第三讲 平行线的构造与应用

第三讲 平行线的构造与应用
一、两线四角
1. 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

如图一中的∠1和∠3.
2. 邻补角：如图一中的∠1和∠2.邻补角主要从以下两方面理解： 邻——即有公共顶点、一条公共边 补角——即两角和为180°
PS: 对顶角一定是两条直线相交组成，但邻补角未必。

如图二所示，∠1和∠2由一条直线和一条射线构成。

图一 图二 二、三线八角
1. 同位角（字母F 模型）：如图三所示
2. 内错角（字母Z 模型）：如图四所示
3. 同旁内角（字母C 模型）：如图五所示
图三：同位角 图四：内错角 图五：同旁内角 三、平行线的性质和判定：
1. 定义：同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。

图六
b
2. 性质
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
3. 判定
同位角相等
内错角相等两直线平行
同旁内角互补
PS:还有一个重要的判定方法，即：平行于同一直线的两条直线互相平行。

四、平行线的构造
在本节课中，平行线的构造主要解决的是平行线间的折线问题。

而构造的方法大致有三种：过拐点做已知直线的平行线、做延长线、做封闭图形。

在本节课中最基本的两种图形，是铅笔模型和猪蹄模型，如下所示：
（1）铅笔模型：
铅笔模型做辅助线的基本方法有三种，如图七、图八、图九所示：
通过辅助线我们可以得到360
B BP
C C
∠+∠+∠=°
图七图八
图九
（2）猪蹄模型
猪蹄模型分为一只简单的猪蹄（如图十），以及一个复杂的猪蹄（如图十一），
从图十我们可以得到BPC B C
∠=∠+∠，
A
D
A
D
A
D
A
D D
图十 图十一
从图十一我们可以得到1234123E E E E B F F F C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠,也就是虚线左边各角之和等于虚线右边各角之和。

五、等积变换 1. 基本原理：
（1） 平行线间的距离处处相等； （2）同底等高的两个三角形面积相等 2. 基本模型： 主要有如下两种模型：
S ∆ACD =S ∆BCD S ∆ACE =S ∆BDE
3. 应用：背靠背正方形
点评：通过连结对角线构造“平行线夹三角形”，三角形一条边和该边相对的顶点分别在两条平行线上，可以使用等积变换。

A C
D
B。