第38讲 数列的综合运用(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第38讲：数列的综合运用

一、课程标准

1、理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式及其应用。

2、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

3、会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。

二、基础知识回顾

1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．

(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．

数列在实际问题中的应用

2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．

1．数列实际应用中的常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n 项a n与第n＋1项a n＋1的递推关系还是前n项和S n与前n＋1项和S n＋1之间的递推关系．

2．解决数列实际应用题的3个关键点

(1)根据题意，正确确定数列模型；

(2)利用数列知识准确求解模型；

三、自主热身、归纳总结

a n的前n项和为S n，点(a1 010，a1 012)在直线x＋y－2＝0上，则S2 021等于()

1. 设等差数列{}

A. 4 042

B. 2 021

C. 1 010

D. 1 012

2、(2019·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重

四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( )

A ．6斤 B.7斤 C ．9斤

D ．15斤

3、（2019·南充高三第二次诊断）已知等比例{a n }中的各项都是正数，且a 1，1

2a 3，2a 2成等差数列，则

a 10＋a 11a 8＋a 9＝( )

A . 1＋ 2

B . 1－2

C . 3＋2 2

D . 3－22

4、(2019·吉林长春5月联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d >0，a 6和a 8是函数f (x )＝154ln x ＋1

2x 2

－8x 的极值点，则S 8＝( )

A ．－38

B ．38

C ．－17

D ．17

5、已知x>0，y>0，x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，那么（a 1＋a 2）2

b 1b 2的最小值是____．

6、(2019·河北石家庄4月模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，定义{a n }的“优值”为H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －

1a n

n ，

现已知{a n }的“优值”H n ＝2n ，则S n ＝________. 四、例题选讲

考点一 数列在数学文化与实际问题中的应用

例1、(1)(2020·长沙模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

(2)(2019·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数a 4为( ) A ．7 B.10 C ．12

D ．22

变式1、（河北衡水中学2019届模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )

A ．60里

B ．48里

C ．36里

D ．24里

变式2、（江苏常州高级中学2019届模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．

变式3、(2019·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )

A ．672

B ．673

C ．1 346

D ．2 019

变式4、(2019苏锡常镇调研）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马在最后一天行走的里程数为________．

方法总结：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数列

考点二 等差数列与等比数列的综合