概率论复习(一)

(B) a 1 , b 3
2
2
（D) a 1 , b 3 22
3、设X ~ N (, 2 )，则随着的增大 ，概率
P{ X }应（ ）
（A) 保持不变 (C) 变小
（B）增大 （D) 不确定
23
二 填空
13、设X
~
f
(x)
ax b, 0,
1 x 3
其它
且P{2 X 3} 2P{1 X 2} 则常数a 1/3 b -1/6
事件的概率： 事件在随机试验中发生的可能性的大小。
概率的运算法则和基本公式：
（1）P() 0; P() 1.
(2) 对于任一事件A , 有 P( A) 1 P( A) (3)若A1, A2, , An是两两互不相容的事件，则有
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( An );
1 3
P(B2 )
C
2 3
C120
P
(
A
|
B0
)
5 8
6 P( A | B1 ) 8
7 P( A | B2 ) 8
2
7
P( A) i0 P( A | Bi )P(Bi ) 10
(2)P(B0 | A)
P( A | B0 )P(B0 ) P( A)
5; 12
例10 假如某公路上行驶的载重汽车与其它汽车的 数量之比是3 ：2；前者中途停车修理的概率是0.02， 后者中途停车修理的概率是0.01。现在有一辆汽车 停车修理，求它是载重汽车的概率。
解 B1 “载重汽车”B2 “其它汽车” A “汽车停车修理”；
P(B1
A)
P( AB1) P( A)
P(B1)P( A B1) P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 )
3 / 5 0.02 3 / 5 0.02 2 / 5 0.01
3 4
二、 随机变量及其概率分布
1、随机变量及分布函数的概念
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
也可利用对立事件
PA B 1 P A B 1 P A B
化为事件的积
n
7）全概率公式 PB PAk PB | Ak K 1 A1, A2 , , An为划分
2、设X ~ N(2, 2),
且P{2 X 4} 0.3, 则P{X 0} __0_.2_____
3、设X～b(2, p) ，Y~b(3, p) 且P(X≥1)=5/9， 则 P(Y ≥1)=( 19/27 )
4、设随机变量X服从U(1,6),则方程
x2 Xx 1 0有实根的概率是
4 5
几 种 常 用 指数分布： 的 连 续 正态分布： 型 分 布
标准正态分布：
注意 正态分布随机变量函数的标准化.
X ~ N (, 2 ) X ~ N (0,12 )
X
称为标准化的随机变量,有 ( x)表可查。
若X ~ N(, 2 ),
P(a
X
b)
a P(
X
b
)
(b ) ( a )
P( X 1) 1 P( X 0)
1 ( 2 )6 665
3
729
31
例6 一食盐供应站的月销售量X(百吨)是随机变量。 其概率密度为：
f
(x)
2(1Leabharlann 0x)若0 x 1 其它
问每月储备多少食盐，才能以96%的概率不至脱销？
解：设每月储备a 吨食盐，则
P(X a) a f (x)dx 1 (1 a)2 0.96
3）利用概率分布
4.事件的独立性和独立试验 事件A和B独立，如果
P(AB) P(A)P(B)
例1. 设 A, B表,C示三个事件,试表示下列事件
(1) A,与B 都C发生 (2) A与 发B生, 不C发生 (3) A,与B 至C少有一个发生 (4) A, B 与 C全不发生 (5) A,与B 至C少有两个发生
概率论与数理统计
内容提要与 例题选讲
一、 事件及其概率
1. 事件及其关系和运算
（1）事件之间的关系：
包含、相等、不相容、对立(互逆)
（2）事件之间的运算及运算率：
和(并）、差、积（交） 交换律、结合律、分配律
德摩根律 A B A B; A B AB A AB;
A B A B;
2. 概率的概念和公式
P{x1 X x2 }＝F( x2 ) F( x1)
＝ x2 f (t ) d t x1
x1 x2
在 f (x) 的连续点处，
f ( x) F ( x)
f ( x)dx＝1 ; f ( x) 0
f (x)
F ( x)
0x x f (x)
0 x1 x2 x
均匀分布： X ～ U [a, b]
8）条件概率
1）在缩减样本空间中计算。
2）用公式 P(B | A) P(AB)
3）用贝叶斯公
P( A)
式
P(Bi
|
A)
P( ABi P( A)
)
(i 1,2, ,n)
P( A | Bi )P(Bi )
n
P( A | Bi )P(Bi )
i 1
3.事件的概率的计算
1）直接计算
古典概型
2）利用概率的性质和公式
故
0.8
32
例8. 某电子元件的寿命服从 N ( 300, 352 ),
求:电子元件寿命在250个小时以上的概率;
解: 设 X = “电子元件的寿命” 则X ~ N(300,352 ), P{X 250} 1 P{X 250} 1 ( 250 300) 35 0.9236
例9：设 求Y=2
F(x, y) P{( X x) (Y y)}
P{X x,Y y}
称为二维随机变量( X ,Y )的分布函数，或联合分布 函数。
37
2、离散型随机变量
( X ,Y )的联合分布律 P{ X xi ,Y y j } pi j
(i , j 1 , 2 , ) ( X ,Y ) 关于 X 的边缘分布律为
P{ y X y } FX ( y ) FX ( y )
求导可得
1
fY
(
y)
dFY ( dy
y
)
2
y
fX ( y ) fX (
0,
y) , y 0
y0
三 、 二维随机变量及其概率分布
1、二维随机变量及联合分布函数的概念 设X和Y都是随机变量，则称 ( X ,Y ) 为二维随机变量 或二维随机向量。 对于任意实数x, y, 二元函数
P{ X xi } pi j (i 1 , 2 , ) 记做 pi•
同理
j 1
P{Y y j } pi j ( j 1 , 2 , ) 记做 p• j
i 1
且有: pi• 0
pi•
pij 1
i 1
i1 j1
3、 连续型随机变量
( X ,Y )的联合分布函数
yx
F(x , y)
(4) P(B A) P(B) P(AB)
(5)乘法公式 P( AB)
P( A)P(B | A) 一般情况
P( A)P(B)
A, B相互独立
6）
一般
P(
A
B)
P(
A
B)
P(
A)
P(B)
P(
AB)
情况
P( A B) P( A) P(B) AB
可推广到多个事件的情形: 如三个事件
5、设随机变量X服从参数的泊松分布
且p(x=0)= e-2 则p(x>1)= 1 3e2
例1. 设随机变量 X的密度函数为 f ( x),
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
0, 其它
求F(x) .
解：F(x) P{X x}
x
f (t)dt
当x 1时, F ( x) 0
当1 x 1时, F( x)
2
) 2
y8 32
,
0
8 y 16 , 其它
例10 设 X 具有概率密度 fX ( x), 求Y X 2的概率密度
解:设 X 和Y 的分布函数分别为FX ( x)和FY ( y) Y X 2 0 当y 0时, FY ( y) 0
当y 0时, FY ( y) P{Y y} P{X 2 y}
P{Y y} P{( X ) y} P{X h( y)} f (x) dx xh( y)
一、选择
1、
设F（1 x），F2
(x)分别是X1,
X
的分布函数，为使
2
aF（1 x）-bF2(x)成为某一随机变量的分布函数，则（ ）
（A) a 3 , b 2
5
5
（C）a 2 , b 2 33
两只球都为白球的概率；
解 Bi “第一次取到的两球中恰有i个红球” （i 0, 1, 2） A “第二次取到白球”；
2
P( A) P( A | Bi )P(Bi ) i0
2
P( A) P( A | Bi )P(Bi ) Bi “恰有i个红球”
i0
P(
B0
)
C
2 7
C120
P(
B1
)
C71C C120
(2)设Y为首次停车前遇到的交通岗数，求Y的分布率。
(3)求从甲地到乙地至少遇到一次红灯的概率。
解:
(1)
P{X＝k}＝C6k
(1)k 3
( 2)6k 3