第7章 第6讲立体几何
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第七章 立体几何
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
〔变式训练 1〕 如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1 中，各面为 平行四边形，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)A→P； (2)M→P＋N→C1．
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6．(2020·吉林省吉林市调研)在空间直角坐标系 O－xyz 中，A( 2，0,0)，B(0,3,0)， C(0,0,5)，D( 2，3,5)，则四面体 ABCD 的外接球的体积为____3_6_π___．
[分析] 由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线 就是四面体 ABCD 外接球的直径．
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[解析] (1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b．
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(2)因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b) ＝12a＋12b＋c． 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1 ＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， 所以M→P＋N→C1＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c) ＝32a＋12b＋32c．
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2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的 λ ∈R，使 a＝λb. (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面⇔存在 唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的 一个基底．
B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
D．12a－12b＋c
[解析] B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.
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3．(必修 2P98T3)正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为____2__．
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考点二 空间向量共线、共面定理的应用——师生共研
例 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1，点 M， N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C(0≤k≤1)．
(1)向量M→N是否与向量A→B，A→A1共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行？
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(2)M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋23[12(O→B＋O→C)－O→A] ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C． O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C．
____a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3_＝__0__ ____a_21＋__a_22_＋__a_32______
a1b1＋a2b2＋a3b3 cos〈a，b〉＝___a_21_＋__a_22＋__a_32_·__b_21_＋__b_22＋__b_23__
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考点突破 • 互动探究
第七章 立体几何
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考点一 空间向量的线性运算——自主练透
例 1 (1)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点．
①化简A→1O－12A→B－12A→D＝__A_→1_A______． ②用A→B，A→D，A→A1，表示O→C1，则O→C1＝__12_A→_B_＋__12_A→_D__＋__A→_A_1_．
[解析] 如图所示，取 BC 的中点 E，连接 AE.则O→G＝34O→G1＝34
→→ (OA＋AG1)＝
34O→A＋12A→E＝34O→A＋
14(A→B＋A→C)
＝34
O→A＋14(
→→ OB－OA＋
O→C－O→A)＝14(O→A＋O→B＋O→C)，∴x＝y＝z＝14.
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[解析] 取 E( 2，0,5)，F( 2，3,0)，G(0,3,5)，O(0,0,0)，则 OAFB－CEDG 是长 方体，其对角线长为 l＝ 22＋32＋52＝6，∴四面体 ABCD 外接球半径为 r＝2l ＝3.V ＝43πr3＝43π×33＝36π，故答案为：36π．
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题组三 考题再现
4．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k＝( D )
A．－1
B．43
C．53
D．75
[解析] 由题意，得 ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－ b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得 k＝75．
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＝A→B－k(A→A1＋A→B) ＝(1－k)A→B－kA→A1， ∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面． (2)当 k＝0 时，点 M、A 重合，点 N、B 重合， MN 在平面 ABB1A1 内，当 0＜k≤1 时， MN 不在平面 ABB1A1 内， 又由(1)知M→N与A→B、A→A1共面， 所以 MN∥平面 ABB1A1．
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第六讲 空间向量及其运算
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
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知识梳理 • 双基自测
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知识点一 空间向量的有关概念 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有__大__小____和__方__向____的量叫做空间向量，其大小 叫做向量的__长__度____或__模____. (2)相等向量：方向__相__同____且模___相__等___的向量． (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线___平__行___或___重__合___， 则这些向量叫做___共__线__向__量___或_平__行__向__量_____. (4)共面向量：平行于同一__平__面____的向量叫做共面向量．
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5．(2019·晋江模拟)设 O－ABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上的一 点，且 OG＝3GG1，若O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则(x，y，z)为____(14_，__14_，__14_)_______.
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[解析] (1)①A→1O－12A→B－12A→D＝A→1O－12(A→B＋A→D)＝A→1O－A→O＝A→1O＋O→A＝A→1A. ②因为O→C＝12A→C＝12(A→B＋A→D)． 所以O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1＝12A→B＋12A→D＋A→A1.
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题组二 走进教材
2．(必修 2P97A 组 T2)如图所示，在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝ c，则下列向量中与B→M相等的向量是( A )
A．－12a＋12b＋c
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[解析] (1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N ＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B ＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1
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1．向量三点共线定理 →→→
在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理 →→→→
在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x＋ y＋z＝1)，O 为空间中任意一点．
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(1)用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未 知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把 所求向量用已知基向量表示出来． (2)向量加法的多边形法则 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向 量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则． 提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算．
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3．空间向量的数量积及运算律
→
→
(1)已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫
做向量 a，b 的夹角，记作___a_，__b__，其范围是____0_≤_a_，__b_≤_π___，若 a，b ＝π2，则 称 a 与 b___互__相__垂__直___，记作 a⊥b.
向量 a，b 的数量积 a·b＝_____|a_|_|b_|_c_o_s〈__a_，__b_〉________.
(2)空间向量数量积的运算律
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交换律：a·b＝b·a； 分配律：a·(b＋c)＝___a_·_b_＋__a_·c_____.
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知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示
坐标表示
数量积 共线 垂直 模
a·b a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，b≠0)
|a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
___a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3____ ____a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝__λb_2_，__a_3_＝__λ_b_3___
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题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论中正确的是( AC ) A．空间中任意两个非零向量 a，b 共面 B．对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c C．若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0 D．若 a·b＜0，则 a，b 是钝角
[解析] |E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋ C→D·D→F)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长的 2．
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(2)在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G．
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(2)在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G．
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〔变式训练 1〕 如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1 中，各面为 平行四边形，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)A→P； (2)M→P＋N→C1．
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6．(2020·吉林省吉林市调研)在空间直角坐标系 O－xyz 中，A( 2，0,0)，B(0,3,0)， C(0,0,5)，D( 2，3,5)，则四面体 ABCD 的外接球的体积为____3_6_π___．
[分析] 由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线 就是四面体 ABCD 外接球的直径．
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[解析] (1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b．
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(2)因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b) ＝12a＋12b＋c． 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1 ＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， 所以M→P＋N→C1＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c) ＝32a＋12b＋32c．
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2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的 λ ∈R，使 a＝λb. (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面⇔存在 唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的 一个基底．
B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
D．12a－12b＋c
[解析] B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.
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3．(必修 2P98T3)正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为____2__．
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考点二 空间向量共线、共面定理的应用——师生共研
例 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1，点 M， N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C(0≤k≤1)．
(1)向量M→N是否与向量A→B，A→A1共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行？
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(2)M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋23[12(O→B＋O→C)－O→A] ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C． O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C．
____a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3_＝__0__ ____a_21＋__a_22_＋__a_32______
a1b1＋a2b2＋a3b3 cos〈a，b〉＝___a_21_＋__a_22＋__a_32_·__b_21_＋__b_22＋__b_23__
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考点一 空间向量的线性运算——自主练透
例 1 (1)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点．
①化简A→1O－12A→B－12A→D＝__A_→1_A______． ②用A→B，A→D，A→A1，表示O→C1，则O→C1＝__12_A→_B_＋__12_A→_D__＋__A→_A_1_．
[解析] 如图所示，取 BC 的中点 E，连接 AE.则O→G＝34O→G1＝34
→→ (OA＋AG1)＝
34O→A＋12A→E＝34O→A＋
14(A→B＋A→C)
＝34
O→A＋14(
→→ OB－OA＋
O→C－O→A)＝14(O→A＋O→B＋O→C)，∴x＝y＝z＝14.
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[解析] 取 E( 2，0,5)，F( 2，3,0)，G(0,3,5)，O(0,0,0)，则 OAFB－CEDG 是长 方体，其对角线长为 l＝ 22＋32＋52＝6，∴四面体 ABCD 外接球半径为 r＝2l ＝3.V ＝43πr3＝43π×33＝36π，故答案为：36π．
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4．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k＝( D )
A．－1
B．43
C．53
D．75
[解析] 由题意，得 ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－ b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得 k＝75．
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＝A→B－k(A→A1＋A→B) ＝(1－k)A→B－kA→A1， ∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面． (2)当 k＝0 时，点 M、A 重合，点 N、B 重合， MN 在平面 ABB1A1 内，当 0＜k≤1 时， MN 不在平面 ABB1A1 内， 又由(1)知M→N与A→B、A→A1共面， 所以 MN∥平面 ABB1A1．
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第六讲 空间向量及其运算
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
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知识点一 空间向量的有关概念 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有__大__小____和__方__向____的量叫做空间向量，其大小 叫做向量的__长__度____或__模____. (2)相等向量：方向__相__同____且模___相__等___的向量． (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线___平__行___或___重__合___， 则这些向量叫做___共__线__向__量___或_平__行__向__量_____. (4)共面向量：平行于同一__平__面____的向量叫做共面向量．
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5．(2019·晋江模拟)设 O－ABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上的一 点，且 OG＝3GG1，若O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则(x，y，z)为____(14_，__14_，__14_)_______.
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[解析] (1)①A→1O－12A→B－12A→D＝A→1O－12(A→B＋A→D)＝A→1O－A→O＝A→1O＋O→A＝A→1A. ②因为O→C＝12A→C＝12(A→B＋A→D)． 所以O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1＝12A→B＋12A→D＋A→A1.
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2．(必修 2P97A 组 T2)如图所示，在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝ c，则下列向量中与B→M相等的向量是( A )
A．－12a＋12b＋c
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[解析] (1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N ＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B ＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1
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1．向量三点共线定理 →→→
在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理 →→→→
在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x＋ y＋z＝1)，O 为空间中任意一点．
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(1)用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未 知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把 所求向量用已知基向量表示出来． (2)向量加法的多边形法则 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向 量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则． 提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算．
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3．空间向量的数量积及运算律
→
→
(1)已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫
做向量 a，b 的夹角，记作___a_，__b__，其范围是____0_≤_a_，__b_≤_π___，若 a，b ＝π2，则 称 a 与 b___互__相__垂__直___，记作 a⊥b.
向量 a，b 的数量积 a·b＝_____|a_|_|b_|_c_o_s〈__a_，__b_〉________.
(2)空间向量数量积的运算律
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交换律：a·b＝b·a； 分配律：a·(b＋c)＝___a_·_b_＋__a_·c_____.
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知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示
坐标表示
数量积 共线 垂直 模
a·b a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，b≠0)
|a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
___a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3____ ____a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝__λb_2_，__a_3_＝__λ_b_3___
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题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论中正确的是( AC ) A．空间中任意两个非零向量 a，b 共面 B．对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c C．若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0 D．若 a·b＜0，则 a，b 是钝角
[解析] |E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋ C→D·D→F)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长的 2．
第七章 立体几何
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第七章 立体几何
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(2)在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G．
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第七章 立体几何
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(2)在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G．