八年级数学全等三角形添加辅助线学案精品文件
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添加辅助线证三角形全等题库
考点分析:
全等三角形是初中数学中的重要内容之一,是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL,如果所给条件充足,则可直接根据相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析,先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。
【常见辅助线的作法有以下几种】
1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。
2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等
变换中的“旋转”。
3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形
全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,
是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、
差、倍、分等类的题目。
6、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,
利用三角形面积的知识解答。
找全等三角形的方法:
(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;
(3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法:
①延长中线构造全等三角形;
②利用翻折,构造全等三角形;
③引平行线构造全等三角形;
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种:
(1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。
2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD
在AB上选一点F,使AF=AC,连接EF。
因AE是∠CAB的平分线,∠CAE=∠FAE,
又AC=AF,AE=AE
所以,△CAE≌△FAE
则∠C=∠AFE
又由AC//BD知∠C+∠D=180°
而∠AFE+∠BFE=180°
所以,∠D=∠BFE
又已知EB是∠ABD的平分线,即∠DBE=∠FB E,另外,还有EB=EB
所以利用三角形全等的判断定理AAS知△DBE≌△FBE,
所以,FB=DB
因此,AB=AF+FB=AC+BD。
例1:如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC 于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证:BD=2CE。
思路分析:
1)题意分析:本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用
2)解题思路:要求证BD=2CE,可用加倍法,延长短边,又因为有BD平分∠ABC的条件,可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程:
证明:延长BA,CE交于点F,在ΔBEF和ΔBEC中,
∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,
∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,
∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。
解题后的思考:等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力,而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系,为同学们开拓了一个广阔的探索空间;并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想,它是解决问题的关键。
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,并交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6cm,求△DEB的周长。
2.如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC.
(2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2:如图,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。求证:ΔABC是等腰三角形。
思路分析:
1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2)解题思路:在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件,而且要求证AB=AC,可倍长AD得全等三角形,从而问题得证。
解答过程:
证明:延长AD到E,使DE=AD,连接BE。
又因为AD是BC边上的中线,∴BD=DC
又∠BDE=∠CDA
ΔBED≌ΔCAD,
故EB=AC,∠E=∠2,
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠E,
∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形。
解题后的思考:题目中如果出现了三角形的中线,常加倍延长此线段,再将端点连结,便可得到全等三角形。
(3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例3:已知,如图,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD。求证:∠B+∠ADC=180°。