初中二次函数三角形面积问题透析

初中二次函数三角形面积问题透析

摘要：二次函数中三角形面积问题是代数与几何有机结合的一个考点，是函数的综合应用能力的提升。二次函数这部分内容可渗透的数学思想多，解题方法多，老师在讲述这些题目时一定要注意循序渐进把握好梯度。在探究这些问题时，首先要让学生加深对函数知识的回顾，同时要注重数学思想的渗透，培养学生用数学的思想去思考问题、解决问题的习惯，发展学生的创新思维，使其形成自主学习、自主探索的意识。

关键词：初中数学；二次函数；三角形面积问题

一、抛砖引玉

建模：已知直角坐标中点b（3，0），c（0，3）d（1，4），求出顺次连结这三点的三角形的面积。

引导问题：在平面直角坐标系中画出bcd的图形。探索根据已知三点的坐标如何来求出bcd的面积。在求bcd时遇到困难时能否用数学的“割补法”帮助你解决这个问题。请你提出你的观点并大胆地尝试。

教学感悟：本次建模是为下面引出问题作下伏笔，我们尽可能让学生提出不同的分割思想，让学生提出不同的见解，说出不同的解决问题方法。

二、构建例题

例题：如图（7）已知抛物线图象过a（-1，0），c（0，3）且对称轴为直线x=1。

（1）求抛物线的解析式，图象与x轴的另一个交点及顶点d的坐标；（2）求dcb的面积。

引导问题：求二次函数的解析式有哪三种方法？本题采用哪一种方法解题比较简单？求dcb面积时我们需要做些什么准备工作？b、c、d坐标求出后三角形面积如何求？它与上述的模型有类同之处吗？如有类同，哪些分割法比较适宜本题？请你试试并求出答案。设计意图：通过本题学习使学生进一步掌握二次函数解析式的三种不同的表达式，让学生体会到不同的选择带来不同的简便效果，进一步让学生掌握平面直角坐标中求斜三角形面积的不同分割方法。

变式题1：如图（8），已知抛物线与坐标轴交于c、b两点，d是直线bc上方的二次函数的一点动点，（点d与b、c不重合），点d 运动到什么位置时dbc的面积最大，求出此时点d坐标和三角形面积的最大值。

引导问题：（1）从例题到变式题，两题都是求三角形面积，两者是否存在差别。（2）变式题中已知二次函数解析式能求出b、c的坐标并能求出bc的长，当点d与到直线bc距离最大时dbc面积最大？你会不会求出d与到bc最大距离，如不能，你用什么方法来解决你的问题？二次函数最值问题对你解决问题是否有帮助呢？

如有帮助，那么如何建立dbc面积关于点d的坐标的函数关系式？建模中的三角形分割思想对你解决本题有什么启发？

变式题2：已知抛物线y=-x2+2x+3与直线y=-x+1交于c、b两点，

d是直线上方bc的二次函数的一点动点，（点d与b、c不重合），点d运动到什么位置时三角形dbc的面积最大，求出此时点d坐标和三角形面积的最大值。

引导问题：变式题（2）与变式题（1）有什么区别与联系？它们有类同点吗？如有类同则上题几种解题方法能适应本题吗？在这

几种方法中哪种方法比较简便，能不能用上面感悟的方法来解决本题？请你试试。

略解：过d作de//y轴交bc于点e，∵de//y轴，∴xp=xe，点d 的坐标（x，-x2+2x+3），点e坐标（x，-x+1），

变式题3：已知抛物线y=-x2+2x+3与y=-x+1直线交于点c，与x 轴于点b，d是直线bc上方抛物线上一个动点，（点d与交点不重合）点d运动到什么位置时△dbc的面积最大，求出此时点d坐标和三角形面积的最大值。

引导问题：变式题（3）与变式题（2）有区别和联系吗？这两题的主要不同之处在哪里？能不能用相同的方法求解。

透析：随点d的运动位置不同，△dbc将出现以下三种不同的图形：

我们发现s△dbc=■dfxb-xc，当直线与二次函数的解析式确定，b、c的坐标也就确定，s△dbc面积与df的长度有关，当df有最大值时，s△pbc的面积也存在最大值。

略解：过d作df//y轴，交直线bc于点f，∵df//y轴，∴xd=xf，点d的坐标（x，-x+1），点f坐标（x，-x+1），df=yd-ye=（-x2+2x+3）

-（-x+1）=-x2+3x+2。（作者单位：江苏省常熟市藕渠中学）