2016_2017学年高中数学2.1.2演绎推理学案新人教B版选修2_2

2.1.2 演绎推理

1．理解演绎推理的含义．(重点)

2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)

[基础·初探]

教材整理1 演绎推理

阅读教材P59～P60第一行，完成下列问题．

1．定义

根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做__________．

2．特征

当前提为真时，结论__________．

【答案】 1.演绎推理 2.必然为真

下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)．

①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．

【解析】①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．

【答案】①

教材整理2 三段论

阅读教材P60～P61，完成下列问题．

1．三段论推理

(1)三段论推理是演绎推理的一般模式．

(2)三段论的构成：

①__________：提供一般性原理；

②__________：指出一个特殊的对象；

③__________：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．

(3)“三段论”的常用格式

大前提：M是P；

小前提：S是M；

结论：__________.

【答案】 1.(2)①大前提②小前提③结论(3)S是P

2．演绎推理的常见模式

(1)三段论推理

(2)传递性关系推理

用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则_________________________”，

其中“R”表示具有传递性的关系．

(3)完全归纳推理

把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．

【答案】 2.(2)aRc

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“三段论”就是演绎推理．( )

(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )

(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )

【答案】(1)×(2)×(3)×

2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．

【解析】f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．

【答案】小前提

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

把演绎推理写成三段论的形式

(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；

(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；

(3)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．

【自主解答】(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)

75不能被2整除．(小前提)

75是奇数．(结论)

(2)三角形的内角和为180°.(大前提)

Rt△ABC是三角形．(小前提)

Rt△ABC的内角和为180°.(结论)

(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)

通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，

a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)

通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)

把演绎推理写成“三段论”的一般方法：

1用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.

2在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

[再练一题]

1．将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.

【解】(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提

菱形是平行四边形，小前提

菱形的对角线互相平分．结论

(2)等腰三角形的两底角相等，大前提

∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提

∠A＝∠B.结论

演绎推理的综合应用

如图BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．

图2­1­12

【精彩点拨】用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.

【自主解答】(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)

∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)

所以DF∥AE.(结论)

(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)

DE∥BA且DF∥EA，(小前提)

所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)

(3)平行四边形的对边相等，(大前提)

DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)

所以DE＝AF.(结论)

1．用“三段论”证明命题的步骤

(1)理清证明命题的一般思路；

(2)找出每一个结论得出的原因；

(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．

2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．