公开课课件二次根式
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二次根式的乘除优质课二次根式的乘法市公开课一等奖省优质课获奖课件
加、减、乘、除四则运算
第3页
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除 运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．
请写出两个二次根式，猜一猜，它们积应该是 多少？
特殊化，从能开得尽方 二次根式乘法运算开始思索！
1 4= ？
第4页
探究新知
1 4 9 2×3=6
4 9 36=6
2 16 25 4×5=20
48x 100 48x 10000
x 625 3
又因为 48x 0 x0
综上所述：0 x 625 , 3
故x取0 625 之间的整数。 3
第14页
随堂练习
第15页
第16页
第17页
课堂小结
（1）二次根式乘法运算依据是什么？ （2）在本节课学习中你认为轻易犯错地方在哪里？
犯错原因是什么？
16 25 400=20
3 25 36 5×6=30
25 36 900=30
第5页
经过以上式子，观察它们之间有什么联络？你 能发觉什么规律？能用字母表示你所发觉规律吗？
第6页
二次根式乘法法则： 普通地有 a b= ab （a≥0，b≥0 ）． 二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘 算术平方根． 反之： ab= a b （a≥0，b≥0 ）．
第18页
课后作业 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时习题.
第19页
2
A、1到2之间
B、2到3之间
C、3到4之间
D、4到5之间
5. 比较大小 2 3 __＜___3 2 - 3 3 _＜____ 2 6
第9页
典例精析
1.计算：（1）3 5 ；（2）13 27.
第10页
2.计算：
第3页
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除 运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．
请写出两个二次根式，猜一猜，它们积应该是 多少？
特殊化，从能开得尽方 二次根式乘法运算开始思索！
1 4= ？
第4页
探究新知
1 4 9 2×3=6
4 9 36=6
2 16 25 4×5=20
48x 100 48x 10000
x 625 3
又因为 48x 0 x0
综上所述：0 x 625 , 3
故x取0 625 之间的整数。 3
第14页
随堂练习
第15页
第16页
第17页
课堂小结
（1）二次根式乘法运算依据是什么？ （2）在本节课学习中你认为轻易犯错地方在哪里？
犯错原因是什么？
16 25 400=20
3 25 36 5×6=30
25 36 900=30
第5页
经过以上式子，观察它们之间有什么联络？你 能发觉什么规律？能用字母表示你所发觉规律吗？
第6页
二次根式乘法法则： 普通地有 a b= ab （a≥0，b≥0 ）． 二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘 算术平方根． 反之： ab= a b （a≥0，b≥0 ）．
第18页
课后作业 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时习题.
第19页
2
A、1到2之间
B、2到3之间
C、3到4之间
D、4到5之间
5. 比较大小 2 3 __＜___3 2 - 3 3 _＜____ 2 6
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典例精析
1.计算：（1）3 5 ；（2）13 27.
第10页
2.计算：
二次根式省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件
1 3
.
(2)(3 7 )2 63 .
第25页
巩固练习 计算：
2
8 =8
2
3 =3
2 3 2 =12
3
2 3
2
=6
1.52 =1.5
- 0.82 =0.8
第26页
巩固练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
第27页
巩固练习
3.若 x 3 y 5 0
求x、y值。
第28页
课堂小结
• 二次根式定义：
a (a 0)
• 二次根式性质: (1) a 0(a 0)
(2)( a )2 a(a 0)
（3） a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
第29页
板书设计
15.1 二次根式（1） 1.二次根式概念：
在实数范围内,负数没有平方根
第11页
a 1
1. 被开方式是什么？ 2.被开方式必须满足什么条件,此二次 根式才有意义？
第12页
求以下二次根式中字母取值范围：
1 a 1 3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母取值范围基本依据：
①被开方数大于零； ②分母中有字母时，要确保分母不为零。
第13页
合作探究：
1.都带二次根号
10，m，10 m
s ，s a
2.被开方数没有负数.
把形如 a a 0式子叫做二次根式
第10页
说一说:
以下各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
公开课课件二次根式
2 当x0且x1，1- x 有意义 4由题意可知： x-5 0 解得x5且x6
x6
当x 5且 6x时， x-+5x-6 0有意义
13
尝试与交流
22=4,（ 即4）2= 4
32=9,（ 即9）2= 9
同样地（，2）2= 2 （ 5）2= 5 你还能给出类似的例子吗？试试看 你有什么发现
当a0时(,a)2=a .
在实数范围内,负数没有平方根
11
例题讲解
例1 x为何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
(1) 13x (2) 1x 3x (3) (x5)2
解: （1）由1-3x≥0得x≤
1
1
3
当x 3 时， 1-3x有意义
1+x 0
2 由题意可知：
解不等式组得到： -1x3
3-x 0
当 -x13时， 1+-x3-有 x 意义
斜边长为____a_2___2__5_0_0__米。
6
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S,
S 则半径为____________.
7
b-3
如图示的值表示正方形的面积, 则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根.
一般地,式子a (a0) 叫做二次根式,
a称为是被开方数
3由于 x+520, 当x取一切实数 x+时 52有意义
12
挑战求自x为我何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
3 1 2x-1
2
2
2 1-x
3 1-
x
4 x-5 + x-6 0
解：1由2x-1＞0得x＞12当x＞ 12
二次根式ppt优秀课件
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是___3____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
?
12 n为一个整数,
求自然数n的值.
∴当x＝ 3时， x2 2x 1 1 3
练习:算一算:
（1） 25 5 （2）（ 7）2 7
（3）（3 2）2 18
（4）（1 2）2 2 1
（5） x2 2xy y2 y x
(x﹤y)
今天我们学习了很多新知识，你能谈谈 自己的收获吗？说一说，让大家一起来 分享。
二次根式的概念:
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
例 求下列二次根式的值
(1) (3 )2 (2) x2 2x 1(x
3)
解：(1) (3 )2 | 3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x2 2x 1 (x 1)2 | x 1|
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x 1 1 x 1 3
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p 1
在实数范围内分解因式: 4x2 3
解:
∵ 3 （ 3）2
∴ 4x2 3 （2x）2 （ 3）2
(2x 3)(2x 3)
?
１．已知０＜x＜１，化简 (x 1)2 4 x
|
x
+
1 x
|
-
二次根式ppt课件
3. 代数式的概念是什么？
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
随堂检测
1.计算（ 0.04）2 的值是（
A.0.2
B.0.04
C.-0.2
B
）.
D.-0.04
2.二次根式− （ 10 − 11）2 的值是（
A. 10 − 11
B.-1
A
C. 11 − 10
）.
D.1
随堂检测
乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样
的式子为代数式.
课堂小结
1. 二次根式的性质有哪些？
平方在里面，夹上绝对值，分类来讨论.
（ ）2 =a（a≥0）；
2 =a（a≥0）
平方在外面，直接去根号；
2 = ||.
2.运用二次根式的性质进行化简，需要注意什么？
取值a的取值范围，（ ）2 =a（a≥0）； 2 =a（a≥0）.
2.从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这
个规律吗？
= ( ≥ )
典型例题
化简:
（1） 16
（2） (−5)2
解：（1） 16= 42 =4；
（2） （ − 5）2 = 52 =5.
= ( ≥ )
= ||
跟踪训练
1.计算：
（1） 9=
3
（3） （ − 7）2 =
7
；
（2） （ − 4）2 =
4
；
（4） （3 − ）2 =
π-3
2.如果 （3 − ）2 =x-3，那么x的取值范围是
x≥3
.
；
.
探究活动3
回顾我们学过的式子，如 5，， + ，−， ，− 3 ， 3， （ ≥ 0)
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
随堂检测
1.计算（ 0.04）2 的值是（
A.0.2
B.0.04
C.-0.2
B
）.
D.-0.04
2.二次根式− （ 10 − 11）2 的值是（
A. 10 − 11
B.-1
A
C. 11 − 10
）.
D.1
随堂检测
乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样
的式子为代数式.
课堂小结
1. 二次根式的性质有哪些？
平方在里面，夹上绝对值，分类来讨论.
（ ）2 =a（a≥0）；
2 =a（a≥0）
平方在外面，直接去根号；
2 = ||.
2.运用二次根式的性质进行化简，需要注意什么？
取值a的取值范围，（ ）2 =a（a≥0）； 2 =a（a≥0）.
2.从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这
个规律吗？
= ( ≥ )
典型例题
化简:
（1） 16
（2） (−5)2
解：（1） 16= 42 =4；
（2） （ − 5）2 = 52 =5.
= ( ≥ )
= ||
跟踪训练
1.计算：
（1） 9=
3
（3） （ − 7）2 =
7
；
（2） （ − 4）2 =
4
；
（4） （3 − ）2 =
π-3
2.如果 （3 − ）2 =x-3，那么x的取值范围是
x≥3
.
；
.
探究活动3
回顾我们学过的式子，如 5，， + ，−， ，− 3 ， 3， （ ≥ 0)
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
第五讲二次根式PPT课件
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解 原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最 简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一 二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式 考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
人教版八年级数学下册第十六章《 二次根式的概念》公开课课件
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
知识管理
知识管理
1．二次根式 定 义：一般地，我们把形如____a___(a≥0)的式子叫做二次
根式，符号“ ”称为__二___次__根__号____．
注 意：二次根式应满足以下两个条件：
(1)形式上必须是“ a”的形式；
(2)被开方数a必须是__非__负____数．
2022/5/42022/5/4 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/42022/5/42022/5/45/4/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
数学
人教版八年级下册
【点悟】 (1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)如果含有 分式时，分式的分母不能等于零；(3)如果含有零指数幂，负整数 指数幂时，它们的底数不能等于零．
类型之三 二次根式在实际生活中的应用 如图16－1－1所示的Rt△ABC中，∠B＝90°，点P从
点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点 B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的 面积为35平方厘米？
(2) －（x－3）2；
(4)y＝
x＋2 3x .
【解析】 利用二次根式有意义的条件，可把每一个问题转化 为解相应的不等式或不等式组．
解：(1)由题意，得 5－2x≥0，解得 x≤52，
所以当 x≤52时， 5－2x有意义； (2)由题意，得－(x－3)2≥0，即(x－3)2≤0，解得 x＝3， 所以当 x＝3 时， －（x－3）2有意义； (3)由题意，得8x－＋x8≥≥00，，解得－8≤x≤8， 所以当－8≤x≤8 时， x＋8＋ 8－x有意义； (4)由题意，得3x＋ x≠20≥，0，解得 x≥－2 且 x≠0， 所以当 x≥－2 且 x≠0 时，y＝ x3＋x 2有意义．
第1课时 二次根式的概念
知识管理
知识管理
1．二次根式 定 义：一般地，我们把形如____a___(a≥0)的式子叫做二次
根式，符号“ ”称为__二___次__根__号____．
注 意：二次根式应满足以下两个条件：
(1)形式上必须是“ a”的形式；
(2)被开方数a必须是__非__负____数．
2022/5/42022/5/4 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/42022/5/42022/5/45/4/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
数学
人教版八年级下册
【点悟】 (1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)如果含有 分式时，分式的分母不能等于零；(3)如果含有零指数幂，负整数 指数幂时，它们的底数不能等于零．
类型之三 二次根式在实际生活中的应用 如图16－1－1所示的Rt△ABC中，∠B＝90°，点P从
点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点 B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的 面积为35平方厘米？
(2) －（x－3）2；
(4)y＝
x＋2 3x .
【解析】 利用二次根式有意义的条件，可把每一个问题转化 为解相应的不等式或不等式组．
解：(1)由题意，得 5－2x≥0，解得 x≤52，
所以当 x≤52时， 5－2x有意义； (2)由题意，得－(x－3)2≥0，即(x－3)2≤0，解得 x＝3， 所以当 x＝3 时， －（x－3）2有意义； (3)由题意，得8x－＋x8≥≥00，，解得－8≤x≤8， 所以当－8≤x≤8 时， x＋8＋ 8－x有意义； (4)由题意，得3x＋ x≠20≥，0，解得 x≥－2 且 x≠0， 所以当 x≥－2 且 x≠0 时，y＝ x3＋x 2有意义．
二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
八年级数学上册2.7二次根式获奖公开课优质课件
C. 2 6=2 3
D. 6 3=2
达标测评
4、当x=﹣4时， 6－ 3 x 的值是___3 __2___
x 5、下列二次根式： 7 ， 2 ， 5 a ， 8 m 2， a2 b2， 1 2 x ，
a
a ，是最简二次根式的是__7__，__5 _a _，___a_2 __b_2_，__3___._
（2）12 3－5 =1 2 3 － 5 =3 6 － 5 = 6 － 5 = 1；
乘法法则
（3）
5+1
2
=
2
5 +2 5+1 =5+2
5+1= 6+ 2
5
；
完全平方公式
（4） 13+3 13－ 3= 13 2－32 =4 ；
平方差公式
（5）
12－
1 3
3 = 12 3－ 1 3= 3
布置作业
教材48页习题第1、3、4题。
得到： a b a b（a≥0，b≥0）， a a（a≥0，b＞0）．
bb
这就是二次根式的乘法法则和除法法则
经典例题
例3 计算：
（1） 6 2 ； （2） 6 3 ； （3） 2 .
3
2
5
解：（1） 6
2= 3
62 3=
4 =2 ；Biblioteka （2）62
3
=
63 = 2
63
2=
9 =3
；
（3）
【义务教育教科书北师版八年级上册】
二次根式
学校：________ 教师：________
课前回顾
1、 11的算术平方根是 11 ． 2、 面积为a（a＞０）的正方形的为 a ． 3、直角三角形的两直角边分别是1和2，则斜边
15.1 二次根式 - 第1课时课件(共17张PPT)
新知探究
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
《二次根式的概念》课件
2023-2026
ONE
KEEP VIEW
《二次根式的概念》 ppt课件
REPORTING
CATALOGUE
目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
ONE
KEEP VIEW
《二次根式的概念》 ppt课件
REPORTING
CATALOGUE
目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
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例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 1 3x (2) 1 x 3 x (3) (x 5)2
解：（1）由1-3x≥0得x≤
1
1
3
当x 3 时， 1-3x有意义
1+x0
2 由题意可知：
解不等式组得到： -1 x3
3-x0
当 -1x3时， 1+x- 3-x有意义
3由于x+520, 当x取一切实数时 x+52有意义
2020/11/12
4
4
2020/11/12
5
5
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
2020/11/12
6
6
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
2020/11/12
7
7
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
表示一些正数的算术平方根．
b3
一般地,式子 a (a 0)叫做二次根式,
a称为是被开方数
2020/11/12
8
8
说说对二次根式 的认识,好吗? a
2020/11/12
9
9
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
当a0时,( a)2=a .
2020/11/12
14
14
快速反应
例2 计算：
( 5)2 5 a+b2 a+b0= a+b
( 100)2 100 2 52= 20
(
2 )2 5
2 5
( 3)2 3
2020/11/12
15
15
试一试
已知:在Rt ABC中,C=90,AC= 3,BC= 5
求以AB为边长的正方形的面积.
解得x=7,y=9
xy-642=7×9-642=1， 1的算术平方根是1 即xy-642的算术平方根是1
2020/11/12
17
17
2.已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
解：由题意可知： a-b+6 + a+b-8 =0
a-b+6=0
a+b-8=0
解得 : a=1,b=7
B
解: 在Rt ABC中,∵ AC= 3,BC= 5
∴ AB2=AC2+BC2
= 32+ 52
=3+5
C
A
=8
∴ 以AB为边长的正方形的面积为8.
2020/11/12
16
16
拓展与应用
例3
1、已知 y x 7 7 x 9
求 (xy 64)2 的算术平方根。 x-70 解：由题意可知： x-70
x0 解得x0且x1
2
当x0且x1， 1-
有意义 x
4由题意可知： x-50 解得x5且x6
x6
2020/11/12 当x5且x6时， x-5+x-60有意义
13
13
尝试与交流
22=4,即（ 4）2= 4
32=9,即（ 9）2= 9
同样地，（ 2）2= 2 （ 5）2= 5 你还能给出类似的例子吗？试试看 你有什么发现
二次根式的概念
2020/11/12
1
1
1. 16的平方根是 ±4 ;
2. 9的算术平方根是3 ;
3. 25的算术平方根是＿＿5＿＿
2020/11/12
2
2
回顾：
什么是平方根？什么叫做算术平方根？
如果一个数的平方等于a,那么这个数就称为a的平方根， 也称为二次方根。也就是说，
若 x2 =a,则 x就叫做a的平方根 记做x= a
20
20
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0)
2020/11/12
21
21
1.P60 1、2
2.补充习题相关练习
2020/11/12
22
22
2020/11/12
12
12
挑战自求我 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
3 1 2x-1
22ຫໍສະໝຸດ 2 1-x34 x-5+x-60
1- x
解 ：1由 2x-1＞ 0得 x＞12当x＞
1 2
时， 2
3 2x-1 有意义
2由1-x＞0得 x＜1 当 x＜1 时， 有意义
3由题意可知：
1- x0
1-x
2020/11/12
a和b的值分别为：a=1,b=7
18
18
举一反三
1、已知: a+b-6+a+b-82=0,求a和b的值 2、已知： a-b+6+ a+b-8=0,求a和b的值
2020/11/12
19
19
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
2020/11/12
一个正数a正的平方根称为这个数的算术平方根，记做 a, 0只有一个平方根就是0本身，也就是它的算术平方根
2020/11/12
3
3
由此表明：
当a是正数时， a表示 a的算术平方根，
也就是a的正的平方根
当a是零时， a等于 0，也叫零的算术平方根；
当a是负数时， a 没有意义.
a中a的范围是a0, a是非负数，即 a0
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
2020/11/12
10
10
说一说: 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)，
(6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
2020/11/12
11
11