必修四任意角附答案
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任意角
[学习目标] 1.结合实际问题,了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法.
知识点一任意角的概念
(1)角的概念:角可以看成平面一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转
到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是
角α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向,分为如下三类:
类型定义
正角按逆时针方向旋转形成的角
负角按顺时针方向旋转形成的角
零角一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
思考经过1小时,时针转过多少度?
答案-30°.
知识点二象限角
如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
思考锐角属于第几象限角?钝角又属于第几象限角?
答案锐角属于第一象限角,钝角属于第二象限角.
知识点三终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考1下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角,请完成下表.
终边所在的位置角的集合
x轴正半轴{α|α=k·360°,k∈Z}
x轴负半轴{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
y轴正半轴{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
y轴负半轴{α|α=k·360°+270°,k∈Z}
思考2下表是终边落在各个象限的角的集合,请补充完整.
α终边所在
的象限
角α的集合
第一象限{α|k·360°<α 第二象限{α|k·360°+90°<α 第三象限{α|k·360°+180°<α 第四象限{α|k·360°-90°<α 题型一终边相同的角与象限角 例1已知角α=2 010°. (1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°. 解(1)由2 010°除以360°,得商为5,余数为210°. ∴取k=5,β=210°, α=5×360°+210°. 又β=210°是第三象限角, ∴α为第三象限角. (2)与2 010°终边相同的角为 k·360°+2 010°(k∈Z). 令-360°≤k·360°+2 010°<720°(k∈Z), 解得-67 12≤k<-37 12(k∈Z). 所以k=-6,-5,-4. 将k的值代入k·360°+2 010°中,得角θ的值为-150°,210°,570°. 跟踪训练1在0°~360°围,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′. 解(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°围,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°围,与650°角终边相同的角是290° 角,它是第四象限角. (3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°围,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角. 题型二 等分角所在象限的判断 例2 已知α是第二象限角,试确定2α,α 2的终边所在的位置. 解 因为α是第二象限角, 所以k ·360°+90°<α 所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上. 因为k ·360°+90°<α 2 n ·360°+45°<α 2 2的终边在第一象限; 当k =2n +1,n ∈Z 时,n ·360°+225°<α 2 2的终边在第三象限. 所以α 2的终边在第一或第三象限. 跟踪训练2 已知α为第三象限角,则α 2所在的象限是( ) A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C .第一或第三象限 D .第二或第四象限 答案 D 解析 由于k ·360°+180°<α 2·360°+135°. 当k 为偶数时,α 2为第二象限角; 当k 为奇数时,α 2为第四象限角. 题型三 终边相同角的应用 例3 已知,如图所示, (1)写出终边落在射线OA ,OB 上的角的集合; (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α=k ·360°+210°,k ∈Z }. 终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α=k ·360°+300°,k ∈Z }. (2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k ·360°+210°≤α≤k ·360°+300°,k ∈Z }. 跟踪训练3 如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合. 解 设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成. ①{α|k ·360°+30°≤α ={α|2k ·180°+30°≤α<2k ·180°+105°或(2k +1)·180°+30°≤α<(2k +1)180°+105°,k ∈Z } ={α|n ·180°+30°≤α 已知角α所在象限,求α 3 所在象限问题 例4 已知α是第一象限角,则角α 3的终边可能落在______.(填写所有正确的序号) ①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限 解析 ∵α是第一象限角, ∴k ·360°<α 3·360°+30°. 当k =3m ,m ∈Z 时,m ·360°<α 3