3-8 消除和减少稳态误差的办法

作用点不同,稳态误差也不同。
在扰动作用点之前的前向通路中用一个积分环
1 节用 k 0 (1 （比例积分调节器）代替 ) T0 s
n(t ) M 0 1(t )
k0
r(t)=0 -
1 k0 (1 ) T0 s
k1 s
k2 Ts 1
C(t)
(b)
则ess
k1k 2 M0 s (Ts 1) lim s 0 s 0 1 k1k 2 s 1 k 0 (1 ) T0 s s (Ts 1)
若上例在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2, 问开环增益k应等于多少?
R0 R0 5 ess , 则k 1 1 24 1 k ess 0.2
1 2 当 r (t ) 1(t ) t t , H ( s ) 1 2
时,上例的
稳态误差又是多少?
因为0型系统在速度输入和加速度输入下的 稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=∞
1 1 1 1 1 lim s lim s 0 1 G(s) s s 0 1 G(s) 1 lim G(s) 1 G(0) s 0
引入静态位置误差系数 K （开环位置放大倍数） p
K p lim G(s) G(0)
→
1 ess () 1 K p
s(0.02 s 1)(s 1) s(0.02s 1)(s 1) 10
s 1.02 s 2 0.02 s 3 2 3 10 s 1.02 s 0.02 s
用分子除以分母,作整式除法
0.1s 0.092 s 2 10 s 1.02 s 2 0.02 s 3 s 1.02 s 2 0.02 s 3
→
( s) 0.909 R( s) 0.0273sR ( s) 0.0073s 2 R( s)
进行拉氏反变换得
ss (t ) 0.909r (t ) 0.0273r (t ) 0.0073r (t )
已知 r(t ) 1(t ) ， r (t ) 0
.
.
→ essn (t ) [0.2n(t ) 0.016n(t ) ] 0.2
第三步,根据叠加原理,求系统总的稳态误差
ess (t ) essr (t ) essn (t ) 0.1 0.2 0.3
例2 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.6-3 所 示 。 图 中 K1=10 ， ) 0.1， K2=2， k c 0.05 伏/（转/分）。试求 r(t ) 1(t（伏）时的 稳态误差。
0.05伏/（转/分）将它们代入
1 0.31s 0.0168s 2 ( s) 1.1 0.31s 0.0168s 2
采用长除法得
1 0.03 0.008 2 (s) s s 1.1 1.1 1.1
0.909 0.0273s 0.0073 s 2
3-6.4 动态误差系数
利用动态误差系数，可以求解输入信号为任意时间函数 时的系统稳态误差。 方法一、泰勒级数展开法
方法二、长除法 长除法：用误差传递函数 e (s) 的分子多项式除以分母多 项式求误差系数。误差传递函数的分子、分母须排成s的升 幂级数，然后再作除法。
例1设有一随动系统如图所示,已知 r (t ) t 及 n(t ) 1(t ) , 试计算随动系统的稳态误差.
试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态 误差。
解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为
10 G( s) 2 , k 10, 0 s 2s 1 R0 5 5 则系统稳态误差 ess 1 k 1 10 11
当H(s)=0.5时,
s 0
ess lim ser ( s) R( s) 1 1 5 5 lim s s 0 10 1 2 0.5 0.5 s 3 s 2s 1
s 0
（表系统的位置误差）
1） 对于0型系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1)( 3 s 1)( m s 1) K p lim G( s) lim K s 0 s 0 s (T s 1)(T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 3 n
→
1 e ss () 1 K
由此可见 0 型系统在单位阶跃函数作用下存在稳态误差。如下图。
0型系统的阶跃响应
2）对于Ⅰ型系统
1 ess () lim s R( s ) s 0 1 G ( s )
0 对于Ⅱ型系统同样可得 e ss () 。因此在单位阶跃信号作用下，Ⅰ型、 Ⅱ型系统的稳态误差为零。
2 s K ( 1 s 1)( 2 s 1)( 3 s 1)( m s 1) 2 K v lim s G(s) lim 2 K s 0 s 0 s (T s 1)(T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 3 n
→
由此可见，Ⅱ型系统在 跟踪恒加速信号时，有 一恒定的位置误差。
1 ess () K
Ⅱ型系统对恒加速信号的响应
1 2 将输入信号 r (t ) 1(t ), t , t 分别作用于0型、Ⅰ型、Ⅱ 2
型系统时所对应 t 的稳态误差列表如下：
例:某控制系统的结构图为
r (t ) 5 1(t )
-
10 s 2 2s 1
C (s)
H (s)
由此可得，干扰信号作用下产生的稳态误差除 了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点 之前(干扰点与误差点之间 )的传递函数的结构 及参数有关，但与干扰作用点之后的传递函数 无关。
er (s) 为系统对输入信号的误差传递函数, en (s) 为系统对扰动信号的误差传递函数。
则:
ess lim sE ( s) lim s[er ( s ) R( s ) en ( s) N ( s)]
R(s)
G1(s)
G2(s)
C(s)
H(s)
如上图所示，如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s) 作用时,系统误差为:
G2 ( s) E ( s) N ( s) 1 G1( s)G2 ( s) H ( s) G2 ( s) ess lim s N ( s) s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) 1 2
引入静态加速度误差系数（开环加速度放大倍数） K
1 2 三、 r (t ) t 2
e ss () 0
1 lim s 2G(s) s 0
a
K a lim s G(s)
2 s 0
→
1 ess () Ka
→
（表加速度误差）
对于0型和Ⅰ型系统 K a 0
e ss ()
对于Ⅱ型系统
引入静态速度误差系数（开环速度放大倍数） Kv
K v lim sG (s)
s 0
→
1 ess () Kv
（表系统速度误差）
1）对于0型系统
M ( s) K v lim s 0 s 0 N ( s)
→ 2）对于Ⅰ型系统
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1 ess () Kv
sK ( 1 s 1)( 2 s 1)( 3 s 1) ( m s 1) K v lim sG ( s) lim K s 0 s 0 s (T s 1)(T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 3 n
思路
分别求得控制信号的稳态误差和干扰信号引起的 稳态误差 , 然后根据叠加原理求得系统总的稳态误差。为 简化计算，采用长除法。
第一步,令 n(t ) 0 ,求系统控制信号引起的误差
由图可得
(s) e (s) ( s) R( s) 1
1 5 2 0.02 s 1 s( s 1)
扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引 起的稳态输出的负值,它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还 与扰动作用点的位置有关。
n(t ) M 0 1(t )
r(t)=0 -
k0
k1 s
k2 Ts 1
C(t)
(a)
r(t)=0 -
n(t ) M 0 1(t )
解 对于非单位负反馈系统，我们先求系统的偏差 由图可得
1 ( s) R( s) 1 k c G1 ( s)G2 ( s)
1 K1 K2 1 kc 0.07 s 1 0.24s 1
( s)
已知K1=10，K2=2， 0.1 上式，并整理得
，k c
0.2 0.016 s 2 3 10 s 1.02s 0.02s 2 0.04s
)2 0.2s 0.204 s 0.004 s
2 3
作整式除法
0.16s 0.204s 0.004s
2
3
…
…
已知 n(t ) 1(t )
,则
n(t ) 0
k0
(b)
k1 s
k2 Ts 1
C(t)
k2 M0 Ts 1 (a )中 : ess lim s 0 s 0 k 0 k1k 2 s 1 s (Ts 1) k1k 2 M0 M0 s (Ts 1) (b)中 : ess lim s s 0 k 0 k1k 2 s k0 1 s (Ts 1)
二、
1 1 sN ( s) lim lim lim 0 s 0 1 G ( s ) s 0 1 M ( s ) s 0 sN ( s) M ( s) s N ( s)
r(t ) t
1 1 1 1 2 ess () lim s R( s) lim s lim sG (s) s 0 1 G ( s ) s 0 1 G ( s ) s s 0
.
.
..
代入上式得
ss (t ) 0.909
又
H (s) kc
→
ss (t ) 0.909 ess (t ) 181.8 k c 0.1 0.05
3-6.5 扰动作用下系统稳态误差的分析
理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态 误差应当为0,即对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就 是扰动信号引起的输出为0,希望系统的输出一点都不 受扰动的影响,实际上这是不可能的。 E(s) N(s)
. ..
→
第二步,令
由图可得
r (t ) 0
,求干扰信号引起的稳态误差
2 EN ( s) N ( s) s ( s 1) en ( s ) 5 2 N ( s) N (s) 1 0.02s 1 s ( s 1)
(2 0.04 s ) 10 s 1.02 s 2 0.02 s 3
) s 0.1s 2 0.102 s 3 0.002 s 4
0.92s 2 0.082s 3 0.002s 4
得出
ER ( s ) 2 e ( s) 0.1s 0.092s R( s )
essr (t ) 0.1r (t ) 0.092r (t ) 0.1 (t ts )
→
1 1 ess () Kv K
由此可见，Ⅰ型系统对斜坡输入信号响应存在一个稳态误差。见下 图。
Ⅰ型系统对斜坡输入的响应
同理，我们可得对于Ⅱ型系统有
1 1 1 ess () lim s R( s) lim s 3 s 0 1 G ( s ) s 0 1 G ( s ) s
3-6.3 不同类型系统的稳态误差 下面我们来复习单位阶跃信号、单位斜坡信号、恒 加速度信号分别作用于0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统时的 稳态误差的终值 ess () 。
一、
r(t ) 1(t )
根据公式
1 ess () lim sE ( s) lim s R( s ) s 0 s 0 1 G ( s )