高二数学必修4 任意角的三角函数

高二数学必修4 任意角的三角函数

（一）主要知识：

1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与α角终边相同的角为2()k k Z πα+∈； 2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式||l r α=、扇形面积公式1

2

S lr =

； 3．任意角的三角函数． （二）主要方法：

1．本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论．

（三）例题分析： 例1．若,(0,

)2

π

αβ∈，且sin cos 0αβ-<， 则 （ C ）

()A αβ< ()B αβ> ()C 2

π

αβ+<

()D 2

π

αβ+>

例2．（1）如果α是第一象限的角，那么3α

是第几象限的角？ （2）如果α是第二象限的角，判断sin(cos )

cos(sin )αα的符号．

解：（1）∵22,2

k k k Z π

παπ<<+∈，

∴22,3336

k k k Z παππ

<<+∈， 当3()k n n Z =∈时，22,36n n n Z απππ<<+∈，3α

是第一象限的角，

当31()k n n Z =+∈时，2522,336n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第二象限的角， 当32()k n n Z =+∈时，4322,332n n n Z παπππ+<<+∈，3

α是第三象限的角． ∴3

α

是第一，二，三象限的角． （2）α是第二象限的角，1cos 0α-<<，0sin 1α<<，

sin(cos )0α<，cos(sin )0α>，∴sin(cos )

0cos(sin )

αα<．

例3．已知锐角α终边上的一点P 坐标是 (2sin 2,2cos 2)-，则

α=

（ C ）

()A 2

()B 2-

()C 22

π

-

()

D 22

π

-

例4．扇形AOB 的中心角为2θ，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 及与圆1O 外切，与

,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？

解：设圆1O 及与圆2O 的半径分别为12,r r ，

则111212()sin ()cos()2r r r r r r r θπ

θ-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，得112

sin 1sin (1sin )1sin r r r r θθθθ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

， ∴122

(1sin )sin (1sin )1sin (1sin )r r r θθθθθ--==

++， ∵022θπ<<，∴0θπ<<，令sin 1(12)t t θ=+<<， 222232131

2()48

t t r t t -+-==--+，当134t =，即1sin 3θ=时， 圆2O 的半径最大，圆2O 的面积最大，最大面积为64

π

．

（四）巩固练习：

1．设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos 20θ<，则θ的取值范围是 （ D ）

()A 32ππθ<<

()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744

ππ

θ<<

2．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且s

i n 0,c o s 0αα>≤ ，则a 的取值范围是9

(2,]3

-．

3．若sin tan cot ()2

2

π

π

αααα>>-

<<

，则α∈

（ B ）

()A (,)24π

π-

- ()B (,0)4π- ()C (0,)4

π ()D (,)42ππ

同角三角函数的基本关系与诱导公式

（一）主要知识：

1．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；

（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα=

=； （3）平方关系：22

sin cos 1αα+= ．

2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限． （二）主要方法：

1．利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；

2．学会利用方程的思想解三角题，对于sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+⋅-三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值．

（三）例题分析：

例1．化简sin tan tan (cos sin )cot s c c αα

ααααα

+-+

+

分析：切割化弦是解本题的出发点．

解：原式sin sin sin (cos sin )cos sin cos 1cos sin sin α

αααααααααα

+

-=+

=+

．

例2．化简（1）sin()cos()44

ππ

αα-

++； （2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2

π

α-

的值． 解：（1）原式sin()cos[

()]424π

ππαα=-

++-sin()sin()044

ππ

αα=---=．

（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3

cos 5

α=，