高二数学必修4 任意角的三角函数

高二数学必修4 任意角的三角函数（一）主要知识：1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与α角终边相同的角为2()k k Z πα+∈； 2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式||l r α=、扇形面积公式12S lr =； 3．任意角的三角函数． （二）主要方法：1．本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论．（三）例题分析： 例1．若,(0,)2παβ∈，且sin cos 0αβ-<， 则 （ C ）()A αβ< ()B αβ> ()C 2παβ+<()D 2παβ+>例2．（1）如果α是第一象限的角，那么3α是第几象限的角？ （2）如果α是第二象限的角，判断sin(cos )cos(sin )αα的符号．解：（1）∵22,2k k k Z ππαπ<<+∈，∴22,3336k k k Z παππ<<+∈， 当3()k n n Z =∈时，22,36n n n Z απππ<<+∈，3α是第一象限的角，当31()k n n Z =+∈时，2522,336n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第二象限的角， 当32()k n n Z =+∈时，4322,332n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第三象限的角． ∴3α是第一，二，三象限的角． （2）α是第二象限的角，1cos 0α-<<，0sin 1α<<，sin(cos )0α<，cos(sin )0α>，∴sin(cos )0cos(sin )αα<．例3．已知锐角α终边上的一点P 坐标是 (2sin 2,2cos 2)-，则α=（ C ）()A 2()B 2-()C 22π-()D 22π-例4．扇形AOB 的中心角为2θ，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 及与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？解：设圆1O 及与圆2O 的半径分别为12,r r ，则111212()sin ()cos()2r r r r r r r θπθ-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，得112sin 1sin (1sin )1sin r r r r θθθθ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴122(1sin )sin (1sin )1sin (1sin )r r r θθθθθ--==++， ∵022θπ<<，∴0θπ<<，令sin 1(12)t t θ=+<<， 2222321312()48t t r t t -+-==--+，当134t =，即1sin 3θ=时， 圆2O 的半径最大，圆2O 的面积最大，最大面积为64π．（四）巩固练习：1．设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos 20θ<，则θ的取值范围是 （ D ）()A 32ππθ<<()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744ππθ<<2．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且si n 0,c o s 0αα>≤ ，则a 的取值范围是9(2,]3-．3．若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则α∈（ B ）()A (,)24ππ-- ()B (,0)4π- ()C (0,)4π ()D (,)42ππ同角三角函数的基本关系与诱导公式（一）主要知识：1．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限． （二）主要方法：1．利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；2．学会利用方程的思想解三角题，对于sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+⋅-三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值．（三）例题分析：例1．化简sin tan tan (cos sin )cot s c c ααααααα+-++分析：切割化弦是解本题的出发点．解：原式sin sin sin (cos sin )cos sin cos 1cos sin sin ααααααααααα+-=+=+．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++； （2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． 解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==， ∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3．（1）若tan α=，求值①cos sin cos sin αααα+-；②222sin sin cos cos αααα-+．（2）求值66441sin cos 1sin cos x xx x----． 解：（1）①原式sin 1cos 3sin 1cos αααα+===---②∵2211cos 1tan 3αα==+，∴原式22cos (2tan tan 1)ααα=-+=．（2）∵66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )x x x x x x x x +=+-⋅+2222222(sin cos )3sin cos 13sin cos x x x x x x =+-⋅=-⋅． 又∵442222222sin cos (sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x x x +=+-⋅=-⋅．∴原式66441sin cos 31sin cos 2x x x x --==--． 例4．已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两个根，322πθπ<<，求角θ． 解：∵2sin cos 21sin cos 416(21)0m m m m θθθθ+=⎧⎪-⎪⋅=⎨⎪⎪∆=-+≥⎩，代入2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+⋅，得m =，又322πθπ<<，∴21sin cos 04m θθ-⋅=<，sin cos m θθ+==，∴1sin 2θθ==，又∵322πθπ<<， ∴56πθ=．（四）巩固练习：1．若(cos )cos 2f x x =，(sin15)f =（ D ）()A 12 ()B 12- ()C 2 ()D 2- 2．已知1sin cos (0)5αααπ+=-≤≤，则tan α=34-．三角函数的求值（一）主要知识：三角函数求值问题一般有三种基本类型：1．给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2．给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值； 3．给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角． （二）主要方法：1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．（三）例题分析： 例1．已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2πθπ<<），则tan θ=（ C ）()A 423m m --()B 342m m-±-()C 512-()D 34-或512-略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =（舍），∴5sin 13θ=，∴5tan 12θ=-．例2．已知1cos(75)3α+=，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-的值． 解：∵α是第三象限角，∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+（k Z ∈），∵1cos(75)3α+=，∴75α+是第四象限角，∴sin(75)α+==∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3αααα+=---=+-+=-．例3．已知2sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值． 解：由题意，22sin 1sin cos θθθ=-=，∴原式223sin sin 2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．例4．已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++，()βαβα=+-， ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=，得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+，若c o s ()αβα+≠，则13tan()tan 3αβα+⋅=，若cos()cos 0αβα+=，tan()tan αβα+⋅无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如()()βαβαβαα=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()αβαβα+=++等，解题过程中应充分利用这种变形．例5．已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈，求：（1）sin cos 1cot 1tanθθθθ+--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值．解：（1）由根与系数的关系，得sin cos sincos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，∴原式2222sin cos sin cos 1sin cos sin cos cos sin sin cos 2θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---．（2）由①平方得：12sin cosθθ+⋅=，sin cos θθ⋅=即2m =，故m =．（3）当221)02x x -+=，解得12122x x ==， ① ②∴sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵(0,2)x π∈，∴3πθ=或6π．（四）巩固练习：1．若cos130a =，则tan 50=（ D ）()A ()B()C ()D2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ B ）()A 2()B 4 ()C 8 ()D 16三角函数的最值（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角(cos ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++求解方法同类型①；③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设s i nc o t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at by t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最值； ⑥sin sin a x by c x d+=+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．（三）例题分析：例1．求函数sin cos()6y x x π=+-的最大值和最小值．解：3sin cos cos sin sinsin )6626y x x x x x x πππ=++=+=+．当23x k ππ=+，maxy =223x k ππ=-，min y =()k Z ∈．例2．求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大、最小值．解：原函数可化为：sin cos 2(sin cos )4y x x x x =-++，令sin cos (||x x t t +=，则21sin cost x x -=，∴2211324(2)22t y t t -=-+=-+．∵2[t =∉，且函数在[上为减函数，∴当t =时，即2()4x k k Z ππ=+∈时，m i n 92y =-；当t =时，即32()4x k k Z ππ=-∈时，m a x 92y =+例3．求下列各式的最值：（1）已知(0,)x π∈，求函数y =的最大值；（2）已知(0,)x π∈，求函数2sin sin y x x=+的最小值． 解：（1）123sin sin y θθ=≤=+，当且仅当sin θ=max 12y =．（2）设sin (01)x t t =<≤，则原函数可化为2y t t=+，在(0,1)上为减函数，∴当1t =时，min 3y =．说明：sin sin ay x x=+型三角函数求最值，当sin 0x >，1a >时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．例4．求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．解：原式可化为sin cos 2y x x +=(0)x π<<，引入辅助角ϕ，1tan yϕ=，得)2x ϕ+=，∴sin()x ϕ+=||1≤，得y ≥y ≤又∵1cos 1x -≤≤，∴2cos 0x ->，且sin 0x >，故0y >．∴y ≥max y例5．《高考A 计划》考点32，智能训练10：已知sin sin αβ+=，则cos cos y αβ=+的最大值是 ． 解：∵2223(sin sin )(cos cos )2cos()4y αβαβαβ+++=+-=+，∴252cos()4y αβ=+-，故当cos()1αβ-=时，max y =．（四）巩固练习：1．已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9x π=时，取得最大值12，当49x π=时，取得最小值12-，则该函数的解析式是（ B ）()A 12sin()36y x π=- ()B 1sin(3)26y x π=+ ()C 1sin(3)26y x π=-()D 1sin(3)2y x π=-+2．若方程cos2cos 1x x x k -=+有解，则k ∈[3,1]-．三角函数式的化简与证明（一）主要知识：1．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值． 2．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．（二）主要方法：1．三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）例题分析： 例1．化简：（1212-； （2）(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；（3(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<． 解：（1）原式13sin12cos12)22sin 24cos 24-==sin 482==-（2）原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅ 2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin cos cos ααααααα-=+=+-=． （3）原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<，∴022<<，∴|cos |cos 22θ=，∴原式cos θ=-．例3．证明：（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B BA B A A+-+=．证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x xx x x x x ++-=+==22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x xx x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边，∴得证． 说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式． （2）左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B AA+-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．（四）巩固练习：1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （B ） ()A cot α ()B cot 2α ()C tan α()D tan 2a 2．已知()f x 53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为 （ D ）()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α-()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．三角函数的图象（一）主要知识：1．三角函数线：正弦线、余弦线、正切线的作法；2．函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种主要途径． （二）主要方法： 1．“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2．给出图象求sin()y A x B ωϕ=++的解析式的难点在于,ωϕ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．（三）例题分析：例1．（1）将函数5sin(3)y x =-的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3π，得到图象对应解析式是（A ）()A 335sin()22x y π=- ()B 735sin()102xy π=-()C 5s i n (6)6y x π=- ()D 35c o s 2xy =（2）若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x =11sin(2)3cos 23222x x π++=+．（3）先将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应解析式为2sin(2)3y x π=--．例2．已知函数2()2cos sin()sin cos 23f x x x x x x π=+++（x R ∈），该函数的图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经过怎样的变换得到？解：21()2cos (sin )sin cos 222f x x x x x x x =+++222sin cos sin )2x x x x =-+sin 2222sin(2)23x x x π=++=++①由sin y x =的图象向左平移3π个单位得sin()3y x π=+图象，②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12得sin(2)3y x π=+图象，③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得2sin(2)3y x π=+图象，④最后将所得图象向上平移2个单位得2sin(2)23y x π=++的图象．说明：（1）本题的关键在于化简得到2sin(2)23y x π=++的形式；（2）若在水平方向先伸缩再平移，则要向左平移6π个单位了．例3．函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为（ A ）()A 512π()B 116π()C 1112π()D 以上都不对略解：平移后解析式为sin(22)y x ϕ=-，图象关于6x π=对称，∴2262k ππϕπ⋅-=+（k Z ∈），∴212k πϕπ=--（k Z ∈），∴当1k =-时，ϕ的最小值为512π． 例4．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象如下图所示，求函数的解析式．解：由图得32,()2882T A πππ==--=，∴T π=，∴2ω=∴2sin(2)y x ϕ=+，又∵图象经过点(,2)8π-，∴22sin()4πϕ=-+，∴242k ππϕπ-=+（k Z ∈）， ∴324k πϕπ=+，∴函数解析式为32sin(2)4y x π=+． （四）巩固练习：1．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，则a =1-；2．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,02A ωϕπ>><<）的最小值为2-，周期为23π，且它的图象过点(0,，求此函数解析式．（52sin(3)4y x π=+或72sin(3)4y x π=+）三角函数的性质（一）（一）主要知识：三角函数的定义域、值域及周期如下表：函数 定义域 值域周期sin y x = R [1,1]- 2πcos y x = R[1,1]- 2πtan y x = {|,}2x x k k Z ππ≠+∈Rπ（二）主要方法：1．求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域； 2．求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式； 3．三角函数的周期问题一般将函数式化为()y Af x ωϕ=+（其中()f x 为三角函数，0ω>）． （三）例题分析：例1．求下列函数的定义域：（1）()f x =（2）()tan(sin )f x x =；（3）()tan 1f x x =+．解：（1tan 0x ≥，得tan x ≤()23k x k k Z ππππ-<≤+∈．∴()f x 的定义域为(,]()23k k k Z ππππ-+∈．（2）∵1sin 122x ππ-<-≤≤<，∴x R ∈．即()f x 的定义域为R ．由已知2cos 10lg(tan 1)0tan 10()2x x x x k k Z ππ-≥⎧⎪+≠⎪⎪⎨+>⎪⎪≠+∈⎪⎩，得1c o s 2t a n 0t a n 1()2x x x x k k Z ππ⎧≥⎪⎪≠⎪⎨>-⎪⎪≠+∈⎪⎩，∴223342k x k x k k x k πππππππππ⎧-≤≤+⎪⎪≠⎨⎪⎪-<<+⎩()k Z ∈，∴原函数的定义域为(2,2)(2,2)()43k k k k k Z ππππππ-+∈．例2．求下列函数的值域：（1）22sin cos 1sin x xy x=+；（2）23sin log 3sin x y x -=+；（3）1sin 3cos x y x +=+．解：由题意1sin 0x +≠，∴222sin (1sin )112sin (1sin )2(sin )1sin 22x x y x x x x -==-=--++，∵1sin 1x -<≤，∴1sin 2x =时，max 12y =，但sin 1x ≠-，∴4y >-，∴原函数的值域为1(4,]2-．（2）∵1sin 1x -≤≤，又∵3sin 613sin 3sin x x x -=-++，∴13sin 223sin xx-≤≤+，∴11y -≤≤，∴函数23sin log 3sin xy x -=+的值域为[1,1]-．（3）由1sin 3cos x y x+=+得sin cos 31x y x y -=-)31x y ϕ+=-，这里cos ϕ=sin ϕ=．∵|sin()|1x ϕ+≤，∴|31|y -≤解得304y ≤≤，∴原函数的值域为3{|0}4y y ≤≤．例3．求下列函数的周期：（1）sin 2sin(2)3cos 2cos(2)3x x y x x ππ++=++；（2）2sin()sin 2y x x π=-；（3）cos 4sin 4cos 4sin 4x x y x x+=-．解：（1）1)sin 2sin 226tan(2)6)6x x x xy x x πππ+++===++，∴周期2T π=．（2）2sin cos sin 2y x x x =-=-，故周期T π=．（3）1tan 4tan(4)1tan 44x y x x π+==+-，故周期4T π=．例4．若*()sin ,()6n f n n N π=∈，试求：(1)(2)(102)f f f +++的值．解：∵*()sin,()6n f n n N π=∈的周期为12， 而212(1)(2)(12)sin sinsin0666f f f πππ+++=+++=， ∴(1)(2)(96)0f f f +++=，∴原式(97)(98)(102)(1)(2)(6)23ff f f ff =+++=+++=+．（四）巩固练习：1．函数y =[4,][0,]ππ--． 2．函数66sin cos y x x =+的最小正周期为2π． 三角函数的性质（二）（一）主要知识：三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数 奇偶性单调区间sin y x =奇在[2,2]22k k ππππ-+上增 在3[2,2]22k k ππππ++减()k Z ∈ cos y x =偶 在[2,2]k k πππ-上增 在[2,2]k k πππ+减()k Z ∈tan y x =奇在(,)22k k ππππ-+上增()k Z ∈（二）主要方法：1．三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；2．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；3．比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小．（三）例题分析：例1．判断下列函数的奇偶性：（1）()|sin 2|tan f x x x x =-⋅；（2）cos (1sin )()1sin x x f x x-=-．解：(1)∵()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，∴定义域关于原点对称， 又∵()|sin(2)|()tan()|sin 2|tan ()f x x x x x x x f x -=---⋅-=-⋅=，∴()f x 为偶函数．（2）∵()f x 的定义域为{|2,}2x x k k Z ππ≠+∈不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数．例2．比较下列各组中两个值的大小：（1）3cos2，1sin 10，7cos 4-；（2）3sin(sin)8π，3sin(cos )8π． 解：（1）∵11sin cos()10210π=-，77cos cos()44π-=-， 又∵713042102πππ<-<-<<及cos y x =在(0,)π内是减函数， ∴可得317cos sincos 2104<<-． （2）∵3cos sin 88ππ=，∴330cos sin 188ππ<<<，而sin y x =在(0,1)上递增， ∴33sin(sin )sin(cos )88ππ>． 例3．设定义域为R 的奇函数()y f x =是减函数，若当02πθ≤≤时，2(c o s 2s i n )(22)0f m f m θθ++-->，求m 的值．解：∵()y f x =是奇函数，∴(22)(22)f m f m --=-+，原不等式可化为2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ+-+>，即2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>+．∵()f x 是减函数，∴2cos 2sin 22m m θθ+<+，即2sin 2sin 12m m θθ->--，22(sin )21m m m θ->--，∵02πθ≤≤，∴0sin 1θ≤≤．当2210m m --<即11m <<22(sin )21m m m θ->--成立；当1m ≥22(1)21m m m ->--，即11>-成立；当1m ≤22(0)21m m m ->--，即12m >-． 综上所述，m 的取值范围是12m >-． 例4．《高考A 计划》考点31，智能训练13：已知函数()sin()(0,0)f x x Rωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求ωϕ和的值． 解：由()f x 是R 上的偶函数，得()()f x f x -=，即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，展开整理得：cos sin cos sin x x ϕωϕω-=，对任意x 都成立，且0ω>，所以cos 0ϕ=．又0ϕπ≤≤，所以2πϕ=．由()f x 的图象关于点M 对称，得33()()44f x f x ππ-=-+．取0x =，得33()()44f f ππ=-，所以3()04f π=，∴333()sin()cos 4424f πωππωπ=+=．所以33cos 0,0,442k ωπωππωπ=>=+又得，()k N ∈．即2(21),0,1,2,3k k ω=+= 220,,()sin()[0,]3322k f x x ππω===+当时在上是减函数；1,2,()sin(2)[0,]22k f x x ππω===+当时在上是减函数；102,,()sin()[0,]322k f x x ππωω≥==+当时在上不是单调函数； 综上所得223ωω==或．（四）巩固练习：1．①函数tan y x =在它的定义域内是增函数；②若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③函数sin()y A x ωϕ=+一定是奇函数；④函数|cos(2)|3y x π=+的最小正周期为2π．上列四个命题中，正确的命题是（ B ）()A ① ()B ④ ()C ①、② ()D ②、③ 2．若04παβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则 （ A ）()A a b < ()B a b > ()C 1ab < ()D 2ab >3．函数3sin(2)3y x π=-的单调递减区间是5[,]1212k k k Z ππππ-+∈．。