【高中数学】MS12导数和数列综合证明 (2)含答案

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2012年高考数学解析分类汇编(2)---导数与积分理

2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分一、选择题1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1()ln(1)f x x x=+-;则()y f x =的图像大致为2 ．（2012年高考（某某理））设a >0,b >0.（）A ．若2223a b a b +=+,则a >bB ．若2223a b a b +=+,则a <bC ．若2223a b a b -=-,则a >bD ．若2223a b a b -=-,则a <b3 ．（2012年高考（某某理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 4 ．（2012年高考（某某理））设函数()xf x xe =,则（）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点5 ．（2012年高考（某某理））设0a >且1a ≠,则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”,是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6 ．（2012年高考（某某理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（）A ．2π5B ．43C ．32D ．π27 ．（2012年高考（某某理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）A ．14B ．15C ．16D ．178 ．（2012年高考（大纲理））已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c = （）A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或1二、填空题9 ．（2012年高考（某某理））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,5),C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（某某理））设0a >.若曲线y x =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则a =______.11．（2012年高考（某某理））计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.12．（2012年高考（某某理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________. 三、解答题13．（2012年高考（某某理））已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .(Ⅰ)求a 的值;1-y xO第3题图11(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,某某数k 的最小值; (Ⅲ)证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈.14．（2012年高考（新课标理））已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+;(1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若21()2f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值.15．（2012年高考（某某理））已知a >0,b ∈R,函数()342f x ax bx a b =--+.(Ⅰ)证明:当0≤x ≤1时,(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) ()f x +|2a -b |﹢a ≥0;(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a +b 的取值X 围.16．（2012年高考（某某理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.FG17．（2012年高考（某某理））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值X 围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点,判断数列23,,,nx x x 的增减性.18．（2012年高考（某某理））已知函数ln ()xx kf x e +=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1x g x e -><+.19．（2012年高考（某某理））设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =+++∈为常数,曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.(Ⅱ)证明:当02x <<时,9()6xf x x <+.20．（2012年高考（某某））若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.已知a b ，是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.(1)求a 和b 的值;(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.21．（2012年高考（某某理））已知函数()f x =axe x =-,其中a ≠0.(1) 若对一切x∈R,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值X 围;若不存在,请说明理由. 22．（2012年高考（某某理））(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,且01r <<. 求()f x 的最小值;(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则12121122b b a a a b a b ≤+; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.23．（2012年高考（某某理））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B =.(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.24．（2012年高考（某某理））已知函数2()()xf x e ax ex a R =+-∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值X 围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .25．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈. (1)讨论()f x 的单调性;(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值X 围.26．（2012年高考（理））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.27．（2012年高考（某某理））(本小题满分13分)设1()(0)xx f x ae b a ae=++> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值.2012年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案一、选择题1.【解析】选B()ln(1)()1()010,()00()(0)0xg x x x g x xg x x g x x g x g '=+-⇒=-+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得:0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D 2. 【答案】A【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3.【答案】D【解析】2,10x x <-->,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒>,函数()f x 为增;21,10x x -<<->,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒<,函数()f x 为减; 12,10x x <<-<,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒<,函数()f x 为减; 2,10x x >-<,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒>,函数()f x 为增.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.4. 解析:()(1)xf x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x时,()0f x '<,()x f x xe =为减函数;1x 时,()0f x '>,()x f x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,选D.5. 【解析】若函数x a x f =)(在R 上为减函数,则有10<<a .函数3)2()(x a x g -=为增函数,则有02>-a ,所以2<a ,所以“函数xa x f =)(在R 上为减函数”是“函数3)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件,选A.6. 考点分析:本题考察利用定积分求面积.解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰. 7. 【答案】C【解析】312201211)()13260S x dx x x S ==-==⎰正阴影,故16P =,答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.8. 答案A【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而2()333()(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±. 二、填空题9.[解析]如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,10100,10)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,10100,10)(212212x x x x x x xf y , 易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=452521=⨯.[评注]对于曲边图形,某某现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路. 10. 【解析】由已知得223023032|32a a x x S a a====⎰,所以3221=a ,所以94=a .11.23【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 31211111112(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成3cos 3x x +,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等.12.解析:210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=,所以切线方程为()321y x -=-,即210x y -+=.三、解答题13. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力.图1图2(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔= （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*）(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02kg x x x g x g k -'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*）得：实数k 的最小值为12(lfxlby)（3）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取2(1,2,3,,)21x i n i ==-：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑（lb ylfx ）当2i ≥时，2211(21)2321i i i <----得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121ni i i i n =-++-<-+-<--∑ 【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 14.【解析】(1)1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f ef x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得:(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得:21()()()12x xf x e x xg x f x e x '=-+⇒==-+()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得:()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =,max ()2e F x =当1,a b ==,(1)a b +的最大值为2e 15. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.(Ⅰ)(ⅰ)()2122f x ax b '=-.当b ≤0时,()2122f x ax b '=->0在0≤x ≤1上恒成立,此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ; 当b >0时,()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断, 此时()f x 的最大值为:()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b af x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨-<⎩，，（），()，=|2a -b |﹢a ; 综上所述:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) 要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =﹣()f x ≤|2a -b |﹢a . 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a , ∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令()21220g x ax b x '=-+=⇒=当b ≤0时,()2122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-=|2a -b |﹢a ; 当b <0时,()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断, ()max max{1}g x g g =，（）4max{2}346362a b b a b a a b b a b a =--⎧≤-⎪=⎨>⎪-⎩，，，≤|2a -b |﹢a ;综上所述:函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a . 即()f x +|2a -b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a , 且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a -b |﹢a )要大. ∵﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立, ∴|2a -b |﹢a ≤1.取b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为:21b a b a ≥⎧⎨-≤⎩和231b aa b <⎧⎨-≤⎩,目标函数为z =a +b .作图如下:由图易得:当目标函数为z =a +b 过P (1,2)时,有max 3z =,min 1z =-.∴所求a +b 的取值X 围为:[]13-，.【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) []13-，. 16. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力.解:(1)因()13ln 122f x a x x x =+++,故()21322a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=,从而13022a -+=,解得1a =- (2)由(1)知()()13ln 1022f x x x x x =-+++>,()222113321222x x f x x x x --'=--+=()2(31)(1)2x x f x x +-'∴=令()0f x '=,解得1211,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去),当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =.17.解析:(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1nn f x x x =+-∵111()(1)()10222n n nf f =-⨯<,∴()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点. 又当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1()10n n f x nx -'=+>∴ ()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增的,所以()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点. (2)当2n =时,22()f x x bx c =++对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤,据此分类讨论如下:(ⅰ)当||12b>,即||2b >时, 22|(1)(1)|2||4M f f b =--=>,与题设矛盾(ⅱ)当102b-≤-<,即02b <≤时, 222(1)()(1)422b bM f f =---=+≤恒成立(ⅲ)当012b≤≤,即20b -≤≤时,222(1)()(1)422b bM f f =---=-≤恒成立.综上可知,22b -≤≤注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112b-≤≤,即22b -≤≤时, 222max{(1),(1)}()2bM f f f =---22222(1)(1)|(1)(1)|()222f f f f b f -+--=+--21||()4b c b c =++--+2||(1)42b =+≤恒成立 (3)证法一设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点(2)n ≥ ()1n n n n n f x x x =+-,11111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭于是有11111111()0()11()n nn n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-=又由(1)知()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,nx x x 是递增数列.证法二设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点 1111()(1)(1)(111)n n n n n n n f x f x x ++++=+-+- 1110n n n n n n x x x x +=+-<+-=则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,nx x x 是递增数列.18.解析:由f(x) = x e k x +ln 可得=')(x f xe xk x ln 1--,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得1=k ;(Ⅱ)=')(x f xex x ln 11--,令0)(='x f 可得1=x , 当10<<x 时,0ln 11)(>--='x x x f ;当1>x 时,0ln 11)(<--='x xx f .于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数.(Ⅲ)xx ex x x x e xx x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=, (1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-xe x x x x ,210)(-+<≤ex g .(2)当10<<x 时,要证221ln 11)()(-+<--+=e exx x x x g x. 只需证)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-即可设函数)1,0(),ln 1(1)(,1)(∈+-=+=x x x x q e x x p e. 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-='x x x q exx p x ,则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p e x x p e, 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q ,则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,且0)(>x q ,则≥+-+-)ln 1(112x x e 11122=++--e e ,于是可知当10<<x 时)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-成立综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+<e x g 恒成立.另证1:设函数)1,0(,1)(∈+=x e x x p e ,则0)(<-='x e xx p ,则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p x ,于是当10<<x 时,要证221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 只需证21)ln 11(-+<--e x xx 即可,设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+<e x g 恒成立.另证2:根据重要不等式当10<<x 时x x <+)1ln(,即xe x <+1,于是不等式221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立. 19. 【答案及解析】【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数)(x f 的定义域,根据条件曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切,求出,a b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明9()6xf x x <+即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.20.【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++.∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0，. (2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- ,∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -，. ∵当2x <-时,()0g x <';当21<x <-时,()0g x >', ∴=2x -是()g x 的极值点.∵当21<x <-或1x >时,()0g x >',∴ =1x 不是()g x 的极值点. ∴()g x 的极值点是-2.(3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈-当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一 2 ,注意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2.当2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----,(1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根. 由(1)知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时,()0f'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()1 2x ∈，时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数. 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断,∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根.同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根.③ 当()11x ∈-，时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数. 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断,∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根.因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，;当2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，,满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点:( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ，,满足12==2t t 1，.而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个零点.( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，,满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根,故()y h x =有9 个零点.综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有 5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点.【考点】函数的概念和性质,导数的应用.【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可.(2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可.(3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数()y h x =的零点.21. 【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1axe x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,故0a >.而()1,axf x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得当11ln x a a <时,()0,()f x f x '<单调递减;当11ln x a a >时,()0,()f x f x '>单调递增,故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a=即1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==---令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--,则()1tF t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而21()21()10a x x e a x x ---->,12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >-所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()ax x a e x ϕϕ'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时, 0()f x k '>.综上所述,存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值X 围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥,从而得出a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.22.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求.解析:(Ⅰ)11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-,令()0f x '=,解得1x =. 当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)内是减函数;当 1x > 时,()0f x '>,所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当(0,)x ∈+∞时,有()(1)0f x f ≥=,即(1)r x rx r ≤+- ① 若1a ,2a 中有一个为0,则12121122b b a a a b a b ≤+成立; 若1a ,2a 均不为0,又121b b +=,可得211b b =-,于是在①中令12a x a =,1r b =,可得1111122()(1)b a ab b a a ≤⋅+-, 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-,亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上,对120,0a a ≥≥,1b ,2b 为正有理数且121b b +=,总有12121122b b a a a b a b ≤+. ② (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为: 设12,,,n a a a 为非负实数,12,,,n b b b 为正有理数.若121n b b b +++=,则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++. ③用数学归纳法证明如下:(1)当1n =时,11b =,有11a a ≤,③成立. (2)假设当n k =时,③成立,即若12,,,k a a a 为非负实数,12,,,k b b b 为正有理数,且121k b b b +++=,则12121122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤+++.当1n k =+时,已知121,,,,k k a a a a +为非负实数,121,,,,k k b b b b +为正有理数,且1211k k b b b b +++++=,此时101k b +<<,即110k b +->,于是111212121121()k k k k b b b b b b b b kk k k a aa aa aa a++++==12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+.因121111111kk k k b b b b b b ++++++=---,由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---≤1212111111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---112211k kk a b a b a b b ++++=-, 从而112121k k b b b b k k a aa a++≤1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭.又因11(1)1k k b b ++-+=,由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k kk k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+-112211k k k k a b a b a b a b ++=++++,从而112121k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++.故当1n k =+时,③成立.由(1)(2)可知,对一切正整数n ,所推广的命题成立.说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立,则后续证明中不需讨论1n =的情况.23.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞.②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞. ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则1x =2x =,于是{}12B x x x x x =<>或.当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中1x =2x =.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当1a =时,()()0,11,D =+∞,此时()0f x '=在D 内只有一根11m a ==,列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.24. 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.解:(1)()2x f x e ax e '=+-,(1)200k f a a '===⇒=,故()x f x e e '=-1x ∴>时,()0f x '>,1x <时,()0f x '<,所以函数()f x 的增区间为(1,)+∞,减区间为(,1)-∞(2)设切点00(,)P x y ,则切线000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---,因为只有一个切点,所以函数()g x 就只有一个零点,因为0()0g x =000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-,若0,()0a g x '≥>0()()0g x g x >=,因此有唯一零点,由P 的任意性知0a ≥不合题意若0a <,令00()2()xxh x e e a x x =-+-,则0()0h x =()2x h x e a '=+,存在一个零点(ln(2),(ln 2))P a f a --,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故a 的取值X 围为0a <.25.【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用.解:()sin f x a x '=-.(Ⅰ)因为[0,]x π∈,所以0sin 1x ≤≤.当1a ≥时,()0f x '≥,()f x 在[0,]x π∈上为单调递增函数; 当0a ≤时,()0f x '≤,()f x 在[0,]x π∈上为单调递减函数;当01a <<时,由()0f x '=得sin x a =,由()0f x '>得0arcsin x a ≤<或arcsin a x ππ-<≤; 由()0f x '<得arcsin arcsin a x a π<<-.所以当01a <<时()f x 在[0,arcsin ]a 和[arcsin ,]a ππ-上为为单调递增函数;在[arcsin ,arcsin ]a a π-上为单调递减函数.(Ⅱ)因为()1sin cos 1sin 1sin cos f x x ax x x ax x x ≤+⇔+≤+⇔≤+- 当0x =时,01sin0cos00≤+-=恒成立当0x π<≤时,min 1sin cos 1sin cos 1sin cos []x x x xax x x a a x x+-+-≤+-⇔≤⇔≤令1sin cos ()(0)x xg x x xπ+-=<≤,则22(cos sin )1sin cos (1)cos (1)sin 1()x x x x x x x x x g x x x+--+++--'== 又令()(1)cos (1)sin 1c x x x x x =++--,则()cos (1)sin sin (1)cos (sin cos )c x x x x x x x x x x '=-+++-=-+则当3(0,)4x π∈时,sin cos 0x x +>,故()0c x '<,()c x 单调递减当3(,]4x ππ∈时,sin cos 0x x +<,故()0c x '≥,()c x 单调递增所以()c x 在(0,]x π∈时有最小值3()14c π=,而0lim ()(10)cos0(01)sin 010x c x +→=++--=,lim ()()(1)10x c x c πππ-→==-+-<综上可知(0,]x π∈时,()0()0c x g x '<⇒<,故()g x 在区间(0,]π单调递所以min 2[()]()g x g ππ==故所求a 的取值X 围为2a π≤.另解:由()1sin f x x ≤+恒成立可得2()111f a a πππ≤⇔-≤⇔≤令2()sin (0)2g x x x x ππ=-≤≤,则2()cos g x x π'=-当2(0,arcsin)x π∈时,()0g x '>,当2(arcsin,)2x ππ∈时,()0g x '< 又(0)()02g g π==,所以()0g x ≥,即2sin (0)2x x x ππ≤≤≤故当2a π≤时,有2()cos f x x x π≤+①当02x π≤≤时,2sin x x π≤,cos 1x ≤,所以()1sin f x x ≤+②当2x ππ≤≤时,22()cos 1()sin()1sin 22f x x x x x x ππππ≤+=+---≤+ 综上可知故所求a 的取值X 围为2a π≤.【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决.26.【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.解:(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩.(2)24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26ax =-;0a >,∴26a a-<-,∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增,在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减,在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤,即2a ≤时,最大值为2(1)4a h a =-;②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 27.【解析】(I)设(1)xt e t =≥;则2222111a t y at b y a at at at -'=++⇒=-= ①当1a ≥时,0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数得:当1(0)t x ==时,()f x 的最小值为1a b a++②当01a <<时,12y at b b at =++≥+ 当且仅当11(,ln )xat t e x a a ====-时,()f x 的最小值为2b +(II)11()()x xx x f x ae b f x ae ae ae'=++⇒=-由题意得:2222212(2)333131(2)222 f ae b aae efae bae⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩。

高考数学分类练习 M单元推理与证明(理科)含答案2

数学M单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理8．M1学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A．2人 B．3人 C．4人 D．5人8．B 假设A、B两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．20．M1 E7对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.15．A1、M1若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．6 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.19．M1、M3设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式．14．M1甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市．14．M1观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．14．F ＋V －E ＝2 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2.M2 直接证明与间接证明4．M2 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A “方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.M3 数学归纳法21．B11、M3、D5 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k>1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p>1＋px 均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c pa －pk ＝ 1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1.由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k－1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k p＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1＝ca p k . 因此a pk ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p＝p －1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 22．B12、M3 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝x1＋x，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x， g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x 不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．22．D1，D2，M3 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2. 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．M4 单元综合2．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 42．C 由类比推理可知，选项C 正确．4．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．124．C 由归纳推理可知，m ＝6，p ＝5，∴m＋p ＝11.6．已知椭圆中有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线x a2＋y b 2＝0上．类比上述结论可推得：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线________________________________________________上．6.x a 2－yb 2＝0 由类比推理可得．7．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，点D 是点A 在BC 边上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，且点O 在平面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间的关系为________．7．S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC 如图所示，依题意作出四面体ABCD.连接DO ，并延长交BC 于点E ，连接AO ，AE ，则易知AO⊥DE，BC⊥AO.由DA⊥平面ABC ，得DA⊥BC，又DA∩AO＝A ，所以BC⊥平面AED ，所以DE⊥BC，AE⊥BC.又易知△AED 为直角三角形，其中∠DAE＝90°，AO 为斜边ED 上的高，所以由射影定理得AE 2＝EO ·ED.又S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·EO ，S △BDC ＝12BC ·DE，所以AE ＝2S △ABC BC ，EO ＝2S △BOC BC ，DE ＝2S △BDC BC.由AE 2＝EO·ED，得S 2△ABC ＝S △BOC ·S△BDC.11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，则S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，则V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________．11．2πr 4因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以猜想W ＝2πr 4.。

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明教材习题点拨新人教A版选修2_2【含答案】

高中数学第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明教材习题点拨新人教A 版选修2-2教材问题解答(思考)请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点，回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识．答：综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，应注意两种方法在解题中的综合应用．在综合法中：①明确推证方向，选择最佳途径是综合法的难点；②在顺推中，联系最终结果进行猜想，防止迷路和剪除无用的中间过程，这是一个猜证结合点．在分析法中：①步步追溯的条件都是结论成立的充分条件(当然，充要条件更好)，因此，分析法的表述中都是倒箭头“⇐”或双箭头“⇔”，即为果⇐因，绝不可果⇒因；②在追溯中要时时关系已知条件P 进行猜想，选择最佳途径，这也是一个猜证结合点．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合使用，先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．练习11．证明：因为cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ，命题得证．2．证明：要证6＋7＞22＋5，只需证(6＋7)2＞(22＋5)2，即证6＋7＋242＞8＋5＋410，即证242＞410，只需证(242)2＞(410)2，即证168＞160，这是显然成立的，所以原命题成立．3．证明：因为(a 2－b 2)2＝(a －b )2(a ＋b )2＝(2sin α)2(2tan α)2＝16sin 2αtan 2α，又因为16ab ＝16(tan α＋sin α)(tan α－sin α)＝16sin α＋cos αcos α·sin α－cos αcos α＝16sin 2α－cos 2αcos α＝16sin 2αsin 2αcos 2α＝16sin 2αtan 2α，从而(a 2－b 2)2＝16ab .所以命题成立．点拨：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点．练习21．证明：假设∠B 不是锐角，则∠B ≥90°.因此∠C ＋∠B ≥90°＋90°＝180°.这与三角形的内角和等于180°矛盾．所以，假设不成立．从而，∠B 一定是锐角．2．证明：假设2、3、5成等差数列，则23＝2＋ 5.所以(23)2＝(2＋5)2，化简得5＝210，从而52＝(210)2，即25＝40.这是不可能的．所以假设不成立．从而，2、3、5不可能成等差数列．习题2.2A 组1．证明：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝b a .假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，则ax 1＝b ，ax 2＝b .两式相减，得a (x 1－x 2)＝0.因为x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0.从而a ＝0，这与已知条件矛盾，故假设不成立．所以，当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根．2．证明：因为(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，展开得1＋tan A ＋tan B ＋tan A ·tan B ＝2，即tan A ＋tan B ＝1－tan A ·tan B ．①因为A ＋B ≠π2，所以A ≠π2－B . 因为A 、B 都是锐角，所以A 、π2－B 都是锐角．从而tan A ≠tan(π2－B )，所以tan A ·tan B ≠1，即1－tan A ·tan B ≠0.①式变形，得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝1，即tan(A ＋B )＝1.因为A 、B 都是锐角，所以0°＜A ＋B ＜180°，从而A ＋B ＝π4. 点拨：本题也可以把综合法与分析法综合使用完成证明．3．证明：因为1－tan α2＋tan α＝1，所以1＋2tan α＝0，从而2sin α＋cos α＝0. 另一方面，要证3sin 2α＝－4cos 2α，只要证6sin αcos α＝－4(cos 2α－sin 2α)，即证2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α＝0，即证(2sin α＋cos α)(sin α－2cos α)＝0.由2sin α＋cos α＝0，可得(2sin α＋cos α)(sin α－2cos α)＝0，于是命题得证．点拨：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰．4．证明：因为a 、b 、c 的倒数成等差数列，所以2b ＝1a ＋1c. 假设B ＜π2不成立，即B ≥π2，则B 是△ABC 的最大内角．所以b ＞a ，b ＞c (在三角形中，大角对大边)．从而1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b. 这与2b ＝1a ＋1c 矛盾．所以假设不成立．因此B ＜π2. B 组1．证明：要证s ＜2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需要证s ＜s 2b，即证b ＜s . 因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b ＜a ＋b ＋c ，即证b ＜a ＋c . 由于a ，b ，c 为三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．2．证明：由已知条件，得b 2＝ac .①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只需证ay ＋cx ＝2xy ，只需证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②，得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc .所以， 2ay ＋2cx ＝4xy ，于是命题得证．3．证明：∵tan(α＋β)＝2tan α， ∴α＋βα＋β＝2sin αcos α. ∴2sin αcos(α＋β)＝cos αsin(α＋β)．又3sin β＝3sin[(α＋β)－α]＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝3sin αcos(α＋β)，sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin αcos(α＋β)，∴3sin β＝sin(2α＋β)．点拨：综合法证题是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，是在寻找它的必要条件．。

高中数学第三章导数应用章末综合测评(含解析)北师大版选修2-2(2021年最新整理)

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(三）导数应用（时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s＝错误!t4－3，则t＝5时的瞬时速度为( )A.5B.25C.125D.625【解析】∵v＝s′＝t3,∴t＝5时的瞬时速度为53＝125.【答案】C2.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ）A.(－∞，2) B。

(0,3)C。

（1,4）D。

（2，＋∞）【解析】f′（x)＝(x－2）e x,由f′（x)>0,得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是（2，＋∞）.【答案】D3.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是（）A。

a≥0 B。

a〉0C.a≤0D.a<0【解析】f′（x）＝3ax2＋1，当a＝0时，f′（x）＝1〉0，f（x)单调增加，无极值;当a≠0时,只需Δ＝－12a〉0,即a〈0即可。

【答案】D4.（2016·西安高二检测)函数f(x）的导函数f′（x)的图像如图1所示，那么f(x）的图像最有可能的是（）图1A B C D【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f′（x）〈0，f(x)是减函数；在(－2,－1)上，f′(x）>0，f（x）是增函数，从而得出结论。

高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考

高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课标人教b版《选修二》《选修2-2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课程标准人民教育B版《选修二》、《选修2-2》、《第二章推理与证明》优秀课后专项练习[6]（含答题和分析）班级:___________姓名：___________分数：___________1.当用反证法证明一个数学命题时，我们应该首先做出与命题结论相矛盾的假设，当否定“自然数是偶数”时，正确的反比是a.自然数B.自然数C.自然数D.自然数【答案】d【考点】高中数学知识点“推理与证明、数系扩展与复数”推理与证明“直接证明与间接证明【分析】试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：d．考点：命题的否定.中侨油都是奇数都是偶数中至少有两个偶数中至少有两个偶数或都是奇数2.下列命题：（1）如果向量，则与的长度相等且方向相同或相反；而且方向和；（2）对于任何非零向量，如果（3）非零向量与非零向量满足（4）向量（5）若还有，还有是共线向量，则，则，则向量与方向相同或相反；四点共线；正确号码：（）a.0【答案】c【考点】高中数学知识点集与常用逻辑术语命题及其关系【分析】试题分析：由于与可能为零向量，而零向量的方向是任意的，所以（1）若向量与的长度相等且方向相同或相反；不正确。

由相等向量的定义知，（2）对于任意非零向量若而且方向和；正确。

然后b．1c．2d．3根据共线向量的定义，（3）非零向量和非零向量满足正确的要求。

，则向量与方向相同或相反；向量（5）如果与是共线向量，意味着两向量方向相同或相反，说，且然后四点共线；不正确。

.总之，选择C。

，不正确，因为，为零向量时，不一定向量的概念：平面的公共线。

新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)(K12教育文档)

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新课改高二数学选修2—2第一章导数及其应用测试题（时间120分钟，分值150分）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)。

第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上） 1．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ )．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y4．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---5．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54B ．52C ．51D ．537．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（）．A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（）．A ．241a π B ．221a π C ．2a π D ．22a π10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． A ．18B ．338C ．316 D ．16第Ⅱ卷（非选择题,共90分)二、填空题(每小题4分，共16分。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.2导数的计算1.2.2(二)Word版含答案

)
A． y＝2x＋1
B．y＝ 2x－1
C． y＝－ 2x－3
D．y＝－ 2x＋ 2
答案 A
解析
x′ ∵ y′＝
x＋2 －x x＋2 x＋2 2
′ ＝
2 x＋2
2，
2 ∴ k＝y′ |x＝－1＝－1＋ 2 2＝ 2，
∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋ 1.
1 4．直线 y＝2x＋ b 是曲线 y＝ ln x(x>0)的一条切线，则实数 b＝ ________.
化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪演练 1 求下列函数的导数：
(1)y＝ 5－ 4x3； (2)y＝3x2＋xcos x；
(3)y＝
ex·ln
x；(4)y＝ lg
1 x－x2.
解 (1)y′＝－ 12x2；
(2)y′ ＝(3x2＋xcos x)′＝ 6x＋cos x－xsin x； (3)y′ ＝ exx＋ex·ln x；
答案 4
解析依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝ g′ (1)＋ 2＝ 4. 6．已知 f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝________.
答案 1 解析由于 f′(0)是一常数，所以 f′ (x)＝x2＋ 3f′(0)，
令 x＝0，则 f′(0)＝0， ∴ f′(1)＝12＋ 3f′(0)＝ 1.
∴ y′＝ x′－ (4 x)′＋ 4′
＝ 1－ 4× 12x－12＝1－
2 .
x
法二令 u＝ x－ 2，
则 yx′＝ yu′·ux′＝ 2( x－2) ·( x－ 2)′＝
2(
x－2)
12·1x－ 0
＝1－

2024_2025学年高中数学第二章变化率与导数测评含解析北师大版选修2_2

其次章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=x 2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx ,2+Δy ),则Δy Δx 等于( )A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx )2=(1+Δx )2+1-(12+1)Δx =Δx+2.2.曲线y=ax 3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) B.60° C.120° D.135°点(1,3)在曲线上,∴3=a-2+4,可得a=1,则y=x 3-2x+4,y'=3x 2-2,当x=1时,y'=1.故所求切线的倾斜角为45°.3.已知函数f (x )=lnx x ,则方程f'(x )=0的解为( ) A.x=1B.x=eC.x=1eD.x=0(x )=1x ·x -lnx x 2=1-lnx x 2. ∵f'(x )=0,∴1-ln x=0,解得x=e .4.函数y=1(3x -1)2的导数是( )A.6(3x -1)3B.6(3x -1)2C.-6(3x -1)3D.-6(3x -1)2[1(3x -1)2]'=-2(3x -1)3·(3x-1)'=-6(3x -1)3,故选C .5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a=( )A.0B.1C.2D.3f (x )=ax-ln(x+1),∴f'(x )=a-1x+1. ∴f (0)=0且f'(0)=a-1=2,解得a=3.6.已知函数f (x )的导函数为f'(x ),且满意f (x )=2x ·f'(1)+ln x ,则f'(1)等于( )A.-eB.-1C.1D.ef(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+1x.∴f'(1)=2f'(1)+1.∴f'(1)=-1.7.已知函数f(x)=ln x+mx(m∈R)的图像在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2,则直线l在y轴上的截距为()A.3B.-3C.1D.-1f'(x)=1x −mx2,则f'(1)=11−m1=2,得m=-1.所以f(1)=ln1+-11=-1,故切线方程为y+1=2(x-1),由y=-3.故选B.8.已知函数f(x)=a sin 3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 021)-f'(-2 021)=()B.8C.2 020D.2 021f'(x)=3a cos3x+3bx2,所以f'(x)=f'(-x),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有+f(-2025)+f'(2024)-f'(-2025)=8.9.若曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是()A.(-2,ln 2)B.(2,-ln 2)D.(ln 2,-2)P的坐标是(x0,y0),由题意得y'=-e-x,曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,∴-e-x0=-2,解得x0=-ln2.∴y0=e-x0=2.故点P的坐标是(-ln2,2).10.已知点P在曲线y=2sin x2cos x2上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[3π4,π) B.[-π4,3π4]C.[π4,3π4] D.[0,π4]∪[3π4,π)y=2sin x2cos x2=sin x,∴y'=cos x.设P(x0,y0),由题意知,切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tanα=cos x0, ∴-1≤tanα≤1.∵0≤α<π,∴α∈[0,π4]∪[3π4,π).故选D.11.已知曲线f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对随意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.a∈R且a≠0,a≠-1(x)=2sin x cos x+2a=sin2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.故选B.12.已知曲线y1=2-1x与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为()A.-2B.2C.12D.1y'1=1x2,y'2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为1x02,3x02-2x0+2,所以3x02-2x0+2x02=3.所以x0=1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)f(x)=x3-mx+3,若f'(1)=0,则m=.f'(x)=3x2-m,∴f'(1)=3-m=0.∴m=3.14.已知函数f(x)在x=x0处可导,若limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=1,则f'(x0)=.lim Δx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=1,∴limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12,即f'(x0)=limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12.f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f'(0)=.f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]',∴-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.12016.已知点P在曲线y=4e x+1上,α为该曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.f'(x)=-4e xe2x+2e x+1,∵k=-4e x+1e x +2≥-42+2=-1(当且仅当x=0时,取等号),且k<0,∴曲线y=f(x)上点P处的切线的斜率-1≤k<0.又∵k=tanα,α∈[0,π),∴α∈[3π4,π).[3π4,π)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数,s=3t2+2t+1. (1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;t=2时的瞬时速度.因为Δs=3(2+Δt )2+2(2+Δt )+1-(3×22+2×2+1)=14Δt+3Δt 2,所以从t=2到t=2+Δt 的平均速度为14+3Δt.当Δt=1时,平均速度为17;当Δt=0.1时,平均速度为14.3;当Δt=0.01时,平均速度为14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v=lim Δt →0(14+3Δt )=14. 18.(本小题满分12分)求下列函数的导数.(1)y=lg x-sin x ; (2)y=(√x +1)(√x 1); (3)y=e x x+1; (4)y=ln(3x-1).y'=(lg x-sin x )'=(lg x )'-(sin x )'=1x ·ln10-cos x. (2)∵y=(√x +1)(√x 1)=-x 12+x -12, ∴y'=-12x -12−12x -32=-2√x ·(1+1x ). (3)y'=(e xx+1)'=e x (x+1)-e x (x+1)2=xe x (x+1)2. (4)y'=[ln(3x-1)]'=13x -1·(3x-1)'=33x -1.19.(本小题满分12分)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=2x 2.(1)求x<0时,f (x )的表达式.(2)令g (x )=ln x ,问是否存在x 0,使得f (x ),g (x )在x=x 0处的切线相互平行?若存在,恳求出x 0的值;若不存在,请说明理由.当x<0时,-x>0,f (x )=-f (-x )=-2(-x )2=-2x 2.(2)若f (x ),g (x )在x 0处的切线相互平行,则f'(x 0)=g'(x 0),且x 0>0,故f'(x 0)=4x 0=g'(x 0)=1x 0,解得x 0=±12.∵x 0>0,∴x 0=12. ∴存在,x 0的值为12.20.(本小题满分12分)已知曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x-y-1=0,且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标; l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程.由y=x 3+x-2,得y'=3x 2+1,由已知令3x 2+1=4,解得x=±1.∵点P 0在第三象限,∴x=-1,y=-4.∴切点P 0的坐标为(-1,-4).(2)∵直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4,∴直线l 的斜率为-14.∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为(-1,-4),∴直线l 的方程为y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 3+x-16.(1)求曲线y=f (x )在点(2,-6)处的切线的方程;l 为曲线y=f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标.由题意可判定点(2,-6)在曲线y=f (x )上.∵f'(x )=(x 3+x-16)'=3x 2+1,∴曲线y=f (x )在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13. ∴切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f'(x 0)=3x 02+1,y 0=x 03+x 0-16,∴直线l 的方程为y=(3x 02+1)(x-x 0)+x 03+x 0-16.又∵直线l 过坐标点(0,0),∴0=(3x 02+1)(-x 0)+x 03+x 0-16,整理得x 03=-8.∴x 0=-2.∴y 0=(-2)3+(-2)-16=-26,则切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.∴直线l 的方程为y=13x ,切点坐标为(-2,-26).22.(本小题满分12分)设抛物线C :y=-x 2+92x-4,过原点O 作C 的切线y=kx ,使切点P 在第一象限.(1)求k 的值;(2)过点P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标. 解(1)设点P 的坐标为(x 1,y 1)(x 1>0,y 1>0),则y 1=-x 12+92x 1-4.∵y=-x 2+92x-4,∴y'=-2x+92.由题意可知k=-2x 1+92.∴切线方程为y=(-2x 1+92)(x-x 1)+(-x 12+92x 1-4).∵切线过原点O ,∴0=(-2x 1+92)(-x 1)+-x 12+92x 1-4,解得x 1=2,则y 1=1.∴k=-2×2+92=12. ∴k 的值为12.(2)过点P 作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.①将①代入抛物线方程得x 2-132x+9=0. 设点Q 的坐标为(x 2,y 2),则x 2=92,y 2=-4. ∴点Q 的坐标为(92,-4).。

华师一附中高二数学《数列》专题答案

An
Bn1
4n
1 3n2
16
9
1 8
n
3n1
1n
3
9
8
；
当 n 为偶数时，则 Tn c1 c2 cn c1 c3 cn1 c2 c4 cn
An1
Bn
4n
3 3n1
16
9
1 8
n
3n 2
2n
4
9
8
；
综上所述： Tn
4n
4n
13n2
【详解】（1）设等差数列an 的公差为 d 0 ，
3 3d 3q
d 2 d 3
由题意可得： 12 6d 6 d q ，解得 q 3 或 q 2 （舍去），
所以 an 3 2n 1 2n 1,bn 3 3n1 3n .
（2）由（1）可得
Sn
n 3 2n
2
1
n
2
2n
，
当 n 为奇数时，则 cn anbn 2n 1 3n ，
设 An c1 c3 cn 3 3 7 33 2n 1 3n ，
则 9An 3 33 7 35 2n 1 3n2 ，
两式相减得
n1
108 1 9 2
8An 9 4 33 4 35 4 3 n 2n 1 3 n 2 9
4
4 n 1
，变形得到
mTn
n2 1 n 1
n
1
4m 2n
n 1
，假设存在实数
m，使得数列 mTn
n2 1
n
1
为等差数列，从
而根据等差数列的定义得到 m 1 . 2
【详解】（1）
a1 3
a2 5
an 2n 1

MS11导数和数列综合证明 (1)

导数和数列综合证明（一）例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()211...(811)411)(211(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ （2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121......814121222 ,)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（（3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n ＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+nn 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 秒杀秘籍：不等式的迭加通常求导后得到一个不等式，形如()(),01ln ><+x x x 利用这种式子构造n 个不等式迭加，得到一个结果。

例1：已知：若()(),01ln ><+x x x 1+=n n a n ，n S 是数列{}n a 前n 项和，求证：22ln +-<n n S n 证明：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-<+-∴+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴><+111ln 111111111ln ,01ln n n n n x x x ()()1ln 2ln 112ln 1111ln 1111+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-<+-=∴n n n n n n a n ()()()()()22ln 2ln 2ln 2ln 3ln 1ln 1ln 11ln 2ln 111+-=++-<⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-<++-<+++-<-n n n n S a n n a n n a n n n 这一系列题目中，往往前一两问都是求导数和极值，需要用到前面的一些结论作为不等式证明的条件，然后利用迭加不等式来证明。