高中数学必修4《三角函数》知识点归纳总结

《三角函数》

【知识网络】

一、任意角的概念与弧度制

1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角

2、同终边的角可表示为

{}()360k k Z ααβ︒

=+∈

x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈

3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒

︒+<<+∈

第二象限角：{}()90

360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈

第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒

︒+<<+∈

第四象限角：

{}()270

360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈

4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360

90360k k k Z αα︒

︒+<<+∈

锐角：

{}090αα<< 小于90的角：{}90αα<

任意角的概念

弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式

任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函数值求角

和角公式 倍角公式 差角公式 应用

应用 应用 应用

应用 应用 应用

5、若α为第二象限角，那么

2

α

为第几象限角？ ππαππ

k k 222

+≤≤+

ππ

α

ππ

k k +≤

≤

+2

2

4

,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k

所以2

α

在第一、三象限

6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .

7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒

=π

8、角度与弧度对应表： 角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒

90

120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒

弧度

6π 4π 3π 2π 23π 34π 56

π π

2π

9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：211

22

S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.

二、任意角的三角函数

1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y

x

α=

其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+.

2、三角函数值对应表：

3、三角函数在各象限中的符号

度

0 30 45 60 90 120 135 150 180

︒

270

360

弧度

6

π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π

32

π 2π

sin α 0

12

22 32

1

32 22

12

1 0

cos α

1

32 22

12

12

- 2

2-

3

2-

1- 0 1

tan α 0 33

1 3

无

3- 1-

33

-

无

r

y)

(x,α

P

口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）

sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0,

4、三角函数线

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===， c o s 1x x x OM r α====， tan y MP AT

AT x OM OA

α====．

我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 5、同角三角函数基本关系式

o x y M T P A o x y M T P A x y o M T P A x y

o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ）

22sin cos 1αα+=

sin tan tan cot 1cos α

αααα

=

⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-

(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ∙，三式之间可以互相表示)

6、诱导公式

口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是α

π+2n 中整数n 的奇偶性，把α看作锐角)

212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；21

2(1)s ,s()2(1)sin ,n

n co n n co n απαα+⎧

-⎪+=⎨⎪-⎩

为偶数为奇数

. ①.公式（一）：α与()2,k k Z απ+∈

απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k

②.公式（二）：α与α-

()sin sin αα-=-；()cos cos αα-=；()tan tan αα-=-

③.公式（三）：α与πα+

()sin sin παα+=-；()cos cos παα+=-；()tan tan παα+=

④.公式（四）：α与πα-

()sin sin παα-=；()cos cos παα-=-；()tan tan παα-=-

⑤.公式（五）：α与

2

π

α+

sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

； ⑥.公式（六）：α与

2

π

α-

sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

； ⑦.公式（七）：α与

32

π

α+