACD －S△BCE备注：本题此法繁琐，不建议用【方法三】补全连接OCS△ABC＝S△OAC ＋S△OBC －S△OAB备注：此法最容易掌握【方法四】平移过点C作CD∥AB，分别交y轴，x轴于点D，ES△ABC＝S△ABDS△ABC＝S△ABE【方法五】直接求过点C作CF⊥AB，垂足为FS△ABC＝1/2AB·CF ＝√2/4AB·CE备注：一般此类题目皆可直接求三角形面积，用相似或三角函数表示高。
【方法六】公式法拓展：如图，A（x1，y1），B（x2，y2），则S△ABC＝1/2 |x1y2−x2y1 |把△ABC向左平移3个单位长度，得到△OA′C′S△ABC＝S△OA′C′＝1/2 |xAyC-xCyA |备注：以上三角形面积公式可用于选择、填空题快速求得。
发现：当点C在OB的垂直平分线上时，S△ABC最大，即x=(0+3)/2=3/2时，S△ABC最大注意：点C的位置和点A、B关系密切，聪明的你，思考下，为什么会如此？【举一反三】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．。
初中二次函数三角形面积问题研究
初中二次函数三角形面积问题研究二次函数是数学中一种重要的函数形式，它也有很多应用场景。
研究二次函数与三角形面积的关系可以帮助我们更好地理解这两个数学概念。
本文将探讨三角形的面积如何与二次函数相关联，以及如何利用二次函数来求解三角形的面积问题。
让我们来讨论一个简单的二次函数和三角形问题。
假设二次函数的表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不为0。
现在，我们考虑一个直角三角形，其斜边与x轴交于点A，直角的顶点为B，且直角边在x轴上方。
我们需要确定直角边的长度与斜边的关系。
可以通过代入斜边与直角边的长度，然后利用勾股定理来求解。
假设直角边的长度为x，斜边的长度为y，则根据勾股定理，有y² = x² + r² （其中r为直角边的长度）。
利用二次函数的性质，我们可以得到y = a(x - h)² + k（其中(h,k)是二次函数的顶点坐标）。
接下来，我们需要将二次函数与勾股定理结合起来，得到直角边与斜边之间的关系。
代入勾股定理的公式，我们可以得到a(x - h)² + k² = x² + r²。
将二次函数展开，并与勾股定理左右两边的表达式进行配对，得到如下形式：根据二次函数的定义，方程的解即为直角边的长度。
通过求解这个二次方程，我们可以得到直角边的长度x，进而求得斜边的长度y。
由此，我们可以根据直角三角形的边长来计算其面积。
如果已知直角边的长度x，我们也可以通过代入二次函数的表达式，计算得到斜边与直角边的关系。
对于这些情况，我们可以采用类似的思路，通过二次函数的定义和三角形的特征，来建立数学模型，解决具体问题。
我们也可以利用数学软件或图形计算器等工具，进行计算和绘图辅助。
研究二次函数与三角形面积的问题可以帮助我们更深入地理解二次函数的性质，同时也可以为解决实际问题提供有效的数学工具。
希望本文对你了解这个问题有所帮助。
初中二次函数三角形面积问题研究
初中二次函数三角形面积问题研究引言：初中的数学课程中，二次函数和三角形两个部分是比较重要的内容，它们分别代表了代数和几何两个不同的数学概念。
本文将探讨如何结合二次函数和三角形，来解决关于三角形面积的问题。
通过研究二次函数和三角形面积的关系，可以帮助学生更好地理解这两个数学概念，并且能够更加灵活地运用它们来解决实际问题。
一、二次函数的基本概念我们来简要回顾一下二次函数的基本概念。
二次函数的一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数且a≠0。
二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线，而抛物线的开口方向取决于 a 的正负性。
在平面直角坐标系中，二次函数的图象是一个平面图形，它的形状和特征受到 a、b、c 的值的影响。
接下来，我们将通过具体的例子来说明如何运用二次函数的概念来解决三角形面积的问题。
二、三角形的面积公式三角形的面积计算有一个基本的公式，即 S=1/2bh，其中 S 代表三角形的面积，b代表底边的长度，h 代表高的长度。
这是初中阶段比较基础的几何知识，学生在学习三角形的时候就已经掌握了这个公式。
我们将通过二次函数来探讨三角形面积的问题，为了更好地理解二者之间的关系。
接下来，我们将介绍一个具体的应用例子，来说明如何结合二次函数和三角形面积的问题。
三、具体例子分析假设有一个三角形 ABC，其中 AB=3，BC=4，AC=5。
现在要求这个三角形的面积。
我们可以使用海伦公式来计算这个三角形的面积，海伦公式是一个关于三角形三边长的公式，可以通过三角形的三条边长来计算三角形的面积。
在这个具体的例子中，我们可以利用二次函数的概念来求解。
我们可以将三角形的一条边作为二次函数的自变量 x，另一条边作为二次函数的函数值 y。
我们可以将 AB=3 作为 x，而 BC=4 作为 y。
然后，我们可以确定二次函数的表达式，因为三角形的形状是已知的，所以我们可以通过已知的三个点坐标来确定二次函数的表达式。
初中二次函数三角形面积问题透析论文
初中二次函数三角形面积问题透析摘要：二次函数中三角形面积问题是代数与几何有机结合的一个考点，是函数的综合应用能力的提升。
二次函数这部分内容可渗透的数学思想多，解题方法多，老师在讲述这些题目时一定要注意循序渐进把握好梯度。
在探究这些问题时，首先要让学生加深对函数知识的回顾，同时要注重数学思想的渗透，培养学生用数学的思想去思考问题、解决问题的习惯，发展学生的创新思维，使其形成自主学习、自主探索的意识。
关键词：初中数学；二次函数；三角形面积问题中图分类号：g633.6 文献标识码：a 文章编号：1006-3315（2012）10-035-001一、抛砖引玉建模：已知直角坐标中点b（3，0），c（0，3）d（1，4），求出顺次连结这三点的三角形的面积。
引导问题：在平面直角坐标系中画出bcd的图形。
探索根据已知三点的坐标如何来求出bcd的面积。
在求bcd时遇到困难时能否用数学的“割补法”帮助你解决这个问题。
请你提出你的观点并大胆地尝试。
教学感悟：本次建模是为下面引出问题作下伏笔，我们尽可能让学生提出不同的分割思想，让学生提出不同的见解，说出不同的解决问题方法。
二、构建例题例题：如图（7）已知抛物线图象过a（-1，0），c（0，3）且对称轴为直线x=1。
（1）求抛物线的解析式，图象与x轴的另一个交点及顶点d的坐标；（2）求dcb的面积。
引导问题：求二次函数的解析式有哪三种方法？本题采用哪一种方法解题比较简单？求dcb面积时我们需要做些什么准备工作？b、c、d坐标求出后三角形面积如何求？它与上述的模型有类同之处吗？如有类同，哪些分割法比较适宜本题？请你试试并求出答案。
设计意图：通过本题学习使学生进一步掌握二次函数解析式的三种不同的表达式，让学生体会到不同的选择带来不同的简便效果，进一步让学生掌握平面直角坐标中求斜三角形面积的不同分割方法。
变式题1：如图（8），已知抛物线与坐标轴交于c、b两点，d是直线bc上方的二次函数的一点动点，（点d与b、c不重合），点d 运动到什么位置时dbc的面积最大，求出此时点d坐标和三角形面积的最大值。
初中二次函数三角形面积问题研究
初中二次函数三角形面积问题研究引言在初中数学学习中，我们学习过二次函数和三角形的面积计算。
我们是否想过将这两个知识点结合起来，在实际问题中进行研究和应用呢？本文将结合二次函数和三角形面积问题进行深入探讨，通过具体的数学计算和实际案例，探索二次函数在三角形面积问题中的应用和意义，希望能够给初中生带来启发和帮助。
一、二次函数的基本概念我们先来回顾一下二次函数的基本概念。
二次函数是指一个关于自变量的二次方程，一般的二次函数可以写成 f(x) = ax^2 + bx + c的形式，在数学中，一般认为a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，当a>0时，抛物线开口向上，称为正向抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为负向抛物线。
二次函数的图像对应了三种经典的情况，即抛物线与x轴相交成两个实根；抛物线与x轴相切成一个实根；抛物线与x轴无交点，没有实根。
二、三角形面积计算方法三角形是初中数学教学的重要内容之一，面积计算是三角形的基本技能。
三角形的面积计算有多种方法，最常用的是利用底和高的乘积再除以2，即S=1/2 * 底 * 高。
也可以通过三边长求解半周长再利用海伦公式进行计算。
对于直角三角形，我们还可以利用勾股定理进行计算。
这些方法都是计算三角形面积的有效手段，灵活运用可以更好地解决实际问题。
三、二次函数在三角形面积问题中的应用在实际问题中，我们可以通过二次函数来解决三角形面积问题。
给定一个顶点坐标为（0,0），三角形的另外两个顶点分别为（a, 0）和（b, f(b)），其中f(x)是一个已知的二次函数。
我们需要求解这个三角形的面积。
根据三角形面积计算方法，我们知道需要求解这个三角形的底和高，即底为|b-a|，高为f(b)。
三角形的面积可以表示为S=1/2 *|b-a| * f(b)。
接下来，我们以一个具体的案例来说明二次函数在三角形面积问题中的应用。
假设已知二次函数f(x)=2x^2+3x-2，在直角坐标系中，三角形的顶点A（0,0），B（1,0），C （3,f(3)）。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
九年级数学上册28.3二次函数中的三角形面积问题说课稿
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：以实际问题为背景，引发学生对二次函数与三角形面积问题的思考；
2.分组讨论：组织学生进行合作交流，让学生在讨论中相互启发，共同解决问题；
3.激励评价：对
3.合理安排课堂时间，关注学生的学习进度，对学习困难的学生给予个别辅导。
课后评估教学效果：
1.课后收集学生的作业和数学日记，分析他们的学习效果和困惑；
2.与学生进行交流，了解他们对课堂知识的掌握程度；
3.反思自己的教学过程，针对学生的反馈，调整教学策略。
具体反思和改进措施：
1.针对学生对知识点的掌握情况，调整教学内容和难度，确保学生能扎实掌握基础知识；
2.提高题：布置一些富有挑战性的题目，培养学生的解题能力和创新思维。
3.实践题：布置与实际生活相关的二次函数与三角形面积问题，让学生将所学知识应用于生活实践。
作业的目的在于：巩固所学知识，提高学生的应用能力；培养学生的独立思考和解决问题的能力；增强学生对数学学科的兴趣和信心。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
2.问题驱动的教学：以实际问题为载体，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的知识运用和问题解决能力。
3.合作学习：组织学生进行分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时通过互相启发，提高学生的思维品质。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：三角板、直尺、计算器等，用于直观演示和操作，帮助学生理解二次函数图像与三角形面积的关系。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划采取以下措施：
初中二次函数三角形面积问题透析
初中二次函数三角形面积问题透析摘要：初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点，这其中牵涉了二次函数与解析几何问题的融合，是初中数学课程中的一个难点。
由于学生在接触二次函数学习的过程中，对于函数概念的单一理解已经具有一定的难度，如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合，就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习。
教师在进行二次函数三角形面积问题的讲解中，要适当把握对于课程难度循序渐进的过程，以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想，让学生学会自主思考问题的过程。
关键词：初中数学二次函数与三角形面积问题课程解读中图分类号：g633.6 文献标识码：c doi：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.12.1891 二次函数与三角形面积问题建模在进行二次函数三角形面积问题的课程讲解之前，首先需要对课程基本定义进行建模，在直角坐标系中，对任意三角形进行坐标点确定，如b（3，0），c（0，3），d（1，4），对以上坐标点在指教坐标系中进行连接，并且通过已知直角坐标系中的关键点来求出三角形面积。
图1 三角形面积求解“割补法”的实例分析2 二次函数三角形面积求解例题引入分析通过对已知三角形直角坐标系中的表现形式进行建模，以例题学习的方式来增强课程的针对性特征，如：已知指教坐标系中建立抛物线图像a（-1，0），b（3，0），c（0，3），图像对称轴为x=1，以此为题目构建的原型：对已知抛物线解析式中的图像x轴与图像在顶点位置的交点d坐标，求抛物线解析式；求三角形bcd的面积。
图2 三角形建模题目引申对待此类问题，可以采用题目引申的方式，分别就图像观察和二次函数的概念引入进行解析。
通过以上题目，可以将二次函数的概念与三角形面积问题进行有效结合，三角形面积通过直角坐标系的二次函数运算具有三种表现方式，并且每一种函数表现情况对于不同三角形面积运算的难以程度都会有所影响，这就需要对已知题型进行改变，引入下一个题型探讨中。
题解求动点P点坐标,全面讲解二次函数中,三角形面积最值问题
二次函数，是中考的一个重点，也是一个难点。
特别是压轴大题，代数几何综合题型，更是考试常见。
但是，很多同学觉得这类题型实在太难，望而生畏。
比如二次函数图像中，抛物线先上是否存点动点P，使得三角形面积最大，然后求出动点P此时的坐标。
这就是最经典最常见的二次函数图像面积最值问题。
今天，通过一道中考真题，用四种不同的方法来一起探讨这一类题型。
希望同学们认真体会，理解透彻，举一反三。
解法一，割补法。
就是把通过图形割和补的方式，把三角形的面积求法表达出来。
这个方法，最简单最常用。
解法一，方法1，设动点P的坐标，△PBC的面积等于△PBE面积加梯形的面积，再减去三角形BOC的面积。
把三角形PBC的面积表达出来，得到一个二次函数的顶点式。
即可求出面积最大值。
解法一，方法2。
连接PO，三角形PBC的面积等于三角形BOP面积加三角形COP的面积，再减去三角形BOC的面积。
和方法1一样，最后得到一个二次函数的顶点式，即可求出三角形面积的最大值。
解法二、铅垂定理法。
上面这个图片，就是铅垂定理的基本知识点。
铅垂定理的求法公式就是，三角形的面积等于水平宽度与铅垂高度乘积的一半。
任何一个三角形，都可以用这个方法来求面积。
在直角坐标系中，只要求出一个三角形水平宽度，和铅垂高度，那么这个三角形的面积就出来了。
这个题目，作PE⊥x轴交BC于F，则水平宽度就是OB的长度，铅垂高度就是PF的长度。
后面的就是直接套用铅垂定理的公式，经过化简，得出二次函数的顶点式，即可求出三角形面积最大值。
请看详细解题过程，铅垂定理真的很重要。
很多题型中，铅垂定理求面积更简单。
解法三，切线法。
切线法，就是过点P做BC的平行线，当这个平行线与二次函数的图像只有一个交点时，则BC边上的高就是最大值。
底一定，高最大，当然面积最大。
请看详细解题过程。
有问题，欢迎评论区留言。
解法四、三角函数法。
这个方法看起来好像很难，其实也很简单。
详细请看解题过程。
同学们也可以通过这个方法，来练习和巩固一下三角函数知识和相关题型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中二次函数三角形面积问题透析
摘要：二次函数中三角形面积问题是代数与几何有机结合的一个考点，是函数的综合应用能力的提升。
二次函数这部分内容可渗透的数学思想多，解题方法多，老师在讲述这些题目时一定要注意循序渐进把握好梯度。
在探究这些问题时，首先要让学生加深对函数知识的回顾，同时要注重数学思想的渗透，培养学生用数学的思想去思考问题、解决问题的习惯，发展学生的创新思维，使其形成自主学习、自主探索的意识。
关键词：初中数学；二次函数；三角形面积问题
一、抛砖引玉
建模：已知直角坐标中点b（3，0），c（0，3）d（1，4），求出顺次连结这三点的三角形的面积。
引导问题：在平面直角坐标系中画出bcd的图形。
探索根据已知三点的坐标如何来求出bcd的面积。
在求bcd时遇到困难时能否用数学的“割补法”帮助你解决这个问题。
请你提出你的观点并大胆地尝试。
教学感悟：本次建模是为下面引出问题作下伏笔，我们尽可能让学生提出不同的分割思想，让学生提出不同的见解，说出不同的解决问题方法。
二、构建例题
例题：如图（7）已知抛物线图象过a（-1，0），c（0，3）且对称轴为直线x=1。
（1）求抛物线的解析式，图象与x轴的另一个交点及顶点d的坐标；（2）求dcb的面积。
引导问题：求二次函数的解析式有哪三种方法？本题采用哪一种方法解题比较简单？求dcb面积时我们需要做些什么准备工作？b、c、d坐标求出后三角形面积如何求？它与上述的模型有类同之处吗？如有类同，哪些分割法比较适宜本题？请你试试并求出答案。
设计意图：通过本题学习使学生进一步掌握二次函数解析式的三种不同的表达式，让学生体会到不同的选择带来不同的简便效果，进一步让学生掌握平面直角坐标中求斜三角形面积的不同分割方法。
变式题1：如图（8），已知抛物线与坐标轴交于c、b两点，d是直线bc上方的二次函数的一点动点，（点d与b、c不重合），点d 运动到什么位置时dbc的面积最大，求出此时点d坐标和三角形面积的最大值。
引导问题：（1）从例题到变式题，两题都是求三角形面积，两者是否存在差别。
（2）变式题中已知二次函数解析式能求出b、c的坐标并能求出bc的长，当点d与到直线bc距离最大时dbc面积最大？你会不会求出d与到bc最大距离，如不能，你用什么方法来解决你的问题？二次函数最值问题对你解决问题是否有帮助呢？
如有帮助，那么如何建立dbc面积关于点d的坐标的函数关系式？建模中的三角形分割思想对你解决本题有什么启发？
变式题2：已知抛物线y=-x2+2x+3与直线y=-x+1交于c、b两点，
d是直线上方bc的二次函数的一点动点，（点d与b、c不重合），点d运动到什么位置时三角形dbc的面积最大，求出此时点d坐标和三角形面积的最大值。
引导问题：变式题（2）与变式题（1）有什么区别与联系？它们有类同点吗？如有类同则上题几种解题方法能适应本题吗？在这
几种方法中哪种方法比较简便，能不能用上面感悟的方法来解决本题？请你试试。
略解：过d作de//y轴交bc于点e，∵de//y轴，∴xp=xe，点d 的坐标（x，-x2+2x+3），点e坐标（x，-x+1），
变式题3：已知抛物线y=-x2+2x+3与y=-x+1直线交于点c，与x 轴于点b，d是直线bc上方抛物线上一个动点，（点d与交点不重合）点d运动到什么位置时△dbc的面积最大，求出此时点d坐标和三角形面积的最大值。
引导问题：变式题（3）与变式题（2）有区别和联系吗？这两题的主要不同之处在哪里？能不能用相同的方法求解。
透析：随点d的运动位置不同，△dbc将出现以下三种不同的图形：
我们发现s△dbc=■dfxb-xc，当直线与二次函数的解析式确定，b、c的坐标也就确定，s△dbc面积与df的长度有关，当df有最大值时，s△pbc的面积也存在最大值。
略解：过d作df//y轴，交直线bc于点f，∵df//y轴，∴xd=xf，点d的坐标（x，-x+1），点f坐标（x，-x+1），df=yd-ye=（-x2+2x+3）
-（-x+1）=-x2+3x+2。
（作者单位：江苏省常熟市藕渠中学）。