平移旋转与对称
平移旋转与对称
平移旋转与对称平移、旋转和对称是几何学中常见的变换形式，在数学中有着重要的应用和研究价值。
本文将介绍平移、旋转和对称的基本概念、性质以及它们之间的关系。
一、平移平移是指将一个图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，移动后的图形与原来的图形形状完全相同。
我们可以通过向量来描述平移。
设有平面上的一点A，平移的向量为v，则A点平移后得到的点A'可表示为A + v。
简单来说，平移是保持形状不变的移动。
平移的性质：1. 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
2. 平移保持图形上的任意两点之间的距离和夹角不变。
3. 平移具有可逆性，即可以通过反向平移将图形移回原来的位置。
二、旋转旋转是指将一个图形绕着某个点或某条线旋转一定的角度，使得旋转后的图形在形状上与原来的图形相似。
我们可以通过旋转矩阵来描述旋转变换。
设有平面上的一点A，绕O点逆时针旋转θ度后得到的点A'可表示为：[x' y'] = [cosθ -sinθ] [x - x0] + [x0][y - y0]其中(x0, y0)为旋转中心坐标。
旋转的性质：1. 旋转不改变图形的大小，只改变图形的位置和方向。
2. 绕同一个点旋转的图形之间的大小和形状相似。
3. 旋转保持图形上的任意两点之间的距离和夹角不变。
4. 旋转也具有可逆性，即可以通过逆时针旋转将图形旋转回原来的位置。
三、对称对称是指将一个图形中的点绕着一个轴进行翻转，使得翻转后的图形与原来的图形完全重合。
我们可以通过对称轴来描述对称变换。
设有平面上的一点A，关于对称轴l对称后得到的点A'可表示为A' = 2l - A。
简单来说，对称是保持形状不变的镜像变换。
对称的性质：1. 对称不改变图形的大小和方向，只改变图形的位置。
2. 关于直线对称的图形之间的大小和形状完全相同。
3. 对称保持图形上的任意两点关于对称轴的距离不变。
4. 对称具有可逆性，即可以通过再次对称将图形还原到原来的位置。
四下第1讲 平移、旋转和轴对称(解题思路)
第1讲平移、旋转和轴对称考点1：平移的两要素例1．如图所示：图形（1）向平移了格．图形（2）向平移了格．图形（3）向平移了格．【思路分析】找出各个图形平移后的对应关键点，即可得到平移的方向和距离，由此得解．【规范解答】解：如图所示：图形（1）向上平移了2格．图形（2）向左平移了4格．图形（3）向右平移了6格．故答案为：上，2，左，4，右，6．【名师点评】此题考查了利用平移进行图形变化的方法的灵活应用．练习1．（1）长方形向上平移了格．（2）六边形向平移了格．（3）五角星向平移了格．【思路分析】根据题意，结合图形，由平移的概念找出图形平移的方向，和平移的格数，即可求解．【规范解答】解：观察图形可知：（1）长方形向上平移了6格．（2）六边形向左平移了5格．（3）五角星向下平移了6格．故答案为：上，6，左，5，下，6．【名师点评】本题考查平移的基本概念及平移规律，关键是要观察比较平移前后物体的位置．2．填一填．（1）①向上平移了格．（2）②向平移了格．（3）③向平移了格．【思路分析】先找清楚方向，看原图到现在的图是向哪个方向平移的，然后在原图中选择一个点，找出这个点在后来图中的位置，然后数出这两个点之间的小格数即可．【规范解答】解：（1）①向上平移了2格．（2）②向左平移了4格．（3）③向右平移了6格．故答案为：上、2；左、4；右、6．【名师点评】解决本题关键是要数清楚平移的格子数．考点2：作平移后的图形例2．画出网格中图形向上平移1格，再向右平移3格后的图形．【思路分析】根据平移图形的特征，把平行图形的各个顶点分别向上平移1格，再向右平移3格，然后顺次连接各点即可．【规范解答】解：【名师点评】作平移后的图形关键是把对应点的位置画正确．练习1.（1）房子向右平移5格．（2）小船向下平移4格，再向左5格．【思路分析】（1）根据平移的特征，把小房子的各顶点分别向右平移5格，再依次连结即可得到向右平移5格后的图形．（2）同理即可画出小船向下平移4格，再向左平移5格后的图形．【规范解答】解：（1）房子向右平移5格（下图）:（2）小船向下平移4格，再向左5格（下图）:【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．考点3：运用平移的知识解决问题例3．一块平行四边形地底是18m，高是12m，地中间有两条1米宽的小路（如图），在这块地里种菜，种菜的面积是多少？【思路分析】将小路两旁部分向中间平移，直至小路消失，那么种菜的面积就是底为(181)--米，高为(121)米的平行四边形的面积，根据平行四边形的面积=底⨯高计算即可得出种菜的面积．【规范解答】解：(181)(121)-⨯-=⨯1711=（平方米）187答：种菜的面积是187平方米．【名师点评】此题主要考查平行四边形面积的计算．关键是求出图形切拼后平行四边形的底和高．练习1．如图，求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）【思路分析】如图所示：阴影部分①和空白部分②的面积相等，将①平移到②的位置，则阴影部分就变成了一个长方形，利用长方形的面积公式S ab=即可求解．【规范解答】解：据思路分析可知，阴影部分的面积为：(12)2+⨯=⨯32=（平方厘米）6答：阴影部分的面积是6平方厘米．【名师点评】规范解答此题的关键是：利用平移的方法，将不规则图形转化成规则图形，再根据规则图形的面积公式即可求解．2．一块草地形状如图的阴影部分，阴影部分的面积是多少平方米？【思路分析】把草地上左边的半圆放在右边就变成了一个长为10米，宽为6米的长方形，这个长方形的面积就是草地的面积．【规范解答】解：把左边的半圆平移到右边的半圆上后草地就变成了一个长方形，它的面积是：10660⨯=（平方米）；答：阴影部分的面积是60平方米．【名师点评】求组合图形的面积时经常用平移、旋转、填补、切割等方法把复杂的图形变成较简单的图形来算．考点4：旋转的三要素例4．根据图，回答问题．①号三角形是绕A点按顺时针方向旋转了度．②号梯形是绕B点按时针方向旋转了度．③号三角形是绕C点按时针方向旋转了度．④号平行四边形是绕D点按时针方向旋转了度．【思路分析】根据图形旋转的特征，一个图形绕某点顺时针（或逆时针）旋转一定的度数，某点的位置不动，其余各点（边)均绕某点按相同的方向旋转相同的度数．【规范解答】解：①号三角形绕A点按顺时针方向旋转了90度．②号梯形绕B点按逆时针方向旋转了90度．③号三角形绕C点按逆时针方向旋转了90度．④号平行四边形绕D点按顺时针方向旋转了90度．故答案为：顺，90，逆，90，逆，90，顺，90．【名师点评】本题是考查图形的旋转，关键是弄清旋转的方向与角度．练习1．①图形D绕点O按方向旋转︒到图形A所在的位置．②图形A绕点O按方向旋转︒到图形C所在的位置．③图形C绕点O按方向旋转︒到图形B所在的位置．【思路分析】旋转的要素是旋转方向，旋转中心，旋转角，据此即可解决问题．【规范解答】解：①图形D绕点O按逆时针方向旋转90︒到图形A所在的位置．②图形A绕点O按逆时针方向旋转180︒到图形C所在的位置．③图形C绕点O按顺时针方向旋转90︒到图形B所在的位置．故答案为：逆时针，90；逆时针，180；顺时针，90．【名师点评】本题主要考查了旋转的要素，是需要熟记的内容．3．如图：（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60︒后指向．（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90︒后指向．（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转︒后指向“3”．（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转︒后指向“8”．（5）指针从7:15到7:40绕点O顺时针旋转度．【思路分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是3601230︒÷=︒，即每两个相邻数字间的夹角是30︒，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了30︒，由此规范解答即可．【规范解答】解：（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60︒后指向3．（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90︒后指向9．（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转90︒后指向“3”．（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转120︒后指向“8”．（5）指针从7:15到7:40绕点O顺时针旋转150度．故答案为：3，9，90，120，150．【名师点评】关键弄清在钟面上指针绕中心从一个数字旋转到相邻的另一个数字旋转了多少度．考点5：作旋转一定角度后的图形例5．我会操作．（1）画出三角形绕点“A”顺时针旋转90度后的图形，并标为图1．（2）画出三角形绕点“B”逆时针旋转180度后的图形，并标为图2．【思路分析】（1）根据旋转的特征，三角形ABO绕点“A”顺时针旋转90︒，点“A”的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形1．（2）同理，三角形ABO绕点“B”逆时针旋转180︒，点“B”的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形2．【规范解答】解：（1）画出三角形绕点“A”顺时针旋转90度后的图形，并标为图1（图中红色部分）．（2）画出三角形绕点“B”逆时针旋转180度后的图形，并标为图2（图中绿色部分）．【名师点评】经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．练习1．画出小旗绕点O逆时针旋转90︒后得到的图形．【思路分析】根据旋转的意义，找出图中三角旗3个关键处，再画出绕O点按逆时针方向旋转90度后的形状即可．【规范解答】解：作图如下：【名师点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．考点6：轴对称图形的辨识例6．下面图形不是轴对称图形的是()A．B．C．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、B都是轴对称图形，而C不是轴对称图形；故选：C．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．练习1．下面9个交通标志图案中，有()个图形是轴对称图形．A．4B．5C．6D．7【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：是轴对称图形；故选：A．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．2．成轴对称的两个数字是()A．B．C．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、B都不是轴对称图形，只有C是轴对称图形；故选：C．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．考点7：画轴对称图形的对称轴例7.按要求画出下面轴对称图形的对称轴．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此画图规范解答即可．【规范解答】解：【名师点评】本题考查了轴对称图形的对称轴的确定，根据轴对称图形的对称轴两边的部分关于对称轴折叠能够完全重合作图即可，比较简单．练习1．画出下列图形的所有对称轴．【思路分析】（1）有三条对称轴，即过每个圆圆心与另外两个圆交点的直线．（2）有两条对称轴，即过个两个箭头顶点的直线，及箭头两个顶点间线段的垂直平分线．（3）等腰有一条对称轴，底边高所在的直线．【规范解答】解：【名师点评】此题是考查确定轴对称图形对称轴的条数及位置．关键是轴对称图形的意义及各图形的特征．考点8：作轴对称图形的另一半例8．动手画一画：以虚线为对称轴，画出下列图形的轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原图的关键对称点，依次连结即可．【规范解答】解：【名师点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连结各对称点即可．练习1.先画出下面这个轴对称图形的另一半，再画出这个轴对称图形向右平移8格后的图形．【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形的关键对称点，顺次连结．然后根据平移的特征，把图形的各点分别向右平移8格，再依次连结即可．【规范解答】解：先画出下面这个轴对称图形的另一半，再画出这个轴对称图形向右平移8格后的图形，作图如下：【名师点评】本题是考查作轴对称图形、作平移的图形．关键是确定对称点（对应点）的位置．2.下面的图形都是由相同的小正方形组成的，请分别在各图形上画一个同样大小的小正方形，使它们成为轴对称图形．【思路分析】因为如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此规范解答．【规范解答】解：作图如下【名师点评】此题是考查了轴对称图形的意义．考点9：镜面对称问题例9．如图是小明在平面镜中看到时钟形成的像，它的实际时间是()A．21:05B．12:02C．12:05D．15:02【思路分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称．【规范解答】解：如图实际时间是12:05．故选：C．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变．练习1．如图的钟面是从镜子里看到的，实际钟面上的时刻是．【思路分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反；图中镜子里看到的时间是6:40，由镜面对称左右方向相反特点，镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指刻度8，实际中是指刻度4，即20分；据此规范解答．【规范解答】解：因为镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指着刻度8，实际中是指刻度4，即20分，所以实际钟面上的时刻是5:20．故答案为：5:20．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．2．一位司机从反光镜中看到后面汽车的车牌是，这个车牌号实际是浙F．8765A．【思路分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称．【规范解答】解：如图，这个车牌实际是：浙F．8765A．故答案为：浙F．8765A．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变．3．从镜子里看的样子是()A．B．C．【思路分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，在镜中的样子，上下前后的样子不变，只有左右方向相反，所以．【规范解答】解：从镜子里看的样子是；故选：C．【名师点评】此题考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反．注意左右方向是相反的．考点10：运用平移、对称和旋转综合作图例10．按要求在方格纸上画一画．①把三角形先向右平移10格，再向上平移4格．②把长方形绕点A顺时针旋转90︒．③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形．【思路分析】①根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向右平移10格，依次连结即可得到向右平移10格后的图形；用同样的方法即可把平移后的图形再向上平移4格．②根据旋转的特征，长方形绕点A顺时针旋转90︒，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．③根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出右半图的关键对称点，依次连结即可．【规范解答】解：①把三角形先向右平移10格（图中灰色部分），再向上平移4格（图中红色部分）．②把长方形绕点A顺时针旋转90︒（图中绿色部分）．③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形（图中蓝色部分）．【名师点评】作平移后的图形、作旋转一定度数后的图形、作轴对称图形的关键是确定对应点（对称点）的位置．练习1．如图（1）将图形A先绕点O顺时针旋转90 ，再向左平移6格，得到图形C．（2）将图形B向右平移5格后得到图形D．（3）以直线l为对称轴作图形D的轴对称图形E．【思路分析】（1）以点O为旋转中心，把图形A的另外几个顶点，分别绕点O顺时针旋转90后，再依次连接起来，得到的图形再把各个顶点分别向左平移6格，依次连接起来即可得出图形C；（2）把图形B的各个顶点分别向左平移5格，再依次连接起来，即可得出图形D．（3）据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，画出图形D的轴对称图形E即可规范解答问题．【规范解答】解：根据题干思路分析可得：【名师点评】此题考查利用轴对称、旋转、平移进行图形变换的方法．。
平移旋转和轴对称
第一单元平移、旋转和轴对称第1课时图形的平移数海启航1.下面哪些物体的运动是平移是平移的,在□里画“√”;缆车的运动□汽车方向盘□汽车在公路上行驶□2.看图填一填;⑴两座房子都是向平移的; 号房子平移得长一些,1号房子平移了格,2号房子平移了格;⑵号长方形向下平移5格可以得到号长方形,1号长方形向平移格可以得到3号长方形;3.下面哪些图案可以由“基本图形”通过平移得到可以的,在里画“√”．□ □ □乘风扬帆4.按要求画一画;⑴三角形向右平移3格;⑵平行四边形向上平移2格;思维冲浪5.如下图,先将三角尺靠在一根直尺上,沿一条直角边画一条线段,把三角尺沿着直尺向右平移3厘米,沿三角尺的同一条直角边画一条线段,继续向右平移3厘米,再画一条线段;这样画出了三条线段;这三条线段互相 ;第2课时图形的旋转数海启航1.填一填;⑴左图中,从3:15到3:30,分针将会按时针方向旋转°;⑵①图形①绕点O顺时针旋转90°就到图形的位置;②图形②绕点O 时针旋转90°就到达图形③的位置,图形②想到达图形①的位置可以绕点逆时针旋转°;③图形③绕点O 时针旋转 ;可以到达图形①的位置,如果图形③绕点O 时针旋转 ;也可以到达图形①的位置;⑶左边的盘秤上已有千克的物品,再加入千克的物品,可以使指针顺时针旋转90°;2．观察下图,想一想,填一填;⑴四边形甲是四边形乙绕点A按时针方向旋转°得到的;⑵四边形甲绕点按时针方向旋转°得到四边形乙;乘风扬帆3.画一画;⑴①把梯形绕点A顺时针旋转90°;②把三角形绕点B逆时针旋转90°;⑵①把三角形小旗绕点A顺时针旋转90°;②把平行四边形小旗绕点B逆时针旋转90°;③把梯形绕点C顺时针旋转90°;思维冲浪4．下面哪些图案可以由“基本图形”通过旋转得到可以的,在□里画“√”：不可以的,在□里画“×”;□ □ □□□□第3课时图形的轴对称数海启航1.下面的图形是轴对称图形的在括号里画“√”,不是的画“×”;2.画出下面各图形的对称轴,各有几条对称轴条条条条条条条条条3.选一选;⑴在下面的数字中, 是轴对称图形;①②③④⑵在下面的字母中, 是轴对称图形;①Q ②W ③F ④L3在下面的图形中,轴对称图形共有个;① 1 ②2 ③3乘风扬帆4.画出下面每个图形的另一半,使它们分别成为一个轴对称图形;5.下面的图形各有几条对称轴条条条条条条思维冲浪6.选一选,下面各图形中,只有1条对称轴的图形有 ,有2条对称轴的图形有 ,超过2条对称轴的图形有 , 不是轴对称图形填序号;第4课时练习课数海启航1.下面这些图案中,如果包含平移现象,那么在括号里画“△”,如果包含旋转现象．那么在括号里画“○”;2.看图填一填;⑴图形甲是图形乙绕点按时针方向旋转°得到的;⑵图形甲绕点按时针方向旋转°可以得到图形丙;3.画出下面每个图形的另一半,使它们分别成为一个轴对称图形;4.画出下面指定度数的角;60°145°乘风扬帆5.⑴把三角形向下平移5格;⑵把平行四边形绕点A逆时针旋转90;,再向下平移4格;6.房子先向平移了格,再向平移了格;要从原来的位置平移到现在的位置;也可以先向平移格,再向平移格;思维冲浪7．将下图中的三角形先向左平移3格,再向右平移7格,相应地标上点A1、A2;将平移前后的图形分别绕点A、A1、A2顺时针旋转90°、180°、180°,画出图形并涂上颜色;第一单元自测卷一、填空;第7题8分,其余每空1分,共27分1．与时针旋转方向相同的是旋转,相反的是旋转;2．对折后两边能的图形是轴对称图形,折痕所在的直线叫作轴对称图形的 ;3．钟面上的时针从3：00到6：00旋转了°;4．如下图,指针逆时针旋转90°,从A旋转到；指针顺时针旋转90;,从D旋转到 ;要从B旋转到D,指针可以时针旋转 ,也可以时针旋转 ;5.图①向平移了格;图②向平移了格;⑴长方形乙绕点A按时针方向旋转90;得到长方形甲;⑵三角形丙绕点按时针方向旋转 ;得到三角形丁,6.⑴图①先向平移了格,再向平移了格;要从原来的位置平移到现在的位置,也可以先向平移格,再向平移格;⑵图②先向平移了格,再向平移了格;要从原来的位置平移到现在的位置,也可以先向平移格,再向平移格;二、判断;每题2分,共10分1.将三角形对折后一定能重合;2.长方形有4条对称轴,正方形有2条对称轴;3.电梯和钟摆的运动都是平移;4.长方形、正方形、平衍四边形、圆不都是轴对称图形;5.钟面上的针都是按顺时针方向旋转的;三、选择;每空2分,共18分1.下面的图形中,对称轴条数最多的是 ;①正方形②等边三角形③圆2.从6：00到6：30,分针旋转了 ;①30°②90°③180°3.下面的图案中, 是轴对称图形;①②③4.下面说法正确的是 ;①旋转改变图形的形状和大小②平移改变图形的形状和大小③旋转、平移都不改变图形的形状和大小5.下面的图案中,可以由“基本图形”通过旋转得到的是 ;①②③6.将下图绕点A顺时针旋转90°后是 ;①②③7.向右平移的是 ,向下平移的是 ;平移了8格的是 ;①正方形②长方形③圆四、操作;共35分1.判断下面的图形是不是轴对称图形,再画出轴对称图形的一条对称轴;是的在括号里：画“√”,不是的画“×”12分2.画出下面每个图形的另一半,使它们分别成为一个轴对称图形;4分3.⑴画出图①向下平移4格后的图形;2分⑵画出图②向左平移5格后的图形;2分4.⑴把三角形先向下平移4格,再向右平移7格;4分⑵把长方形绕点A逆时针旋转90°;2分5.⑴把小旗绕点A顺时针旋转90°,再向右平移5格;6分⑵把三角形绕点B逆时针旋转90°;3分五、找规律,接着画;第1题2分,第2题8分,典10分1.2.。
苏教版三年级数学上册六平移、旋转和轴对称(平移和旋转)课件
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/30
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
知识梳理
小练习：1.看图填一填。
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版
专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2） 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1） 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ） 抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2） 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--， 新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +， 顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3） 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1） 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图， 点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。
平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质
平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质平移、旋转和对称是几何学中重要的概念和操作。
它们是描述和变换图形位置和形状的基本工具。
本文将详细介绍平移、旋转和对称的定义及其性质。
一、平移的定义与性质平移是指将一个图形沿着一定方向移动一定距离，而不改变其形状和方向。
下面是平移的定义与性质：定义：平移是指将一个图形中的所有点，按照同样的方向和距离，同时保持相对位置的变换操作。
性质：1. 平移不改变图形的大小、形状和方向。
2. 平移后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 平移是一个向量运算，可以用向量表示平移的方向和距离。
4. 任意两个平移可以合成为一个平移。
二、旋转的定义与性质旋转是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定角度，使得旋转后的图形与原图形相似但方向和位置发生变化。
下面是旋转的定义与性质：定义：旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，使得旋转前后图形中的对应点的距离保持不变。
性质：1. 旋转不改变图形的大小、形状和方向。
2. 旋转后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。
4. 旋转是一个变换操作，可以用旋转中心和旋转角度来描述。
三、对称的定义与性质对称是指将一个图形分割成两个部分，使得两个部分关于某条直线、点或中心对称。
下面是对称的定义与性质：定义：对称是指将一个图形按照某个轴线或点进行折叠或旋转，使得折叠或旋转后的图形与原图形重合。
性质：1. 对称不改变图形的大小、形状和方向。
2. 对称后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 图形关于对称轴对称时，对称轴上的点不动；图形关于对称中心对称时，对称中心不动。
4. 对称操作是可逆的，即对称两次会得到原来的图形。
综上所述，平移、旋转和对称是几何学中常用的图形变换操作。
它们各自有着特定的定义和性质，可以描述和变换图形的位置和形状。
理解和掌握平移、旋转和对称的定义与性质，将有助于我们在解决几何问题和应用几何知识时进行准确的操作和分析。
《对称、平移和旋转》教学设计一等奖
《对称、平移和旋转》教学设计一等奖1、《对称、平移和旋转》教学设计一等奖教学目标：1、让学生经历长方形、正方形等轴对成图形各有几条对称轴的探索过程，会画简单的几何图形的对称轴，并借此加深对轴对称图形特征的认识。
2、让学生在学习过程中进一步增强动手实践能力，发展空间观念，培养审美情操，增加学习数学的兴趣。
教学重点：经历发现长方形、长方形对称轴条数的过程。
教学难点：画平面图形的对称轴。
教学准备：p.119的图，剪刀、尺等教学过程：一、认识四边形的对称轴：1、取一张长方形纸，请学生说说长方形的特点。
对折，画出它的对称轴。
交流：你是怎么画的？强调：对称轴要用点划线来画，长方形有2条对称轴。
问：这条对角线是不是它的对称轴？为什么？2、用一张正方形纸对折，并画出它的对成轴。
交流：你画了几条对称轴？3、长方形和正方形都是特殊的四边形。
四边形中还有哪几种你叫得出名的图形？它们也都是轴对称图形吗？各有几条对称轴？请你把剪下来的平行四边形、菱形、直角梯形、等腰梯形分别都折一折、画一画。
交流：平行四边形不是轴对称图形。
菱形可以理解为平行四边形，它有2条对称轴。
直角梯形不是轴对称图形。
等腰梯形有1条对称轴。
适当板书，并请学生看板书说一说。
4、认识三角形的对称情况：三角形是对称图形吗？请你用准备好的三角形，折一折、画一画。
交流：一般的三角形不是轴对称图形。
等腰三角形有1条对称轴。
等边三角形有3条对称轴。
问：你发现了什么？（要有同样的边长才有轴对称的可能。
）二、练习：1、下面的图形都是轴对称图形吗？是轴对称图形的各有几条对称轴？试着把它们画出来。
几点注意：（1）点划线是直线，要画出头；（2）要画全。
（3）第3张图转过来看，并不对称，所以要主要仔细观察。
第四张图，可先选一个叶片画出来，再画出它对称的另一半，通过观察，了解它是旋转后得到的.，并不是对称的。
2、画出下面每个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
3、先画出下面每个图形的对称轴，再交流。
三年级数学上册---平移、旋转及轴对称( 知识梳理+例题精讲+易错专练)
第6讲平移、旋转及轴对称一、思维导图二、知识点梳理知识点一：平移在同一平面内，物体或图形沿着某一直线方向运动的现象叫做平移。
平移时物体或图形的形状、大小和方向没有变化，只是位置改变了。
知识点二：旋转物体或图形绕一个点或一个轴运动的现象叫做旋转。
旋转时物体或图形的形状和大小不变，其自身的运动方向发生了变化。
注意：旋转分为顺时针旋转和逆时针旋转。
知识点三：轴对称图形一个图形沿着一条直线对折后，折痕两边的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。
轴对称图形沿对称轴对折后，两边能够完全重合，即对称的点、对称的线段都能够完全重合，对称点到对称轴的距离相等。
三、例题精讲考点一：平移和旋转1．能够通过下图平移得到的图形是（）。
A．B．C．D．2．在括号中填“平移”或“旋转”。
（1）小明进教室开门时，门的运动是()。
（2）小丽拧开纯净水瓶盖，瓶盖的运动是()。
（3）小红拉开窗帘，窗帘的运动是()。
（4）老师将课桌拖到最后一排，桌子的运动是()。
3．观察下面的图形，然后填空。
(1)小汽车向()平移了()格。
(2)小船向()平移了()格。
(3)飞机向()平移了()格。
4．如图所示。
（1）小狗先向左走4格，再向下走6格，它能吃到肉骨头吗？如果能，请你把小狗的行走过程在方格中画出来；如果不能，请你帮小狗设计一个正确的行走方案。
（2）小狗吃完肉骨头后接着想去吃大鸡腿，它应该怎么走？考点二：轴对称图形5．图形是从（）对折的纸上剪下来的。
A．B．C．D．6．如图，一个大正方形被分成16个大小相同的小正方形，其中四个小正方形已涂成阴影，若再将一个小正方形涂成阴影，使所有阴影区域构成轴对称图形，则这个小正方形的编号为()。
7．拿一张长纸条，将它一反一正折叠起来，并画出字母E。
用小刀把画出的字母E挖去，拉开就可以得到一条以字母E为图案的花边，如图。
观察整条花边，左起和右起的三个图案各为一组，这两组图案有什么关系？8．（1）下面五个图形中，是轴对称图形的有（）。
《轴对称图形》平移、旋转和轴对称
对于任何一对对称点，它们到对称轴的距离相等，且连线垂直于对 称轴。
旋转与轴对称的关系
一个图形以某点为旋转中心旋转一定角度后与另一个图形重合，那 么这两个图形关于这条旋转中心成轴对称。
轴对称应用
艺术领域
许多艺术作品都利用了轴对称原 理，如建筑、雕塑、绘画等，给
人以美的感受。
自然界中
自然界中许多物体也具有轴对称 性，如叶子、花朵、动物身体等 ，这反映了自然界中一种平衡和
平移的性质
平移不改变图形的形状、 大小和方向，只改变图形 的位置。
平移性质
对应线段相等
平移后得到的图形与原图形对应线段相等。
对应角相等
平移后得到的图形与原图形对应角相等。
对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等
平移后得到的图形与原图形对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
平移应用
平行四边形的判定
旋转定义
旋转
在平面内，将一个图形绕 一个定点沿某个方向转动 一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
旋转角
图形旋转时转动的角度。
旋转中心
图形旋转时，定点所在的 位置称为旋转中心。
旋转性质
旋转方向：可以是顺时针或逆 时针方向。
旋转角度：可以是任意角度， 但必须是0°的整数倍。
旋转前后图形全等，对应点到 旋转中心的距离相等，对应线 段长度、对应角大小相等。
根据平行四边形对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另 一个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四 边形。
梯形的判定
根据梯形一组对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另一 个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是梯形。
2024年九年级数学中考专题：二次函数平移对称旋转 课件
(x,y +b)
(x,y -b)
口诀：上加下减，左减右加
坐
标
旋
转
变
换
一、坐标平移旋转对称
点(x,y) 绕着（m,n）旋转180° ，求旋转后的
点的坐标？
中点坐标公式：
A(1 , 1 ), B(2 , 2 ),
1 +2 1 +2
AB中点 (
,
)
2
2
旋转后的点的坐标( − ,2n-y)
中考专题：
二次函数平移旋转对称
目录
一
二
三
坐标平移旋
转对称
二次函数
表达式
例题讲解
四
方法归纳
五
学以致用
一、坐标平移
旋转对称
坐
标
平
移
变
换
一、坐标平移旋转对称
x轴 向左平移a个单位(x,y)
向右平移a个单位(x,y)
(x-a,y)
(x+a,y)
y轴 向上平移b个单位(x,y)
向下平移b个单位(x,y)
坐
标
对
称
变
换
一、坐标平移旋转对称
关于x轴对称 (x,y)
关于y轴对称 (x,y)
(x, -y)
(- x, y)
口诀:关于谁对称，谁不变，另一个互为相反数
关于原点O对称 (x,y部互为相反数
二 、二次函数
表达式
二、二次函数表达式
一般式：y = 2 + + ( ≠ 0, , 均为常数)
变式2
(3)抛物线2 与抛物线1 关于原点O对称，求抛物线 2 的表达
式
三、例题讲解
平移旋转与对称的应用
平移旋转与对称的应用平移、旋转和对称是几何学中常见的概念和操作，它们在数学、物理、工程和艺术等领域有着广泛的应用。
本文将探讨平移、旋转和对称的应用，并举例说明它们在不同领域中的实际应用。
一、平移的应用平移是指物体在平面上按照一定方向和距离移动的操作。
平移不改变物体的形状和大小，只改变了物体在平面上的位置。
平移在日常生活中有着广泛的应用，比如：1. 地图导航：我们在使用地图导航时，可以通过平移地图来查找目标地点的位置，从而确定正确的行进方向。
2. 摄影修正：在拍摄照片时，有时候会由于拍摄角度或位置的偏差导致图像中的物体位置不准确，此时可以通过平移操作来修正照片中物体的位置。
3. 动画制作：在电影、游戏和动画制作中，平移经常被用来控制人物、物体的运动轨迹，从而创造出流畅自然的动画效果。
二、旋转的应用旋转是指围绕某一中心点按照一定角度进行转动的操作。
旋转可以改变物体的朝向、角度和位置，它在很多领域中都有着重要的应用，比如：1. 机械工程：在机械领域中，旋转广泛应用于各种旋转机构和传动装置中，比如汽车发动机、电机、轴承等，它们通过旋转实现不同工作部件的运动和转动。
2. 制造业：在制造产品的过程中，往往需要对零部件进行旋转操作，以便进行加工、拼装等工序，从而实现产品的制造与装配。
3. 几何建模：在计算机图形学和三维建模中，旋转是一种常见的操作，用于改变物体的方向、角度和视角，从而创建出立体感的图形和模型。
三、对称的应用对称是指物体上的一些特征在某种变换操作下保持不变的性质。
对称在很多领域中具有重要的应用，比如：1. 建筑设计：对称常常被用于建筑设计中，通过对称的布局和装饰可以创造出和谐、美观的建筑形式。
比如，许多古代宫殿和寺庙都采用对称的设计风格。
2. 化学结构：在化学领域中，分子的对称性对于研究其结构和性质具有重要意义。
通过分析分子的对称性，可以推断出分子的空间结构和反应特性，从而指导化学实验和应用。
3. 图案设计：对称的图案常常被用于艺术和纹身设计中，通过对称的形式和图案可以创造出美观、平衡的视觉效果，吸引观众的注意力。
旋转与平移轴对称的异同点
旋转与平移轴对称的异同点
旋转和平移都是刚体的变换方式，而且它们都可以维持物体的形状和大小不变，只是改变了物体所处的位置或方向。
但是它们的变换方式有所不同。
相同点：
1. 维持物体形状不变：旋转和平移都是刚体变换，对物体的形状没有影响，不会改变物体的大小、形状和空间结构。
2. 不改变物体在空间中的朝向：旋转和平移都可以保持物体的朝向不变，只是改变物体所处的位置或方向。
3. 不改变物体的中心点：旋转和平移都是以物体中心点为基准进行变换，不会改变物体的中心点。
差异点：
1. 变换方式不同：旋转是通过以物体中心为基准旋转物体一定角度，平移是通过以物体中心为基准将物体整体移动到新的位置。
2. 变换效果不同：旋转会使物体在空间中绕着中心点旋转一定角度，改变物体的方向；平移会使物体整体移动到新的位置，但不改变物体的方向。
3. 相应参数不同：旋转可以用角度来描述旋转的大小和方向，平移可以用位移向量来描述平移的大小和方向。
总结：
旋转和平移都是刚体变换的方式，它们都可以维持物体的形状和大小不变，只是改变了物体所处的位置或方向。
旋转是以物体中心为基准旋转物体一定角度，改变物体的方向；平移是以物体中心为基准将物体整体移动到新的位置，但不改变物体的方向。
平移、旋转、轴对称
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------平移、旋转、轴对称什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的的方向什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的的方向和距离？如何确定旋转角度和旋转中心？（1）什么是平移、旋转、轴对称？平移：一个图形在平面内沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。
旋转：一个图形在平面内绕着一个固定点转动一定角度，这样的图形运动叫旋转，这个固定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角度。
轴对称：如果一个平面图形，沿着某一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线叫对称轴。
互相重合的点叫对称点。
（2）如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？在学习中，学生可能会问到摩天轮的运动、窗帘的拉动、门的转动、荡秋千、钟摆等生活现象算不算旋转。
回答这些具体的问题，教师首先需要理解轴对称、平移和旋转的概念在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，1 / 5也叫做合同变换。
如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，即原来的图形中，任意两点的距离假设是 l 的话，经过变换后的两点之间的距离仍是 l，所以全等变换是一个保距变换，而且由于距离保持不变，图形整体的形状、大小，都可以证明仍然是保持不变的。
全等变换有几种方式。
我们可以想象一下两个完全一样的图形，要由一个图形的运动得到另一个图形，可以作怎样的运动呢？可以是平移。
除此以外呢？比如两个三角形有一顶点重合，那么有两种情况：一种是这两个三角形的三个顶点顺序是一致的，这时其中一个经过旋转就能与另一个重合；还有一种是顶点的顺序相反，这时将其中一个反射（翻折）就能得到另一个。
平移旋转与对称的概念与计算
平移旋转与对称的概念与计算平移、旋转和对称是几何学中常见的概念和操作。
它们不仅存在于我们的日常生活中，而且在数学和物理学等学科中也有广泛的应用。
本文将介绍平移、旋转和对称的基本概念，并探讨它们的计算方法。
一、平移的概念与计算平移是指将一个图形在平面上不改变其形状和大小的情况下，按照指定方向和距离移动的操作。
在平移过程中，图形的每一个点都按照相同的方向和距离进行移动，从而使得整个图形发生平行移动。
计算平移可以通过给定平移向量来完成。
平移向量是由两个数值组成的有序对，分别表示水平和垂直方向上的移动距离。
以二维平面上的一个点 P(x, y) 为例，若进行平移操作，平移向量为 (a, b)，则点 P 平移后的位置为 P'(x+a, y+b)。
整个图形中的每一个点都按照此公式进行平移计算，从而完成所有点的平移操作。
二、旋转的概念与计算旋转是指将一个图形按照一定角度和中心进行转动的操作。
在旋转操作中，图形的每一个点都按照相同角度和相同中心进行旋转，从而使得整个图形发生旋转变化。
计算旋转可以通过给定旋转角度和旋转中心来完成。
旋转角度可以用度数或弧度表示，旋转中心是旋转操作的中心点坐标。
以二维平面上的一个点 P(x, y) 为例，若进行旋转操作，旋转角度为θ，旋转中心为 O(a, b)，则点 P 旋转后的位置为 P'(x', y')。
根据旋转的数学原理，我们可以得到如下的计算公式：x' = (x-a)*cosθ - (y-b)*sinθ + ay' = (x-a)*sinθ + (y-b)*cosθ + b其中，(x', y') 为旋转后点的坐标，(x-a, y-b) 是点 P 相对于旋转中心O 的坐标向量。
三、对称的概念与计算对称是指图形按照某一个中心轴或中心点进行镜像翻转的操作。
在对称操作中，图形的每一个点都按照相同的中心轴或中心点进行对称翻转，从而使得整个图形在镜像中保持对称。
图形的轴对称、平移与旋转的知识点
图形的轴对称、平移与旋转一、轴对称图形与轴对称如果一个图形沿着某条直线对折如果两个图形对折后，这两个图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称如果一个图形绕某一点旋转180°后能与如果一个图形绕某点旋转180°后与平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.。
《对称、平移和旋转》图形的运动PPT课件 (共34张PPT)
用铅笔和尺子完成课本上 23页画一画（1）
欣赏之旅
各式窗花
旋转 对称
平移
平移
旋转
数学思想： 同学们，生活中很多复杂、美丽 的图案其实可以用一个简单的图形经 过平移、旋转和轴对称得到，我们设 计图案时可以采用这种以简驭繁的思 想，化复杂于简单，化简单于神奇。
我是设计师！
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
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平移旋转与对称
一、选择题
1. （2014•福建泉州，第5题3分）正方形的对称轴的条数为（）
A ．1B．2C．3D．4
考点：轴对称的性质
分析：根据正方形的对称性解答．
解答：解：正方形有4条对称轴．
故选D．
点评：本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．
2. （2014•广东，第2题3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形
的是（）
A．B．C．D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. （2014•广西贺州，第6题3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．等边三角形B．平行四边形C．正方形D．正五边形
考点：中心对称图形；轴对称图形．
专题：常规题型．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解答：解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．(2014年天津市，第3 题3分)下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
点评：此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
5．（2014•新疆，第9题5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，则EF的值是（）
A．B．2C．D．2
分析：
解答：解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，
∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，
∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，
作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，
在Rt△DHC中，DH==2，
∴EF=DH=．
故选A．。