数学必修四三角函数题型分类
高中数学必修四----常见题型归类
高中数学必修四 题型归类山石第一章 三角函数1.1任意角和弧度制题型一：终边相同角1.与2003-终边相同的最小正角是______________，最大负角是_________。
2.终边在y 轴上的角的集合为________。
3.若角α与5α的终边关于y 轴对称，则角α的集合________ __ 。
题型二：区域角1.第二象限的角的集合为______ __2.如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______ __3.若α是第二象限的角，确定2α的终边所在位置 .确定2α的终边所在位置 .题型三：弧度制1.若扇形的面积是1cm 2，它的周长是4cm 2，则扇形圆心角的弧度数为 .2.若扇形周长为一定值c (c >0)，当α= ，该扇形面积最大．1.2任意角的三角函数题型一：三角函数定义y45030x1.α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝42x，则sin α的值为 .2.已知角α的终边在直线3x+y=0上，则sin α= ,tan α=题型二：三角函数值的符号与角所在象限的关系1.4tan 3cos 2sin 的值。
A 小于0 B 大于0 C 等于0 D 无法确定 （ ）2.已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在 ( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上题型三：三角函数线1.设MP 和OM 分别是角1819π的正弦线和余弦线，则MP 、OM 和0的大小关系为______2.1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为_______________题型四：同角公式1.化简1－2sin200°cos160°＝________.2.222tan1tan 2tan 88tan 89sin 1sin 2sin 89οοοοοοο⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯++⋅⋅⋅+的值为________． 3.已知ααcos sin 21=,求下列各式的值： （1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--; （2） 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.4.tan110°＝k ，则sin70°的值为 ( )A ．－k 1＋k 2 B.k 1＋k2C.1＋k 2k D ．－1＋k2k5.已知51cos sin =-θθ ()πθ,0∈ 求值：（1）θθcos sin ; （2）θθcos sin -;（3）θtan ; (4) θθ33cos sin -1.3三角函数的诱导公式题型：诱导公式1.437tan323cos 641sin πππ-= ________．2.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)=3.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于 ( )A ．2B ．223-πC ．2－π2D.π2－24.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 3αcos(π2－α)cos(π2＋α)＝1.4．三角函数的图像与性质题型一：三角函数的定义域1.（1）函数)12sin 2lg(+-=x y 的定义域是（2）函数y ＝1)43tan(-+πx 的定义域是________________．题型二：三角函数的值域1.（1）函数y ＝cos 2x ＋sin x －1的值域为___________．（2）函数xx y cos 31cos 2+-=的值域为___________．（3）函数f(x)＝sin xsin(x －π3)在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为________．(4) 函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin xcos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π3的值域为____ 2.设函数f (x )＝A ＋B sin 2x ，若B ＜0时，f (x )的最大值是32，最小值是－12，则A ＝________，B ＝________．3.(1)(2012·高考湖南卷)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D ．[－32，32]题型三：三角函数的周期1.画出函数x y tan =的图象并指出函数的周期______2.（1）函数y ＝2sin （4π－2x）+1的周期为_____.（2）函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的周期____（3）函数21)42sin(-+=πx y 的周期_______3．设函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．4.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.题型四：三角函数的奇偶性1.判断下列函数的奇偶性 （1）)234cos(2π-=x x y （2）3tan 2-=x y（3）xxx y sin 1cos sin 12+-+=2.函数()f x =(x +1)2+sin xx 2+1的奇偶性_________________3.函数f (x )＝sin(x+φ-π12) 是R 上的奇函数，则ϕ的值是__________________4.已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π3题型五：三角函数的单调性1.将52sinπ，56cos π，57tan π按从小到大的顺序排列，依次是_________________2.指出下列函数的的单调递减区间 （1）y ＝2)24sin(x-π+1（2）y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 ．（3）x y 2sin log 3.0= .3.下列函数中，周期为π，且在(0, π2)上单调递增的是 ( )A ．y ＝tan|x|B ．y ＝sin|x|C ．y ＝|sinx|D ．y ＝|cosx|4.函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上 ( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M5.已知ω是正实数，函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上是增函数，那么ω的取值范围是________．6.★已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求ω和φ的值．7.已知函数y =x x x cos sin 23cos 212+ +1,x ∈R.(1)当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合；（2）指出此函数的振幅、周期、初相、频率和单调区间；题型六：三角函数的对称性1.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴为 ，对称中心为 ．2. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________；3.函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________．4.已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π45.如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，那么=a（ ）A ，2B ，2-C ，1D ，1-6.把函数y x －sin x 的图象向左平移m （m ＞0）个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是 ．7.已知函数f(x)＝3sin (ωx －π6)(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是( )A ．[－32，3]B ．[－3，3]C ．[－12，32]D ．[0，32]8.函数f(x)＝sin xsin(x －π3)的最小正周期、最值、对称中心、单调区间.1.5 函数y=Asin(ωx+φ)图象题型一：三角函数的图象变换1.要得到y ＝)2sin(x -的图象，只需将y ＝)62sin(π--x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位2.已知函数y =23sin （2x +6π）（1）当[)+∞∈,0x ，指出此函数的振幅、周期、初相、相位、频率；(2)用五点作图法画出函数y =23sin （2x +6π）[]0,4x π∈的图象；（3）说明此函数的图象可以由y =sin x 的图象经怎样的变换得到？3. (2013·济宁模拟)给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是________________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．4.已知函数21cos sin 3cos )(2++=x x x x f （1）先将)(x f y =化成B x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的形式，再求函数()f x的周期；（2）列表、描点画出)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ1211,12上的图象。
三角函数高考题型分类总结
三角函数高考题型分类总结根据出现频率和难度程度，三角函数的高考题型可以分为以下几类：1.求解三角函数值：给定某个角度，求其正弦、余弦、正切等函数值。
这是三角函数的基本应用，通常难度较低。
2.证明恒等式：要求学生运用三角函数的基本公式和性质，证明某些三角函数的恒等式。
难度较高。
3.解三角形：给定某些三角形的一些角度或边长，要求学生利用三角函数的基础知识求解其余角度或边长。
难度较高。
4.求解三角方程：给定某些三角函数的式子，要求学生解出该式的解集。
这种题型通常需要学生掌握一定的三角函数公式，难度较高。
5.综合应用：要求学生将三角函数运用到实际问题中，如求解高度、距离等。
考察学生对三角函数的理解和应用能力。
难度较高。
除了以上几种常见的题型，还可能出现一些变形题，需要学生根据题目情况灵活运用三角函数的知识。
总的来说，三角函数在高考中的重要性不言而喻，学生需要扎实掌握相关知识和技能。
6.三角函数的图像与性质：考察三角函数的图像、周期、奇偶性、单调性等性质，需要学生掌握函数图像的绘制和相关概念的理解。
7.复合三角函数：考察学生对三角函数复合的概念和公式的掌握，需要注意不同变换下函数值的变化。
8.三角函数的导数：考察学生对三角函数的导数概念和计算方法的掌握，包括链式法则、求导公式等内容。
9.反三角函数：考察学生对反三角函数的定义、性质和公式的掌握，需要注意定义域、值域和解的判断。
10.三角函数的应用：考察学生将三角函数用于实际问题的解决，如解决三角形、距离等问题。
总的来说，三角函数是高中数学中重要的一部分，掌握好三角函数的知识对于高考的成绩至关重要。
在复习中，学生需要注重基础知识的巩固，深入理解概念和定理，做好练习题和真题的训练，同时灵活应用所学知识解决实际问题。
人教版高中数学必修四第2讲：任意角的三角函数(学生版)
人教版高中数学 任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.（一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：=r ____________________1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
（二）单位圆与三角函数线：1.三角函数线的定义：当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足____________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
2.有向线段：____________________________规定：与坐标轴方向一致时为_____，与坐标方向相反时为______。
3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====_________________， cos 1x x x OM r α====_______________，tan y MP AT AT x OM OA α====_______________ 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)
任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一 三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是 ．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案 －43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解 因为x ＝2，y ＝－3， 所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案 一或二解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题11．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5， 得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。
(word完整版)高一数学必修4三角函数知识与题型归类
必修4三角函数基础知识与题型归类（1）4、①1弧度角的定义_____________________________________________________________________________________________________________________________________________正角:按 _______ 方向旋转形成的角1、任意角负角:按__________ 方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、用弧度制表示终边在特殊位置上的角的集合1）_______________________________________________________________ 、与a终边相同的角的集合：_______________________________________________________2）_______________________________________________________________________ 、终边落在X轴正半轴上的角的集合：________________________________________________3）_______________________________________________________________________ 、终边落在X轴负半轴上的角的集合：________________________________________________4）_______________________________________________________________________ 、终边落在y轴正半轴上的角的集合： ________________________________________________5）_______________________________________________________________________ 、终边落在y轴负半轴上的角的集合： ________________________________________________6）_________________________________________________________________ 、终边落在X 轴上的角的集合：_______________________________________________________7）_________________________________________________________________ 、终边落在y 轴上的角的集合：_______________________________________________________8）__________________________________________________________________ 、终边落在坐标轴上的角的集合：____________________________________________________9）_______________________________________________________________________ 、终边落在y = v3x上的所有角的集合：_______________________________________________10）________________________________________________________________ 、终边落在第一象限的角的集合：____________________________________________________11） _______________________________________________________________ 、终边落在第二象限的角的集合：____________________________________________________12） _______________________________________________________________ 、终边落在第三象限的角的集合：____________________________________________________13） _______________________________________________________________ 、终边落在第四象限的角的集合：____________________________________________________14）、终边在一、三象限的平分线上角的集合：_______________________________ 15）、终边在二、四象限的平分线上角的集合：_______________________________ 16）、写出图中所表示的区间角：③弧度制下，扇形弧长公式：；半径公式：;扇形面积公式：;其中为弧所对圆心角的弧度数。
必修四同角三角函数的基本关系题型总结题型分类非常经典满分必做
同角三角函数的基本关系题型总结知识回顾：平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，商数关系sin αcos α＝tan α.（同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，要求学生对于公式必须特别熟系以及要掌握相应的灵活变动技巧。
）题型一、已知一个三角函数值，求解另外两个三角函数值（知一求二）例1.若的值，是第四象限角，求ααααtan cos 53sin -=分析：在α角象限已知的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。
变式练习：1.已知α是第三象限角，tan α＝2，则cos α＝_____.2.已知tan α＝2，则cos α＝_____.3.已知12cos 13α=，求sin α和tan α4.已知ααααtan cos ,1312sin ，是第二象限角，求且=已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝a ，先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(2)若已知cos α＝a ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ⇒sin α＝m cos α及sin2α＋cos 2α＝1，求得cos α＝±11＋m2，sin α＝±m1＋m2的值．题型二、根据αtan 求解ααcos sin ，的齐次分式（弦化为切）例1.已知3tan =θ，则θθθθsin 3cos cos 2sin 4++=例2已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值例3已知tan α＝4，,求34sin 2α＋cos 2α.变式练习：1.若tan α＝2，求sin α－cos αsin α＋cos α2.若2tan -=α，求sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α3.已知tan α＝4，求下列各式的值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α+2cos 2α.弦化切的方法技巧总结（要求分子分母指数相同）(1)已知tanα＝n ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．题型三、三角函数的化简例1、化简：002048cos 48sin 2148cos 148cos ---分析：此题中分母凑完全平方式，去根式。
高一数学必修4三角函数知识与题型归类
14）、终边在一、三象限的平分线上角的集合：
；
15）、终边在二、
二、任意角的三角函数：
y
y
（1）任意角的三角函数定义：
以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于原点
O
x
O
x
；
的点 P(x, y) ，点 P 到原点的距离记为 r ，则 sin
，
（四）倍角公式及变形
公式变形： sin tan •cot 1
（二）三角函数的诱导公式：
cos
1sin2k _________ ， cos2k ________ ， tan2k _________ k ．
2sin _________ ， cos ________ ， tan _________ ．
1） 39 5
2） 16 3
4）-315
2、已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长为( )
( A)2
(B)sin 2
(C) 2
( D)2 sin 1
sin1
3、 已知 为第三象限角,则 所在的象限是( ) 2
(A)第一或第二象限
(B)第二或第三象限
10）、终边落在第一象限的角的集合：
； cos
； tan
；
cot
； sec
； csc
；
；
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y
P v O Ax
依据三角函数定义可得，角 终边上任一点 P 的坐标为
必修 4 三角函数基础知识与题型归类（2）
（2）在图中画出角 的正弦线、余弦线、正切线；
y
y
三角函数题型分类总结(18篇)
三角函数题型分类总结第1篇sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]三角函数题型分类总结第2篇诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA。
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角函数题型分类总结第3篇倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α _cot α=1一个特殊公式(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=sin(a+θ)_sin(a-θ)证明：(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] _2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)_sin(a-θ)坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母i表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式sin2A=2sinA·cosA(a)-Sin^2(a)(a)(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)三角函数题型分类总结第4篇下文《雅思听力考试题型》由出国雅思频道为您整理，供您参考，了解更多考试信息，请收藏本章。
(word完整版)高中数学必修4三角函数知识点与题型总结,推荐文档
三角函数典型考题归类1．根据解析式研究函数性质例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．2．根据函数性质确定函数解析式例2（江西）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当02y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域； （II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 3．三角函数求值例3（四川）已知cos α=71,cos(α-β)＝1413，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β. 【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限，且）。
高中数学必修四第三章三角恒等变换
必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。
例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。
例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。
高一下册数学必修四第一章 三角函数.知识点及同步练习
巩固练习
1、 在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的
关系一定是 （ ）
A．α=－β B．α+β=k·360°(k∈Z) C．α－β=k·360°(k∈Z)
D．以上答案都不对
2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是
（）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度
D．无法
判断
（2） 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角
α终边相同的所有角． 例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－ 360°≤β＜720°的元素β写出来． 思考题：已知α角是第三象限角，则α/2，α/3，α/4各是第 几象限角？
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
11、下列命题是真命题的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是
锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、
C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C
度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确
定的？与圆的半径大小有关吗？
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一
个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角α的弧度数的绝
对值|α|=
始边 终边 顶点 A O B
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一)【学问梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x 轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应留意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有变更，但肯定要留意函数的符号有没有变更；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采纳切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1 B ．－1C.13 D ．－13 (2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要细致视察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值． 解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或其次象限角． 当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 当α是其次象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223. 【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35B.35 C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角， ∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35. 3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________. 解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。
高中数学必修四《三角函数》知识点与题型总结
【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高
AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点
2
北
B2
C 与 D ．现测 120 A2
得 BCD ， BDC ，CD s ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB ．
7．三角函数与不等式
例 7（湖北文）已知函数 f (x) 2sin 2 π x 4
的值． 6 三角函数中的实际应用
例 6（山东理）如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
A1
处时，乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时， 乙船航行
到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处，此时两船相距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？
3 cos2x ， x
π，π ．（ I ）求 f ( x) 的最大值和最小值； 42
（ II ）若不等式 f ( x) m 2 在 x
π，π 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
42
8．三角函数与极值
例 8（安徽文）设函数 f x
cos2 x
xx 4t sin cos
4t 3
t2Βιβλιοθήκη 3t4, xR
22
其中 t ≤ 1，将 f x 的最小值记为 g( t ).
sin( x ) 2
.（Ⅰ）求
f(x)的定义域；（Ⅱ）若角
a 在第一象限，且
cos a 3 , 求 f（ a）。 5
【相关高考 2】 (重庆理 )设 f ( x ) = 6 cos2 x 3sin 2x （1）求 f( x )的最大值及最小正周期；（ 2）若锐角 满足
1.2 任意角的三角函数-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.三角函数的定义数学抽象水平1 水平11.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义。
2.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件及公式的变形。
3.理解并记忆求值、化简及证明的模型，领会解题常用的方法技巧。
【考查内容】根据三角函数的定义求值，三角函数平方关系的应用。
【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.终边相同的角的同一三角函数值的关系数学运算水平1 水平23.单位圆数学直观水平1 水平24.同角三角函数的两个基本关系式数学运算水平1 水平2第二讲任意角的三角函数知识通关①y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一知识点四 三角函数的定义域思考 正切函数y ＝tan x 为什么规定x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z?答案 当x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，角x 的终边在y 轴上，此时任取终边上一点P (0，y P )，因为y P0无意义，因而x 的正切值不存在．所以对正切函数y ＝tan x ，必须要求x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .梳理 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .知识点五 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴，过点A (1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T ，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP ，OM ，AT 的关系吗？答案 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM 垂直于x 轴，有向线知识点六 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x . ∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案 ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式＝sin αtan α.此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值规律方法例1-2已知角α的终边在直线y＝3x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．解析：因为角α的终边在直线y＝3x上，所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝a2＋(3a)2＝2|a|(a≠0)．若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sin α＝3a2a＝32，cos α＝a2a＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝3a－2a＝－32，cos α＝－a2a＝－12，tan α＝3aa＝ 3.答案32，12，3或－32，－12， 3变式训练1-2在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．解析：当角α的终边在射线y＝－34x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sin α＝yr＝－35＝－35，cos α＝xr＝45，tan α＝yx＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y＝－34x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sin α＝yr＝35，cos α＝xr＝－45，tan α＝yx＝3－4＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝⎛⎭⎫－45－34＝35＋125－34＝94.综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.题型二 三角函数值符号的判断 规律方法例2、 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 解析： (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.变式训练2 sin1cos3tan5的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在解析： π3π013π52π22<<<<<<，， ∴sin10cos30tan50><<，，．答案 B题型三 诱导公式一的应用 规律方法(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；变式训练3tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析： tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案32题型四 三角函数线 规律方法sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ，cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 变式训练4、 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．解析： 已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .题型五 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值则tan α的值为( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 解析： ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.答案 D(2) 已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则tan α的值为( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.43解析： ∵sin α＋cos α＝15，等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225，∴sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，又∵－π2<α<0，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－34.答案 B变式训练5-1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解析： 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 规律方法：例5-2已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.变式训练5-2 已知cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝1213>0且cos α≠1，∴α是第一或第四象限角． (1)当α是第一象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.(2)当α是第四象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－513，tan α＝－512.题型六 齐次式求值问题 规律方法：例6 已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.解析： (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.变式训练6 已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解析： 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tan θ＋31＋tan2θ＝－15.例8-1 ∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2α>的角α的范围．∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2≤α的角α的范围．解析：∴如图所示，π5π2π2π66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ∴如图所示，5π132ππ2π66k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤，．（1）（2）变式训练8-1 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．解析： 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 规律方法例8-2 求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫sin x －22＋1－2cos x 的定义域．解析： 由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.12(1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．一、选择题1．已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为()A.55 B.255C．－55D．－255答案 D2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于()A.12B．－12C．－32D．－33解析：由题意得P(1，－3)，它与原点的距离r＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 答案 C3.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM，正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案 C4．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x－π3的定义域为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π3，x∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋π6，k∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋5π6，k∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ－5π6，k∈Z解析：∵x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ＋5π6，k∈Z.答案 CA组基础演练5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析： 角α的取值范围为图中阴影部分， 即⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π.答案 D7．已知tan θ＝2，则1sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45答案 B 8.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°解析： 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.答案 B9．若α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α等于（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解析：因为5tan 12α=-，所以sin 5cos 12αα=-，即12cos sin 5αα=-，因为22sin cos 1αα+=， 所以22144sin sin 125αα+=，即225sin 169α=，因为α是第四象限角，所以5sin 13α=-。
必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结
必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结三角函数知识点总结１、任意角: 正角:;负角：;零角:; ２、角得顶点与重合,角得始边与重合，终边落在第几象限,则称为第几象限角、第一象限角得集合为第二象限角得集合为第三象限角得集合为第四象限角得集合为终边在轴上得角得集合为终边在轴上得角得集合为终边在坐标轴上得角得集合为３、与角终边相同得角得集合为4 4 、已知就就是第几象限角，确定所在象限得方法: : 先把各象限均分等份, , 再从轴得正半轴得上方起, , 依次将各区域标上一、二、三、四, , 则原来就就是第几象限对应得标号即为终边所落在得区域、5、叫做弧度、6、半径为得圆得圆心角所对弧得长为,则角得弧度数得绝对值就就是、７、弧度制与角度制得换算公式:8 、若扇形得圆心角为, 半径为，弧长为, 周长为，面积为, 则l＝、S=９、设就就是一个任意大小得角,得终边上任意一点得坐标就就是,它与原点得距离就就是，则,,、10、三角函数在各象限得符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正，第三象限正切为正,第四象限余弦为正、1１、三角函数线：、12 、同角三角函数得基本关系：(1)；(2); ; （３) )1３、三角函数得诱导公式: ,,、,，、，,、，,、，、,、口诀: : 奇变偶不变, , 符号瞧象限、重要公式⑴；⑵；⑶;⑷; ⑸(); ⑹（）、二倍角得正弦、余弦与正切公式: ⑴、(2)(,）、⑶、公式得变形: :, 辅助角公式,其中、1４、函数得图象平移变换变成函数得图象、1５、函数得性质：① 振幅：; ② 周期:; ③ 频率:; ④ 相位:; ⑤ 初相:、16、图像正弦函数、余弦函数与正切函数得图象与性质:三角函数题型分类总结一．求值１、===2、(1)7 (07 全国Ⅰ) ) 就就是第四象限角，,则(2)(０9 北京文)若,则、(3)(09 全国卷Ⅱ文）已知△AＢC 中,,则、(4) 就就是第三象限角，,则=＝3 3 、(1））（（7 07 陕西) ) 已知则=、(２）（０４全国文）设,若,则=、(3)(06 福建）已知则=4 4 （0 0 ７重庆) )下列各式中,值为得就就是(）(Ａ) (B)(C)(D) 5、(1 ）(0 ７福建) ) =（2)（0６陕西)＝。
高中数学必修4三角函数知识点与题型总结
⾼中数学必修4三⾓函数知识点与题型总结三⾓函数典型考题归类⾼⼀数学知识总结必修⼀⼀、集合⼀、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最⾼的⼭(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的⽆序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表⽰同⼀个集合3.集合的表⽰：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,⼤西洋,印度洋,北冰洋}(1)⽤拉丁字母表⽰集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表⽰⽅法：列举法与描述法。
◆注意：常⽤数集及其记法：⾮负整数集（即⾃然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语⾔描述法：例：{不是直⾓三⾓形的三⾓形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)⽆限集含有⽆限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝⼆、集合间的基本关系1.“包含”关系—⼦集A?有两种可能（1）A是B的⼀部分，；（2）A与B是同⼀集合。
注意：B/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”③如果 A?B, B?C ,那么 A?C④如果A?B 同时 B?A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的⼦集，空集是任何⾮空集合的真⼦集。
◆有n个元素的集合，含有2n个⼦集，2n-1个真⼦集⼆、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成⽴问题的求解策略4、反函数的⼏种题型及⽅法5、⼆次函数根的问题——⼀题多解&指数函数y=a^xa^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a 、b 属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于Q) 指数函数对称规律：1、函数y=a^x 与y=a^-x 关于y 轴对称2、函数y=a^x 与y=-a^x 关于x 轴对称3、函数y=a^x 与y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =NMa log M a log －N a log ；○3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．幂函数y=x^a(a 属于R)1、幂函数定义：⼀般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第⼀象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右⽅⽆限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上⽅⽆限地逼近x 轴正半轴．))((D x x f y ∈=的零点。
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三角函数题型分类总结题型一：求值（1）直接求值：一般角→0至360度之间的角→第一象限的角 （2）已知sin A ，求cos A 或tan A ：1sin22=+ααcon αααcon sin tan =记住两类特殊的勾股数：3、4、5；5、12、13 （3）运用公式化简求值（4）齐次式问题（5）终边问题（6）三角函数在各象限的正负性1、sin330︒= tan690° = o585sin =2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .（3） (07陕西) 已知sin ,5α=则44sin cos αα-= .（4）（07浙江）已知cos()22πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝ 3、α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+= 4、 若2tan =α ,则ααααcos sin cos sin -+=5、2sin cos sin 2cos =-+αααα,则α在第_____象限；6、 （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = 7、已知 3)tan(=+απ,则）（απα-3sin)cos(⋅-=________ 8、31tan -=α,则αααα22cos 3cos sin 2sin -+=_________. 9、若2cos 3α=，α是第四象限角,则sin(2)sin(3)cos(3)απαπαπ-+---＝___10、已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭值为________； 11、αααsin 3cos sin 2=-，则αcos =________；1、设)34sin(π-=a ，)35cos(π-=b ，)411tan(π-=c ，则 （ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<2、已知tan160o＝a ，则sin2000o的值是 ( )A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a23、已知tan100k =o，则sin80o的值等于 （ ）A21k + B 21k-+ C 21k k + D 21k k +- 4、已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30°）的值是 （ ）A ．1B ．23C ．0D ．－1 5、若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππαα C ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα6、已知1sin()63πα+=，则cos()3πα-的值为（ ）A 12B 12- C 13 D 13-7、如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=（ ）A 12- B 12 C 3D3 8、已知53)2cos(=-πα，则αα22cos sin -的值为 （ ） A ．257 B ．2516- C ．259D ．257-9.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =（ ） （A ）21（B ）2 （C ）21- （D ）2- 10、若角α的终边经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23P ，则αtan 的值为 （ ） A ．12-B ．3． 3 D ．33-11、下列各三角函数值中，取负值的是（ ）A.sin(-6600) B.tan(-1600) C.cos(-7400) D.sin(-4200)cos57012、α角是第二象限的角，│2cosα│=2cosα-,则角2α属于： （ ）A ． 第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限.13、已知cos tan 0θθ⋅<，那么角θ是 （ ） Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角 14、已知()2,A a -是角α终边上的一点，且5sin α=-，求cos α的值． 15、已知：关于x 的方程22(31)0x x m -++=的两根为sin θ和cos θ，(0,2)θπ∈。
求：⑴tan sin cos tan 11tan θθθθθ+--的值； ⑵m 的值； ⑶方程的两根及此时θ的值。
16、已知关于x 的方程()22310x x m -++=的两根为sin θ和cos θ：（1）求1sin cos 2sin cos 1sin cos θθθθθθ+++++的值；（2）求m 的值．题型二：定义域1、函数y=224log sin x x -+的定义域是________（区间表示）2、函数y=x sin log 21的定义域是________.3、函数tan()3y x π=+的定义域为___________。
题型三：周期性（1）函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的最小正周期2||T πω=； （2）函数的最小正周期为两者周期的最小公倍数；（3）函数y=｜sin wx ｜的最小正周期为正常周期的一半 1、函数2cos()35y x π=-的最小正周期是 （ ） A 5π B 52π C 2π D 5π2、（07江苏卷）下列函数中，周期为2π的是 （ ）A ．sin 2x y =B ．sin 2y x =C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =3、函数|tan |x y =的周期和对称轴分别为（ ） A. )(2,Z k k x ∈=ππ B. )(,2Z k k x ∈=ππC. )(,Z k k x ∈=ππD. )(2,2Z k k x ∈=ππ 4、已知函数()2cosxx f =,则下列等式中成立的是： （ ）A ．()()x f x f =-π2B ．()()x f x f =+π2C ．()()x f x f =-D ．()()x f x f -=- 5、下列四个函数中，既是(0,)2π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）A sin y x =B |sin |y x =C cos y x =D |cos |y x =6、（08江苏）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 7、（04全国）函数|2sin |xy =的最小正周期是 .8、（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . 9、函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是 题型三：单调性一、求单调区间：（1）sin()y A x ωϕ=+中，A,w 为正，且x 的定义域为R ； （2）sin()y A x ωϕ=+中，A 或w 为负，且x 的定义域为R ； （3）sin()y A x ωϕ=+中，A,w 为正，且x 的定义域为限定的区间；1、函数y= sin(x-3π)的一个增区间是 （ ） 4.[-65,6ππ] B. [-6,65ππ] C. [-2,2ππ] D. [-32,3ππ] 2、函数y= sin(2x+4π)的一个增区间是( )A. [-4,4ππ]B. [-8,83ππ]C. [-0,2π] D. [-83,8ππ] 3、 函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．)](23,26[Z k k k ∈++-ππππB ．)](265,26[Z k k k ∈++ππππC ．)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ D ．)](65,6[Z k k k ∈++ππππ 4、（04天津）函数]),0[()26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππ D. ],65[ππ 5、函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 6、若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4π)=f (x -4π)，则f (x)的解析式可以是 （ ）A ．f (x)=cosxB ．f (x)=cos(2x 2π+) C ．f (x)=sin(4x 2π+) D ．f (x) =cos6x7、函数12cos()([0,2])23y x x ππ=+∈的递增区间__________ 二、比较大小：根据图象描点分析1、（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）A ．0sin11cos10sin168<< B ．0sin168sin11cos10<< C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<<2、下列不等式中，正确的是（ ）A ．tan513tan413ππ<B ．sin )7cos(5ππ-> C ．sin(π－1)<sin1oD ．cos )52cos(57ππ-<3、已知tan1a =，tan 2b =，tan3c =，则 （ ）A a b c <<B c b a <<C b c a <<D b a c <<4、已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ） A.βα<; B.βαsin sin >； C.βαtan tan >；D.以上都不对. 三、解三角函数不等式：1、若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是： ( )（Ａ）,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭2、已知-≤6πx<3π,cosx=11+-m m ,则m 的取值范围是( )A ．m<-1 B. 3<m ≤7+43 C. m>3 D. 3<m ≤7+43或m<-1 3、 满足sin(x －4π)≥21的x 的集合是____________________;4、若集合1sin ,02M θθθπ⎧⎫=≥≤≤⎨⎬⎩⎭，1cos ,02N θθθπ⎧⎫=≤≤≤⎨⎬⎩⎭，求M N I .题型四：奇偶性1、已知()f x 是以π为周期的偶函数，且[0,]2x π∈时，()1sin f x x =-，则当5[,3]2x ππ∈时，()f x 等于 （ ）A 1sin x + B 1sin x - C 1sin x -- D 1sin x -+ 题型五：对称性（对称轴与对称中心）从最原始的y=sin x 、y=cos x 、y= tan x 出发；选择题的简便方法：对称轴对应着最大最小值，对称中心对应着0； 1、（08安徽）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、下列函数中，图象关于直线3π=x 对称的是 （ ）A ．)32sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=x y3、（07福建）函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫⎪⎝⎭，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 4、函数sin(3)4y x π=-的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( )A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 11,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭5、（09全国）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π6、已知函数y=2sinwx 的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为32π，则w 的值为（ ）A ．3 B ．23 C ．32D ．317、设函数y ＝cos 12πx 的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，….则A 50的坐标是________．8、关于函数()(),32sin 4R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π有下列命题： ①由()()021==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍；②()x f y =的表达式可改写为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos 4πx x f ；③()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π 对称；④()x f y =的图象关于直线6π-=x 对称.以上命题成立的序号是__________________.9、关于3sin(2)4y x π=+有如下命题：①若12()()0f x f x ==，则12x x -是π的整数倍，②函数解析式可改为cos3(2)4y x π=-，③函数图象关于8x π=-对称，④函数图象关于点(,0)8π对称。