数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分
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第十一章反常积分
教学目的:
1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义;
2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点:本章的重点是反常积分的含义与性质;难点是反常积分敛散性的判别。
教学时数:8学时
§ 1 反常积分概念(2学时)
教学目的:深刻理解反常积分的概念。
教学重点难点:反常积分的含义与性质
一问题的提出: 例(P264).
二两类反常积分的定义
定义1. 设函数定义在无穷区间上,且在任何有限
区间上可积,如果存在极限
(1)
则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分(简称
无穷积分),记作,并称收敛.
如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称发散.
定义2. 设函数定义在上,在点的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间上有界且可积,如果存在
极
则称此极限为无界函数在上的反常积分,记作
并称反常积分收敛,如果极限不存在,这时也说反常积
分发散.
例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 .
⑵计算积分.
例 2 讨论以下积分的敛散性 :
⑴; ⑵.
例3 讨论积分的敛散性 .
例4判断积分的敛散性 .
例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 .
三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有
, 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有
,把无穷积分化成了瑕积分.
可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .
§2. 无穷积分的性质与收敛判定(2学时)
教学目的:深刻理解反常积分敛散性的含义。
教学重点难点:反常积分敛散性的判别。
一无穷积分的性质
⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间
上可积, 且.
⑵和在区间上可积 , 在区间
上可积 , 且.
⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:
Th 积分收敛 .
⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.
绝对收敛收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .
二比较判别法
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷
积分敛散性记法.
⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且
,又对任何>, 和在区间上可
积 . 则 < , < ;, .
例6判断积分的敛散性.
推论1 (比较原则的极限形式) : 设在区间上函数, . 则
ⅰ> < < , 与共敛散 : ⅱ> , < 时, < ;
ⅲ> , 时, . ( 证 )
推论2 (Cauchy判敛法): (以为比较对象, 即取
.以下> 0 )设对任何>, ,
且, < ;若且, .
Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间可积的正值函数. 且. 则
ⅰ> < ;
ⅱ> . ( 证 )
例7讨论以下无穷积分的敛散性 :
ⅰ> ⅱ>
三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:
1.Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有
界 , 则积分收敛.
2.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界,在
上单调,且当时,.则积分收敛.
例8 讨论无穷积分与的敛散性.
例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :
, , .
例10 ( 乘积不可积的例 ) 设, 。由例6的结果, 积分收敛 . 但积分却发散.
§3 瑕积分的性质与收敛判别(2学时)
教学目的:熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点:无穷积分和瑕积分敛散性的判别。
类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质,瑕积分同样可由函数极限的原意写出相应的命题.
Th ( 比较原则 ) P277 Th11.6.
系1 ( Cauchy判别法 ) P277 推论2.
系2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) P277 推论3.
例11判别下列瑕积分的敛散性 :
⑴ ( 注意被积函数非正 ). ⑵.
例12讨论非正常积分的敛散性.
注记. C—R积分与R积分的差异:
1. R , 在上; 但在区间
上可积 , 在区间上有界 .
例如函数
2. R ,||R,但反之不正确. R积分是绝对型积分. ||在区间上可积 , 在区间上可积 , 但反之不正确. C—R积分是非绝对型积分.
3.,R, R; 但和在区间上可积 , 在区间上可积. 可见,在区间
上可积 , 在区间上可积.
习题、小结(2学时)
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