人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1《综合法和分析法》习题及答案
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数学·选修1-2(人教A版)
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
►达标训练
1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”应用了( )
A.分析法
B.综合法
C.综合法与分析法结合使用
D.演绎法
解析:这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式,应用了综合法,故选B.
答案:B
2.要证明3+5<4可选择的方法有以下几种,其中最合理的为( )
A.综合法 B.分析法
C.比较法 D.归纳法
解析:要证明3+5<4,只需证明(3+5)2<16,即8+215 <16,即证明15<4,亦即只需证明15<16,而15<16显然成立,故原不等式成立.因此利用分析法证明较为合理,故选B.
答案:B
3.已知a>0,a-b+c<0,其中a,b,c均为实数,则一定有( )
A.b2-4ac>0 B.b2-4ac≤0
C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≥0答案:A
4.要使3
a-
3
b<
3
a-b成立,则a,b应满足的条件是( )
A.ab<0且a>b
B.ab>0且a>b
C.ab<0且a<b
D.ab<0且a<b或ab>0且a>b
解析:思路不明确,用分析法寻求使不等式成立的条件.
3
a-3
b<
3
a-b⇔a-b+3
3
ab2-3
3
a2b<a-b⇔
3
ab2<
3
a2b,
∴当ab>0时,有3
b<
3
a,即b<a;
当ab<0时,有3
b>
3
a,即b>a.
所以选D.
答案:D
5.已知直线l,m与平面α,β,γ满足β∩γ=l,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必定有( )
A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
答案:A
6.已知S n为等差数列{a n}的前n项和,若S1=1,=4,则
的值为( )
A.9
4
B.
3
2
C.5
4
D.4
解析:S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,由=4得=3,
则S 6-S 4=5S 2,所以S 4=4S 2,S 6=9S 2,=.
答案:A
►素能提高
1.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2 -S k =24,则k =( )
A .8
B .7
C .6
D .5
答案:D
2.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =0,abc >0,则1a +1b +1
c
的
值( )
A .一定是正数
B .一定是负数
C .可能是0
D .正负不能定
解析:取特殊值.如取a =2,b =-1,c =-1知选B. 答案:B
3.已知a >0,b >0,m =lg a +b 2,n =lg a +b
2
,则m 与n 的
大小关系为________.
解析:因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=a +b +2ab 4>⎝
⎛⎭
⎪⎫a +b 22
所以a +b 2>a +b 2
.又因为y =lg x 为增函数,
所以有m >n . 答案:m >n
4.若平面内OP 1→+OP 2→+OP 3→=0,且⎪⎪⎪⎪OP 1→=⎪⎪⎪⎪OP 2→=⎪⎪⎪
⎪OP 3→,则△P 1P 2P 3的形状一定是______________.
解析:设⎪⎪⎪⎪OP 1→=⎪⎪⎪⎪OP 2→=⎪⎪⎪⎪OP 3→=r ,
所以P 1,P 2,P 3均在以O 为圆心,r 为半径的圆上, 又因为OP
1→+OP 2→+OP 3→=0, 所以有⎪⎪⎪⎪OP 1→+OP 2→=⎪⎪⎪⎪-OP 3→=r , 即有OP 1→2+2OP 1→·OP
2→+OP 2→2=r 2, 所以OP 1→·OP 2→=-r 2
2
,
即cos ∠P 1OP 2=OP 1→·OP 2→⎪⎪⎪⎪OP 1→·⎪⎪⎪⎪OP 2→=-1
2, 所以∠P 1OP 2=120°,故∠P 1P 3P 2=60°. 同理可证∠P 2P 1P 3=60°,故△P 1P 2P 3是正三角形. 答案:正三角形
5.函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A (1,1),若点A
在直线mx +ny -1=0(mn >0)上,则1m +1
n
的最小值为________.
解析:由于y =a 1-x 恒过点A (1,1),而点A 在直线上,则m +n -1=0,即m +n =1,
所以,1m +1n =m +n m +m +n n =2+n m +m
n ≥2+
4, 当且仅当m =n =12
时,1m +1
n 取得最小值4.
答案:4