§1二重积分概念

示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零.
证 由光滑曲线的定义，, 均存在且不同时为零.
由隐函数存在性定理, t0 [ , ], x(t0 ) 0 (或 y(t0 ) 0 ), 因此 U (t0; ), x x(t ) (或 y y(t) ) 在 U (t0; )上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间
[ti1 , ti ] 上的曲线面积为零, 从而整个曲线面积为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的.
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注 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如
D ( x, y) x, y Q [0,1].
易知 0 I D I D 1, 因此 D 是不可求面积的.
P ;
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(iii) i 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 y
(图 21-1 中紫色部分)的面
P
积加起来,记这个和数为
sP
(T
),
则有
sP
(T
)
来自百度文库
(这
R
O
x
里 R 表示包含P 的那个矩
图 21 1
形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (ii) 类小矩形的
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[ , ] 分成 n 段: t0 t1 tn ,
使得在每一段 [ti1 , ti ] 上，x (t) (或 y (t)) 存在 反函数 t 1( x) (或 t 1( x) ) ,于是在 [ti1 , ti ] 上 有连续的 y ( 1( x)) (或 x ( 1( y)) ). 所以在
SP
(T
)
},
显然有
0 IP IP .
(1)
通常称 I P 为 P 的内面积, I P 为 P 的外面积.
定义1 若平面图形 P 满足 I P = I P , 则称 P 为可求面
积的图形,并把共同值 IP I P I P 作为 P 的面积.
定理21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:
(3)
记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并所成的直线网, 可证得
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sP (T1 ) sP (T ) , SP (T2 ) SP (T ) .
于是由(3)可得
sP (T ) IP 2 ,
SP (T ) IP 2 .
从而对直线网 T 有 SP (T ) sP (T ) . 充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得
SP (T ) sP (T ) .
但 sP (T ) I P I P SP (T ), 所以
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I P I P SP (T ) sP (T ) . 由 的任意性, 得 I P I P , 因而平面图形 P 可求面
积. 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它
的外面积 I P 0, 即对任给的 0, 存在直线网 T,
使得
SP (T ) , 或对任给的 0,平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
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定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零.
证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给
P 是有界的, 是指构成这个平面图形的点集是平面
上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得 P R.
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i
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证 由于 f ( x) 在闭区间 [a , b]上连续, 所以它在
[a , b]上一致连续. 因而, 0, 0,当
a x0 x1 xn b ，
max{xi xi xi1 | i 1, 2, , n}
时, 可使 f ( x) 在每个小区间 [ xi1 , xi ]上的振幅都成
面积加起来(图 21-1中着色部分),记这个和数为
SP (T ), 则有 sP (T ) SP (T ).
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由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,
数集 { sP (T )}有上确界, { SP (T )} 有下确界. 记
I P sup{ sP (T )},
T
IP
inf T
{
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对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得
SP (T ) sP (T ) .
(2)
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义1, 有
IP I P I P . 0 , 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别
存在直线网 T1 与 T2 , 使得
sP (T1 ) IP 2 , SP (T2 ) IP 2 .
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二、二重积分的定义及其存在性
二重积分的几何背景是 求曲顶柱体的体积.设
z
z f (x, y)
f ( x , y) 为定义在可求
的 0, 存在直线网T, 使得SP (T ) sP (T ) . 由于
SK (T ) SP (T ) sP (T ),
所以也有SK (T ) .由上述推论, P 的边界K 的面积
为零. 定理21.3 若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数 f ( x) 的图象, 则曲线 K 的面积为零.
立
i
b
a
.
即若把曲线
K
按
x
x0 ,
x1 ,
, xn 分
成 n 个小段, 则每一小段都能被以 xi 为宽,i 为
高的小矩形所覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和
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n
i xi
i1
ba
n
xi
i1
,
因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
推论1 参量方程 x (t), y (t) ( t ) 所表
§1 二重积分概念
二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多.
一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质
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一、平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 所谓一个平面图形