离散状态空间设计

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写成矩阵形式
y (0) C y (1) CF x (0) N 1 y ( N 1 ) CF
则 x (0) 有解的充分必要条件，即系统的能观性判据为
C CF n rank N 1 CF
~ ˆ (k 1) x (k 1) x(k 1) x
状态重构误差方程：
~ ˆ (k 1) x (k 1) x(k 1) x
Fx(k ) Gu(k ) x(k 1) K y(k 1) Cx(k 1)
ˆ ( k ) F KFC x(k ) x
描述的系统，如果能根据有限个采样信号Y (0) ， Y (1) …、 Y ( N )，确定出系统的初始状态 x (0) ，则系统 是状态完全能观的 。 根据状态方程的解，从0到 ( N 1)T 时刻，各采样 瞬时的观测值为： y (0) Cx (0)
y (1) Cx (1) CFx 0) y ( N 1) Cx ( N 1) CF N 1 x (0)
的。常用的方法是设计状态观测器，由测量的输出
值 y (k )重构全部状态，实际反馈的只是重构状 ˆ (k ) ˆ (k ) 。即 u(k ) Lx 态x
u (k )
对象 F , G
x(k )
C
y(k )
模型 F , G
ˆ (k ) x
C
ˆ (k ) y



K
图5-4
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状态观测器结构图
rank G

FG F N 1G n
式中:n为系统状态向量的维数。 得到输出的能控性条件为
rank C G CFG CF N 1G r
源自文库

式中: r 为输出向量的维数。
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离散时间系统的能观性
x(k 1) Fx(k ) Gu(k ) 能观性定义：对于式 y(k ) Cx(k )
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u(0) u(1) x ( N ) F N x (0) F N 1G F N 2 G G u ( N 1 )


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则 u(0) 、 u(1) 、…、u( N 1) 有解的充分必要条件，
也即系统的能控性判据为
反馈控制规律应满足如下的方程
| zI F GL | c ( z)
如果被控对象的状态为 n 维，控制作用为 m 维，则反馈 控制规律为 m n 维，即 L 中包含 m n 个元素。
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例7-1 对于单输入系统，给定二阶系统的状态方程
x1 ( k 1) 0 0.1 x1 ( k ) 0.005 x ( k ) u( k ) x ( k 1 ) 2 0 1 2 0.1
对于任意的极点配置， K具有唯一解的充分必要条 件是对象是完全能观的。
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现时观测器 观测器方程
ˆ (k ) Gu(k ) x (k 1) Fx ˆ (k 1) x (k 1) K y(k 1) Cx (k 1) x
状态重构误差为
F KCF ~ x (k )
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现时观测器特征方程：
| zI F KCF | 0
为使现时观测器具有期望的极点配置，应有
| zI F KCF | b ( z)
同理，通过比较两边z的同次幂的系数，可 求得K 中的n个未知数。 降阶观测器 将原状态向量分成两部分，一部分是可以直 接测量的 xa (k ) ，一部分是需要重构的 x b (k ) 。
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常用的状态观测器有三种。
预报观测器 观测器方程 x ˆ (k 1) Fx ˆ (k ) Gu(k ) K y(k ) Cx ˆ ( k ) 状态重构误差为：
~ ˆ (k 1) x (k 1) x(k 1) x
得状态重构误差方程为：
~ ˆ (k ) Gu(k ) K Cx(k ) Cx ˆ (k ) x (k 1) Fx(k ) Gu(k ) Fx (F KC )~ x (k )
取 ( z) c ( z)
，比较两边同次幂的系数，有 可得：
L 10 3.5
2 0.005 l1 0.1l 2 1.6 1 0.005 l1 0.1l 2 0.7
l1 10
l2 3.5
即状态反馈控制规律为
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2 按极点配置设计状态观测器 在实际工程中，采用全状态反馈通常是不现实
即： x (k ) F k x (0)
k j 1 F Gu( j ) j 0
k 1
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离散时间系统的能控性
x(k 1) Fx(k ) Gu(k ) 能控性定义：对于式 y(k ) Cx(k )
描述的系统，如果存在有限个控制信号 u(0)， u(1)
x(t ) u(kT )
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kT t (k 1)T
( k 1)T kT
（5－1－3）
则
x(kT T ) e x(kT )
AT
e A( kT T ) Bd u(kT )
3
（5－1－４）
作变量置换，令：
x(kT T ) e
AT
t kT T
如果给出观测器的极点，可求得观测器的特征方程
b ( z) ( z z1 )(z z2 )( z zn ) z n 1 z n1 n 0
为了获得所需要的状态重构性能，应有
zI F KCF b ( z)
通过比较两边z的同次幂的系数，可求得 K 中的n 个未知数。
预报观测器的特征方程：
zI F KC 0
状态重构误差的动态性能取决于特征方程根的分布。若 F KC
~ 的特性是快速收敛的，则对于任何初始误差 ~ x (0) ，x ( k ) 都将快
速收敛到零。因此，只要适当地选择增益矩阵 K ，便可获得要 求的状态重构性能。 2016/8/2 16
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被控对象的离散状态方程可以分块表示为
x(kT ) e At Bdt u(kT )
0 T
（5－1－５）
由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式
x(k 1) Fx(k ) Gu(k ) y(k ) Cx(k )
（5－1－６） （5－1－７）
其中： F e AT ,
G e At Bdt
0
第七章
计算机控制系统的 离散状态空间设计
本章主要内容：
1 状态空间描述的基本概念 2 采用状态空间模型的极点配置设计 3 采用状态空间模型的最优化设计
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状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采 用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分
析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计
设计状态反馈控制规律 L ，使闭环极点为
z1, 2 0.8 j0.25
解 根据能控性判据，因
0.005 0.015 rankG FG rank 2 0.1 0.1
所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为
c ( z) ( z z1 )(z z 2 ) z 2 1.6z 0.7 0
多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等复 杂系统，可以了解到系统内部的变化情况。并且这 种分析方法便于计算机求解。
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7．1 状态空间描述的基本概念
1 . 离散时间系统的状态空间描述
设连续的被控对象的状态空间表达式
( t ) Ax ( t ) Bu( t ) x y( t ) Cx ( t ) x ( t ) |t t 0 x ( t 0 )
x (1) Fx (0) Gu(0) x (2) Fx (1) Gu(1) F 2 x(0) FGu(0) Gu(1) x (3) Fx (2) Gu(2) F 3 x(0) F 2 Gu(0) FGu(1) Gu(2) x (k ) Fx (k 1) Gu(k 1) F k x (0) F k 1Gu(1) FGu(k 2) Gu(k 1)
式中n为系统状态向量的维数 。
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7．2 采用状态空间模型的极点配置设计
u( k )
被控对象
y (k )
状态空间模型按极点配置 设计的控制器由两部分组 成：一部分是状态观测器， 它根据所量测到的输出
y( k ) 重构出状态 ；另一部 ˆ (k ) x 分是控制规律，它直接反 馈重构的状态 ，构成 ˆ (k ) 状态反馈控制。 x
u(k ) Lx(k )
假设反馈的是被控对象实际的全部状态x(k) 得闭环系统的状态方程为 x(k 1) (F GL) x(k ) 作Z变换
u (k )
对象F , G
x(k )
zX ( z ) (F GL) x( z )
显然，闭环系统的特征方程为
zI F GL 0
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控制规律 L
图5-3
状态反馈系统结构图
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如何设计反馈控制规律，
以使闭环系统具有所期望的极点配置 ？
首先根据对系统的性能要求，找出所期望的闭环系统控制 极点 zi (i 1,2,, n) ，再根据极点的期望值 z i ，求得闭环 系统的特征方程为
c ( z) ( z z1 )(z z2 )( z zn ) z n 1 z n1 n 0
设状态反馈控制规律L l1
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l2
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闭环系统的特征方程为
( z ) | zI F GL | z 0 1 0
1 0 1 0.1 0.005 l1 1 1 l2
z 2 (2 0.005l1 0.1l 2 ) z 1 0.005l1 0.1l 2 0
（5－1－1）
在 u( t ) 作用下，系统的状态响应为
x( t ) e
A( t t 0 )
x(t0 ) e A( t ) Bu( )d
t0
t
（5－1－２）
其中 e A( t t0 ) 为系统的状态转移矩阵。 取 t0 kT ， t ( k 1)T ，考虑到零阶保持器的作用，有
控制规律 控制器
ˆ (k ) x
观测器
图5－2
按极点配置设计的控制器
根据分离性原理，控制器的设 计可以分为两个独立的部分： 一是假设全部状态可用于反馈， 按极点配置设计控制规律；二 是按极点配置设计观测器。
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1 按极点配置设计控制规律
设被控对象的离散状态空间表达式为 x(k 1) Fx (k ) Gu(k ) y(k ) Cx (k ) 控制规律为线性状态反馈
…、 x (0) 转移 u( N 1)，能使系统从任意初始状态 … 到终态 x( N ) ，则系统是状态完全能控的。 根据状态方程的解，有
x( N ) F N x(0) F N 1Gu(0) F N 2Gu(0) FGu( N 2) Gu( N 1)
写成矩阵形式
T
式中：x ( k ) 为 n 维状态向量， u( k ) 为 m 维控制向量，
y ( k )为
维输出向量， G F 为 n n 维状态转移矩阵， 为 n m 维输入矩阵，C 为 r n 维输出矩阵。
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r
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离散时间系统状态方程的解
可用迭代法求得， 以k＝0，1，… 代入式（5－1－6）