杆和梁结构的有限元法
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第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
fi k f j k
k ui EA 1 1 ui k u j L 1 1 u j
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
上面方程写成 矩阵形式：
系统平衡方程— 节点载荷与节点 总内力的平衡
（系统的有限元平衡方程）
或
KD F
K —— 弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚）
D —— 整体节点位移列阵
F —— 整体节点载荷列阵
讨论：（1） K 有哪些特点和性质？ （2）上面方程能求解吗？
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
3) 给定载荷和约束条件下的求解 设边界条件为：
u1 0 F2 F3 P
则系统平衡方程为：
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
该方程展开后分为2个部分： 未知量为2个节点位移 u2 , u3 和一个支反力 F1
解Hale Waihona Puke Baidu面方程得：
（c） 节点1、4的反力
（d） 弹簧2中的力
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
解：
（a）各单元的刚度矩阵为：
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：
或
总刚度矩阵特征：对称、奇异、带状、稀疏
第二章 杆和梁结构的有限元法
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（二）公式法导出杆单元特性方程（虚功原理）
单元上假设近似位移函数——位移模式
单元上位移假设为线性多项式函数： u a0 a1 x 用插值法把多项式中的待定系数 a0 , a1 转化为待定节点位 移ui,uj,从而得到插值形式的假设位移函数——单元位移模 式如下： u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j 上式中：
单元1：
k1 k1 k2 k 2
1 k1 u1 f1 1 k1 u 2 f2
单元2：
k 2 u 2 f12 2 k 2 u3 f2
第二章 杆和梁结构的有限元法
F 2 k2 2 k2 (u3 u2 )
（拉力）
§2.1.2 弹簧系统分析
练习1：
对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
要点回顾
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
du 应变—位移关系： dx 应力—应变关系： E
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量： u j ui
杆应变： L
E 杆应力： E L EA EA 杆内力： F A k L L EA 杆的轴向刚度： k L
d 则单元虚应变： (u ) Bd dx
节点力（外力）虚功： d T f
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
单元虚应变能：
T
T dV d B EBddV d B EBdV d V V V
T T T
对杆单元应用虚功原理，得：
单元特性
系统平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
KD F
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
引入系统节点平衡条件
KD F
系统节点平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面 杆单元
§2.1.1 弹簧单元分析
弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系统中 一个弹簧单元为研究对象进行分析。
2个节点：
i, j
fi , f j
已知弹簧力——位移关系：
ui , u j 节点位移：
节点力：
弹簧刚度： k
第二章 杆和梁结构的有限元法
F k
F 弹簧力，拉伸为正 u j ui —弹簧伸长
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
方法2：单元刚度方程扩大叠加 a.将单元刚度方程扩大到整体规模：
元素按总体 节点序号重 新排列，对 号入座。
要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。
2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。 3、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！
fi k f j k
第二章
k ui k u j
f kd
杆和梁结构的有限元法
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 ( k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
§2.1.1 弹簧单元分析
方法一： 考虑弹簧力学特性和节点上力平衡有：
f i F k (u j ui ) kui ku j
f j F k (u j ui ) kui ku j
写成矩阵形式：
fi k f j k
矩阵符号形式：
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
b. 将上面的矩阵方程叠加，得到：
系统总节点力（内力） 与节点位移的关系—— 系统特性。
c. 代入节点平衡条件， 得系统节点平衡方程：
F1 f11 F2 f f
1 2 2 1
F3 f 22
注意：总刚度矩阵就是 单元刚度矩阵扩大后的 叠加！
如何用直接法求杆单元特性？ 如何用公式法导出杆单元特性？
2.2.2 二维空间 杆单元
什么叫坐标变换？
如何对节点位移向量进行坐标变换？
什么是虚功原理？ 杆单元刚度矩阵的特点？
如何对刚度矩阵进行坐标变换？ 应用举例——二维桁架
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
研究一个2节点一维等截面杆单元：
T d f d B EBdV d V
T T
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
T f B EBdV d k d V
k BT EBdV
V
——杆单元刚度矩阵
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元 对于上面的杆单元：
k BT EBdV
V
与前面直接法得到的公式相同！
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义： f i k11 刚度方程中令：ui 1 u j 0 f j k21
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
2）按两种方法装配系统特性： 方法1:按节点列平衡方程
分别考虑节点1，2，3的力平衡
条件（总节点力与节点外载荷的平衡）： F1 f11
F2 f 21 f12 F3 f 22
把单元特性代入，得到： F1 k1u1 k1u2
F2 k1u1 (k1 k 2 )u2 k 2u3 F3 k 2u2 k 2u3
N i ( x) 1
x , L
N j ( x)
x L
N i , N j 是插值基函数，有限元中称为形状函数，简称形函数。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
单元位移模式写成矩阵形式：
u Ni
ui N j Nd u j
u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元 法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求 解原理和过程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移
k12 ui k22 u j
单元刚度方程
fi k11 f j k21
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
fi k11 f j k21
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单
第2章 杆和梁结构的有限元法
2.1 2.2
弹簧单元和弹簧系统 杆单元和平面桁架
2.3
梁单元和平面刚架
第二章
杆和梁结构的有限元法
2.1 弹簧单元和弹簧系统
1 2
一个弹簧单元 的分析
弹簧系统
什么是单元特性？ 弹簧单元的刚度矩阵 弹簧单元的刚度方程 弹簧单元刚度矩阵的特点
第二章 杆和梁结构的有限元法
弹簧系统的总刚度矩阵 如何求解系统的平衡方程 例题
L— 杆长
A— 截面积
E— 弹性模量
ui 单元节点位移：d u j
fi 单元节点力：f fj
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
u u ( x)
——杆单元位移
( x) ——杆单元应变 ( x)——杆单元应力
第二章 杆和梁结构的有限元法
k k k
k k
fi k f j k
k ui k u j
kii k k ji
kij k jj
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
§2.1.2 弹簧系统分析
由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：
（b）先施加位移边界条件 将 u1 u4 0 带入平衡方程后，第2，3方程为：
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
求解得：
（c)由第1，4个方程求得支反力
(d)弹簧2内力
200 3 2 200( N )
k ui k u j
f kd
第二章
——弹簧单元刚度方程，单元特性
杆和梁结构的有限元法
§2.1.1 弹簧单元分析
上式中：
k 弹簧单元的刚度矩阵 d 单元节点位移向量 f 单元节点力向量
思考问题： 1）k 有什么特点？ 2）k 中元素代表什么含义？ 3）上面方程可以求解吗？为什么？
式中N N i
N j , 称为单元形函数矩阵。
注意：位移模式采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位 移分量， 只能对应2个多项式系数。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
d 单元应变： du Nd B d dx dx
u N i B ——单元应变矩阵 d B Ni ( x) N j ( x) 1/ L 1/ L dx ui N j Nd u j
单元应力： E EBd 下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
虚位移原理 弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹
性体内的虚应变能。——平衡条件
对于杆单元，定义虚位移如下： ui 节点虚位移： d u j 单元虚位移： u Nd
§2.2.1 等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
fi k f j k
k ui EA 1 1 ui k u j L 1 1 u j
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
上面方程写成 矩阵形式：
系统平衡方程— 节点载荷与节点 总内力的平衡
（系统的有限元平衡方程）
或
KD F
K —— 弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚）
D —— 整体节点位移列阵
F —— 整体节点载荷列阵
讨论：（1） K 有哪些特点和性质？ （2）上面方程能求解吗？
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
3) 给定载荷和约束条件下的求解 设边界条件为：
u1 0 F2 F3 P
则系统平衡方程为：
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
该方程展开后分为2个部分： 未知量为2个节点位移 u2 , u3 和一个支反力 F1
解Hale Waihona Puke Baidu面方程得：
（c） 节点1、4的反力
（d） 弹簧2中的力
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
解：
（a）各单元的刚度矩阵为：
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：
或
总刚度矩阵特征：对称、奇异、带状、稀疏
第二章 杆和梁结构的有限元法
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（二）公式法导出杆单元特性方程（虚功原理）
单元上假设近似位移函数——位移模式
单元上位移假设为线性多项式函数： u a0 a1 x 用插值法把多项式中的待定系数 a0 , a1 转化为待定节点位 移ui,uj,从而得到插值形式的假设位移函数——单元位移模 式如下： u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j 上式中：
单元1：
k1 k1 k2 k 2
1 k1 u1 f1 1 k1 u 2 f2
单元2：
k 2 u 2 f12 2 k 2 u3 f2
第二章 杆和梁结构的有限元法
F 2 k2 2 k2 (u3 u2 )
（拉力）
§2.1.2 弹簧系统分析
练习1：
对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
要点回顾
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
du 应变—位移关系： dx 应力—应变关系： E
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量： u j ui
杆应变： L
E 杆应力： E L EA EA 杆内力： F A k L L EA 杆的轴向刚度： k L
d 则单元虚应变： (u ) Bd dx
节点力（外力）虚功： d T f
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
单元虚应变能：
T
T dV d B EBddV d B EBdV d V V V
T T T
对杆单元应用虚功原理，得：
单元特性
系统平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
KD F
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
引入系统节点平衡条件
KD F
系统节点平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面 杆单元
§2.1.1 弹簧单元分析
弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系统中 一个弹簧单元为研究对象进行分析。
2个节点：
i, j
fi , f j
已知弹簧力——位移关系：
ui , u j 节点位移：
节点力：
弹簧刚度： k
第二章 杆和梁结构的有限元法
F k
F 弹簧力，拉伸为正 u j ui —弹簧伸长
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
方法2：单元刚度方程扩大叠加 a.将单元刚度方程扩大到整体规模：
元素按总体 节点序号重 新排列，对 号入座。
要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。
2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。 3、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！
fi k f j k
第二章
k ui k u j
f kd
杆和梁结构的有限元法
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 ( k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
§2.1.1 弹簧单元分析
方法一： 考虑弹簧力学特性和节点上力平衡有：
f i F k (u j ui ) kui ku j
f j F k (u j ui ) kui ku j
写成矩阵形式：
fi k f j k
矩阵符号形式：
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
b. 将上面的矩阵方程叠加，得到：
系统总节点力（内力） 与节点位移的关系—— 系统特性。
c. 代入节点平衡条件， 得系统节点平衡方程：
F1 f11 F2 f f
1 2 2 1
F3 f 22
注意：总刚度矩阵就是 单元刚度矩阵扩大后的 叠加！
如何用直接法求杆单元特性？ 如何用公式法导出杆单元特性？
2.2.2 二维空间 杆单元
什么叫坐标变换？
如何对节点位移向量进行坐标变换？
什么是虚功原理？ 杆单元刚度矩阵的特点？
如何对刚度矩阵进行坐标变换？ 应用举例——二维桁架
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
研究一个2节点一维等截面杆单元：
T d f d B EBdV d V
T T
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
T f B EBdV d k d V
k BT EBdV
V
——杆单元刚度矩阵
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元 对于上面的杆单元：
k BT EBdV
V
与前面直接法得到的公式相同！
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义： f i k11 刚度方程中令：ui 1 u j 0 f j k21
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
2）按两种方法装配系统特性： 方法1:按节点列平衡方程
分别考虑节点1，2，3的力平衡
条件（总节点力与节点外载荷的平衡）： F1 f11
F2 f 21 f12 F3 f 22
把单元特性代入，得到： F1 k1u1 k1u2
F2 k1u1 (k1 k 2 )u2 k 2u3 F3 k 2u2 k 2u3
N i ( x) 1
x , L
N j ( x)
x L
N i , N j 是插值基函数，有限元中称为形状函数，简称形函数。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
单元位移模式写成矩阵形式：
u Ni
ui N j Nd u j
u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元 法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求 解原理和过程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移
k12 ui k22 u j
单元刚度方程
fi k11 f j k21
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
fi k11 f j k21
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单
第2章 杆和梁结构的有限元法
2.1 2.2
弹簧单元和弹簧系统 杆单元和平面桁架
2.3
梁单元和平面刚架
第二章
杆和梁结构的有限元法
2.1 弹簧单元和弹簧系统
1 2
一个弹簧单元 的分析
弹簧系统
什么是单元特性？ 弹簧单元的刚度矩阵 弹簧单元的刚度方程 弹簧单元刚度矩阵的特点
第二章 杆和梁结构的有限元法
弹簧系统的总刚度矩阵 如何求解系统的平衡方程 例题
L— 杆长
A— 截面积
E— 弹性模量
ui 单元节点位移：d u j
fi 单元节点力：f fj
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
u u ( x)
——杆单元位移
( x) ——杆单元应变 ( x)——杆单元应力
第二章 杆和梁结构的有限元法
k k k
k k
fi k f j k
k ui k u j
kii k k ji
kij k jj
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
§2.1.2 弹簧系统分析
由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：
（b）先施加位移边界条件 将 u1 u4 0 带入平衡方程后，第2，3方程为：
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
求解得：
（c)由第1，4个方程求得支反力
(d)弹簧2内力
200 3 2 200( N )
k ui k u j
f kd
第二章
——弹簧单元刚度方程，单元特性
杆和梁结构的有限元法
§2.1.1 弹簧单元分析
上式中：
k 弹簧单元的刚度矩阵 d 单元节点位移向量 f 单元节点力向量
思考问题： 1）k 有什么特点？ 2）k 中元素代表什么含义？ 3）上面方程可以求解吗？为什么？
式中N N i
N j , 称为单元形函数矩阵。
注意：位移模式采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位 移分量， 只能对应2个多项式系数。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
d 单元应变： du Nd B d dx dx
u N i B ——单元应变矩阵 d B Ni ( x) N j ( x) 1/ L 1/ L dx ui N j Nd u j
单元应力： E EBd 下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
虚位移原理 弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹
性体内的虚应变能。——平衡条件
对于杆单元，定义虚位移如下： ui 节点虚位移： d u j 单元虚位移： u Nd