材料力学考研题解_第五章弯曲内力
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材料力学-第5章 弯曲内力
材料力学
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
材料力学5弯曲内力
M
45
剪力图与弯矩图
例题3
A 9 qa 4 FAy
q
D E
4a
3 B qa 4 FBy
a
F
Q4 9qa/
a e c b 7qa/4 qa
O
a
O
e
qa2 b,c
81qa2/32
M
5．根据微分关系连图线 对于弯矩图：在 AB 段，因 有均布载荷作用，图形为二 ql 次抛物线。又因为 q 向下为 负，弯矩图为凸向M坐标正 方向的抛物线。于是， AB 段内弯矩图的形状便大致确 qa x 定。为了确定曲线的位置， d 除 AB 段上两个控制面上弯 矩数值外，还需确定在这一 x 段内二次抛物线有没有极值 d 点，以及极值点的位置和极 值点的弯矩数值。从剪力图 上可以看出，在 e 点剪力为 零。
9 ＝ qa max 4 81 M max ＝ qa 2 32 FQ
F
Q4 9qa/
a e c b 9qa/4 qa qa d
O
a
x
qa2 e b,c
81qa2/32
O
d
M
48
剪力图与弯矩图
例题3
9 qa 4
FAy F
Q4 9qa/
q
D
A
E
4a
B 3 qa 4 FBy
控 制 面
18
剪力图与弯矩图
控制面的概念
外力规律发生变化截面—集中力、集中力偶 作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
19
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图大体相似，但 略有差异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力 和弯矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力 图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
05第五章 材料力学习题解答(弯曲内力)
a
a
(i)
解：(a) (1) 求约束反力
qa
2qa qa
C
A
B
q
a
a
a
a
(j)
MA
A x
2P
C
M0=Pa
B
RA
∑Y = 0 RA − 2P = 0
RA = 2P
∑ M A = 0 M A − 2Pa + M0 = 0
(2) 列剪力方程和弯矩方程
M A = Pa
Q(x)
⎧= ⎨⎩=
RA RA
= −
2P 2P
q
M2
C
a
求内力
P=qa
B
Q2 = P + qa = 2qa
M2
=
−P
×
a
−
qa
×
a 2
+
M
=
−
1 2
qa 2
(b) (1)求约束反力
P=200N
1
23
A
1C
DB
RA 200
23
200 200
RD
∑ MD = 0 RA × 400 − P × 200 = 0
RA = 100N
(2) 截开 1-1 截面，取左段，加内力
=
x 0
∈ (0,a) x ∈(a,
2a]
上海理工大学 力学教研室
3
M
(x)
⎧= ⎨⎩ =
RA RA
× ×
x x
+ +
MA MA
= −
2Px − Pa 2P × (x − a)
=
Pa
(3) 画 Q 图和 M 图
梁弯曲内力 材料力学
FQ
FQ
对弯矩符号可根据弯曲形状来记忆: 对弯矩符号可根据弯曲形状来记忆:
"Happy" Beam is ⊕
"Sad" Beam is
工程力学
§5-3 梁的剪力和弯矩
五. 弯曲内力
梁上的分布载荷
工程力学
§5-3 梁的剪力和弯矩
五. 弯曲内力
截面(跨中截面) 例5-1: 一简支梁受力如图所示.试求 C 截面(跨中截面) : 一简支梁受力如图所示. 上的内力. 上的内力.
FAy
A x o M
FBy
F 剪力 Q — 使截面不产生移
动 弯矩 M — 使截面不产生转动 得到: 由∑ Fy = 0, 得到:
FQ
F Ay
Fb FQ = FAy = L
工程力学
§5-3 梁的剪力和弯矩
五. 弯曲内力 m
得到: 由∑ M o = 0, 得到:
Fb x M = FAy x = L
Statically Indeterminated Beams
工程力学
§5-2 梁的支座和梁的种类
五. 弯曲内力
带中间铰静定组合梁
工程力学
§5-2 梁的支座和梁的种类
五. 弯曲内力
外力的分类
组合载荷
工程力学
五. 弯曲内力
§5-3 梁平面弯曲的剪力和弯矩
y
M xy
y
Fxy
C C
Fxy
M xx
x z
工程力学
五. 弯曲内力
第五章 弯曲内力
本章目的
学习梁的受力特点及其内力沿梁轴线的变化方程及变化 规律图. 规律图. 掌握计算梁内力的最大值以及产生位置的方法. 掌握计算梁内力的最大值以及产生位置的方法.
FQ
对弯矩符号可根据弯曲形状来记忆: 对弯矩符号可根据弯曲形状来记忆:
"Happy" Beam is ⊕
"Sad" Beam is
工程力学
§5-3 梁的剪力和弯矩
五. 弯曲内力
梁上的分布载荷
工程力学
§5-3 梁的剪力和弯矩
五. 弯曲内力
截面(跨中截面) 例5-1: 一简支梁受力如图所示.试求 C 截面(跨中截面) : 一简支梁受力如图所示. 上的内力. 上的内力.
FAy
A x o M
FBy
F 剪力 Q — 使截面不产生移
动 弯矩 M — 使截面不产生转动 得到: 由∑ Fy = 0, 得到:
FQ
F Ay
Fb FQ = FAy = L
工程力学
§5-3 梁的剪力和弯矩
五. 弯曲内力 m
得到: 由∑ M o = 0, 得到:
Fb x M = FAy x = L
Statically Indeterminated Beams
工程力学
§5-2 梁的支座和梁的种类
五. 弯曲内力
带中间铰静定组合梁
工程力学
§5-2 梁的支座和梁的种类
五. 弯曲内力
外力的分类
组合载荷
工程力学
五. 弯曲内力
§5-3 梁平面弯曲的剪力和弯矩
y
M xy
y
Fxy
C C
Fxy
M xx
x z
工程力学
五. 弯曲内力
第五章 弯曲内力
本章目的
学习梁的受力特点及其内力沿梁轴线的变化方程及变化 规律图. 规律图. 掌握计算梁内力的最大值以及产生位置的方法. 掌握计算梁内力的最大值以及产生位置的方法.
材料力学05(第五章 弯曲内力)
5 qa 3
0 x1 3a
Fs 2 qx2
1 2 M 2 qx2 2 0 x2 a
M
(d )
1 2 qa 2
例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和 弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：1、求支座反力
1 l l M A 0 FB l q 2 4 0 FB 8 ql 3 l l l M B 0 FA l q 2 ( 2 4) 0 FA 8 ql 可利用平衡方程 Fy 0 对所求反力进行校核。
2、 校核弯矩图 Me =3qa2 A
FS a 5qa/3 8a/3 M C 3a
q
AC段
B
x 剪力=常量 弯矩图→斜率为 正值的斜直线
qa/3 x
弯矩值： 支座A：MA=0
5qa2/3 x
qa2/18 4qa2/3
C截面左侧:
M C
5 2 FA a qa 3
FS
5qa/3
8a/3
FS(x)
AC 段 CB 段
3 ql qx 8 1 ql 8
d FS ( x) dx
-q
0
d M ( x) d M 2 ( x ) M(x) d x2 dx 3 1 23 qlx qx ql qx -q 8 2 8 1 1 ql (l x) ql 0 8 8
对于该梁来说有
d FS x q 2 d M x dx q 2 dx d M x FS x dx
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
0 x1 3a
Fs 2 qx2
1 2 M 2 qx2 2 0 x2 a
M
(d )
1 2 qa 2
例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和 弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：1、求支座反力
1 l l M A 0 FB l q 2 4 0 FB 8 ql 3 l l l M B 0 FA l q 2 ( 2 4) 0 FA 8 ql 可利用平衡方程 Fy 0 对所求反力进行校核。
2、 校核弯矩图 Me =3qa2 A
FS a 5qa/3 8a/3 M C 3a
q
AC段
B
x 剪力=常量 弯矩图→斜率为 正值的斜直线
qa/3 x
弯矩值： 支座A：MA=0
5qa2/3 x
qa2/18 4qa2/3
C截面左侧:
M C
5 2 FA a qa 3
FS
5qa/3
8a/3
FS(x)
AC 段 CB 段
3 ql qx 8 1 ql 8
d FS ( x) dx
-q
0
d M ( x) d M 2 ( x ) M(x) d x2 dx 3 1 23 qlx qx ql qx -q 8 2 8 1 1 ql (l x) ql 0 8 8
对于该梁来说有
d FS x q 2 d M x dx q 2 dx d M x FS x dx
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
10+第五章++弯曲内力——材料力学课件PPT
一般性步骤 对应关系 快速画法
15
第五章 弯曲内力
材料力学分析的基本路径
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
16
第五章 弯曲内力
F
梁的外力内力相同
(1)
梁的横截面积相同
F
(1)与(2)两种情况 那种情况对梁承
qa
a/2 +
A
- B-
C
qa
A
B-
C
qa2 5qa2/4 qa2
11
第五章 弯曲内力
例：已知弯矩图， 试画载荷图。
2qa qa
解：
1. 根据剪力图定集中与分布力 2. 根据弯矩图的跳跃值定集中
与分布力偶。
思考：是否能唯一确定载
a
a
a
qa
荷图的约束形式？
剪力图
2qa2
3 qa2 2
qa2 qa2
a
a
a
弯矩图
12
第五章 弯曲内力
两种特殊问题
例：利用微积分关系画 剪力弯矩图
3 qa2 2
A
qa q
思考： 1. 如何计算支座反力？
B
a
a
3 qa
1 qa
2
(a)
2
2. 计算支座反力后，利用
Fs
3 qa 2
1 qa 2
微积分关系画图时，是
x
否还要考虑中间支座？
3. 载荷作用在梁间铰上、 M 铰链左侧梁端，铰链右
1 qa 2 (a1)
1 qa2
8
x
侧梁端，剪力、弯矩图
有无区别？
3 qa2 2
(a2)
材料力学5弯曲内力部分
材料力学部分本部分主要内容：一材料力学绪论二轴向拉伸、压缩与剪切三扭转四平面图形的几何性质五弯曲六应力状态与强度理论七组合变形八压杆稳定本部分主要内容：（一）弯曲内力（二）弯曲应力（三）弯曲变形主要内容：一平面弯曲的概念和实例二受弯杆件的简化三剪力和弯矩四剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图五剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系六弯曲内力部分习题及解答（一）弯曲内力一平面弯曲的概念及实例1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
3.工程实例一平面弯曲的概念及实例4. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
对称弯曲（如下图）——平面弯曲的特例。
非对称弯曲——若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
本部分内容以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
一平面弯曲的概念及实例梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化二受弯杆件的简化①固定铰支座2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②辊轴支座1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
二受弯杆件的简化③固定端3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。
q (x )—分布力②悬臂梁二受弯杆件的简化③外伸梁[例] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
P Y )x (Q O ==解：①求支反力)L x (P M x Y )x (M O O -=-= ②写出内力方程PLM P Y O O == ;[例]：求图示梁内力图。
xy解：截面法求内力。
11110)(qax M M qax F mi A-=\=+=åxQqa Mqa 2x3qa2/2xqqaa a1122M AY A=S Y 0=S A M 0qa 21M 2qa 2A 2=-+2A qa 21M -=0=-+-A Y qa qa 0=A Y 四剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图一、剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系对d x 段进行平衡分析，有：[]0d d 0=+-+=å)x (Q )x (Q x )x (q )x (Q Y )x (Q x )x (q d d =五剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用()()c x q dxx dQ ==讨论：特别地，当q=c ：1、q=c>0 : 均布载荷向上，则Q 向右上方倾斜的直线2、q=c=0 : 没有均载荷，则Q 为水平直线3、q=c<0: 均布载荷向下，则Q 向右下方倾斜的直线五剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用q (x )M (x )+d M (x )Q (x )+d Q (x )Q (x )M (x )d x A0dM(x)][M(x)M(x)q(x)(dx)21Q(x)dx ,0)F (m2i A=+-++=å)Q(x dxdM(x)=弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第2版 课后习题答案 第5章 弯曲内力
qa qa
qa
1 qa
qa
2
（a）Q 图
1 qa 2 8
（b）Q 图
1 qa 2 2
（c）Q 图
1 qa 2 2
3qa 2
1 qa 2 2
（a）M 图
qa 2
（b）M 图
qa 2
（c）M 图
8KN
qa
5KN
1KN
8KN
（d）Q 图
1 qa 2 2
3 qa 2 2
（e）Q 图
3KN
（f）Q 图
qa 2 1 KN ⋅ m 4
M3 = 0
（f） Q1 = 10KN
Q2 = 10KN
Q3 = 10KN
M1 = 5KN ⋅ m M 2 = 5KN ⋅ m
M 3 = −10KN ⋅ m
5-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图，确定|Fmax|和|Mmax|。
解 ：（ a） Q(x) = 3M 0 l
Qmax
2
8
2
4
0.5a
qa
1 qa
2
（j）Q 图
3a
5 ql
8
8
（k）Q 图
3P 4
（l）Q 图
1 qa 2
1 ql 2
1 Pa
2
128
4
qa 2
（j）M 图
1 ql 2 8
（k）M 图
（l）M 图
1 Pa 2
5-3 利用 q、 FS 、M 的微分关系作出下列各梁的剪力图和弯矩图，并求出| FSmax |和|Mmax|。
1 qa 2 4
（a）M 图
qa
（b）Q 图
材料力学cl05弯曲内力
凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。
墙
楼板
梁
q
l
23:29 1
P 栏杆 a
A 阳台梁
B
M e Pa
q
A
23:29
P B
2
23:29
3
上海长江大桥架起"世界第一梁"
上海长江大桥第53号至54号桥墩间，架起“百米长梁”。这一箱梁长 105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。 “百米长梁”超越东海 大桥“梁式大桥”70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。 上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时 速100公里。整个隧桥工程在2009年完工。
（剪力 FS的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
23:29 14
如以右侧梁作为研究对象，则：
FSc q 2a FBy qa
Fs1
Fs 4
4 由 M A 0 得 RB 7qa 4 5qa Fs1 RA 4 2
5qa M 2 M1 R A a 4
Fs 2
Fs 3
23:29
（FS4的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
qa FS 3 Fs 2 RA qa 42 3qa M 3 R A 2a qa a 2 3qa 5qa 2 Fs 4 qa RB , M4 4 4
23:29
9
§4-3
梁的内力及其求法
a
P
A
x
l
墙
楼板
梁
q
l
23:29 1
P 栏杆 a
A 阳台梁
B
M e Pa
q
A
23:29
P B
2
23:29
3
上海长江大桥架起"世界第一梁"
上海长江大桥第53号至54号桥墩间，架起“百米长梁”。这一箱梁长 105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。 “百米长梁”超越东海 大桥“梁式大桥”70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。 上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时 速100公里。整个隧桥工程在2009年完工。
（剪力 FS的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
23:29 14
如以右侧梁作为研究对象，则：
FSc q 2a FBy qa
Fs1
Fs 4
4 由 M A 0 得 RB 7qa 4 5qa Fs1 RA 4 2
5qa M 2 M1 R A a 4
Fs 2
Fs 3
23:29
（FS4的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
qa FS 3 Fs 2 RA qa 42 3qa M 3 R A 2a qa a 2 3qa 5qa 2 Fs 4 qa RB , M4 4 4
23:29
9
§4-3
梁的内力及其求法
a
P
A
x
l
2019年最新-材料力学第5章弯曲内力-精选文档
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材料力学
出版社 理工分社
5.3剪力和弯矩 根据平衡方程，可以求得静定梁在载荷作用下的支座反力，于是作用于梁上 的外力均为已知量，进一步就可以研究梁横截面上的内力。以如图5.11(a) 所示的简支梁为例，F1，F2为作用于梁上的载荷，FAy和FBy为两端的支座反力 。为了显示出梁横截面上的内力，沿截面m—m假想地把梁分成两部分，并以 左段为研究对象(见图5.11(b))。由于原来的梁处于平衡状态，所以左段梁 仍应处于平衡状态。作用于左段梁上的力，除外力F1和FAy外，在m—m截面上 还有右段梁作用于它的内力。显然，为了保持左段梁的平衡，m—m截面的内 力必然存在两个分量：平行于截面的力Q和位于载荷作用平面内的力偶矩M。 其中，Q称为横截面m—m上的剪力，M称为横截面m—m上的弯矩。剪力和弯矩 统称为弯曲内力。
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图5.7
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(2)固定铰支座 固定铰支座是光滑铰链约束的一种形式，即用联接件(如销钉等)连接的两个 钻有同样大小孔的构件中有一个是固定在地面或机架上的，如图5.8(a)所示 ，其简图如图5.8(b)所示。它限制支座处的梁截面沿径向的相对移动，但允 许截面绕铰链中心转动。因此，其约束力包含水平反力Fx和垂直反力Fy两个 分量(见图5.8(c))，且通过铰链中心。径向轴承、平面止推轴承等都可简化 为固定铰支座。
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图5.8
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(3)固定端 固定端约束中，构件的一端完全固定在另一物体上(见图5.9(a))，其等效力 系及其简化分别如图5.9(b)、(c)所示。它同时限制支座处梁截面的移动和 转动。因此，其约束力包含水平反力FAx、垂直反力FAy和约束力偶MA(见图 5.9(d))。水坝的下端支座(见图5.6)、三爪卡盘等都可简化为固定端。
材料力学5 弯曲内力
内力
2—2 2P -Pa
Q M
1. 横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或 右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。 右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。 剪力值= 截面左侧（或右侧） 剪力值 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和 弯矩值= 截面左侧（或右侧） 弯矩值 截面左侧（或右侧）所有外力对该截 面形心的力矩代数和 15
ql (1)求支反力 解：(1)求支反力 V A = V B = 2
(2)列剪力方程和弯矩方程 (2)列剪力方程和弯矩方程 q M(x) Q( x ) = V − qx = ql − qx A A VA x
2 2 x qlx qx Q(x) M ( x ) = V A x − qx × = − 2 2 2
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
P
(4)
讨论
由剪力图可见， 由剪力图可见，在梁上 的集中力( 的集中力(包括集中荷载和约 束力)作用处剪力图有突变， 束力)作用处剪力图有突变， 这是由于集中力实际上是将 这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度∆ 作用在梁上很短长度∆x范围 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在∆ 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在∆x范围内是 均匀的( a),则剪力图在∆ 均匀的(图a),则剪力图在∆x范围内是连续变化的斜直线 则剪力图在 (图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的 b)。从而也就可知， 剪力值是没有意义的。 剪力值是没有意义的。
对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合， 对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合， 5 平面弯曲。 因而一定是平面弯曲 因而一定是平面弯曲。
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
材料力学第五章
FS FS (x) M M (x) 上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程，为了形象地描述剪力、弯矩 沿梁轴线的变化，常将剪力、弯矩方程用图线表示。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图。
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
材料力学：第五章 弯曲内力
回顾: 剪力、弯矩的计算步骤（截断法,静力平衡方程 ）
(1) 分析整个梁静力平衡, 求约束处支反力 (2) 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
(3) 画受力图(三种力: 约束力、外载荷、内力)，FS 与 M 宜均设为正 (4) 列静力平衡方程，
剪力与弯矩图
剪力图与弯矩图:表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的图线
回顾:
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
回顾:
剪力、弯矩的正方向记忆 2
回顾:
剪力、弯矩的正负符号规定
剪力
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
弯矩
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶 部受压的弯 矩为正
剪力、弯矩计算方法 1：平衡方程法
由截断梁的静力平衡方程求内力 对截断梁列出外力、内力平衡方程
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
固定端
支反力 FRx , FRy与矩 为 M 的支反力偶
强度校核的前提：
剪力与弯矩计算 应力计算
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
剪力、弯矩的正方向记忆 2
剪力、弯矩的正负符号规定
3. 剪力FS 图: 水平直线 4. 弯矩M 图: 斜线
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5-15 .....................................................................................................................................................14
5-10 .......................................................................................................................................................9
5-8 .........................................................................................................................................................4
(也可用左侧题号书签直接查找题目与解)
5-3 试证明，在集中力 F 作用处（图 a），梁微段的内力满足下列关系：
FS右－FS左 = F , M 右 = M 左 而在矩为 Me 的集中力偶作用处（图 b），则恒有
FS右 = FS左 , M 右 − M 左 = M e
证明：根据题图 a，由
题 5-3 图
解：根据题图中所给的 FS 图和 M 图，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的
外力图，示如图 5-5a 和 b。
2
图 5-5
5-7 图示外伸梁，承受均布载荷 q 作用。试问当 a 为何值时梁的最大弯矩值（即| M |
max）最小。
题 5-7 图
解：1.求支反力 由对称性可知，二支座的支反力相等（见图 5-7a），其值为
5-9 .........................................................................................................................................................5
第五章 弯曲内力
题号
页码
5-3 .........................................................................................................................................................1
)
+
qdx(
dx 2
)
−
FS左
dx
−
M
左
=
0
保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得
M右 = M左
(b)
足标 C 系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。
根据题图 b，由
略去微量 qdx 后，得
∑ Fy = 0，FS左 + qdx − FS右 = 0
FS右 = FS左
(c)
仍据题图 b，由
∑MC
= 0，M 右
5-14 .....................................................................................................................................................13
5-5 .........................................................................................................................................................2
5-7 .........................................................................................................................................................3
∑ Fy = 0，FS左 + F + qdx − FS右 = 0
保留有限量，略去微量 qdx 后，得
FS右 − FS左 = F 为了更一般地反映 F 作用处剪力的突变情况（把向下的 F 也包括在内），可将上式改写为
FS右 − FS左 = F
(a)
1
仍据题图 a，由
∑MC
= 0，M 右
−
F
(
dx 2
− Me
−
qdx(
dx 2
)
−
FS左
dx
−
M
左
=0
保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得
M右 −M左 = Me
为了更一般地反映 M e 作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的 M e 也包括在内），可将上式改写
为
M右 −M左 = Me
(d)
5-5 已知梁的剪力、弯矩图如图所示，试画梁的外力图。
题 5-5 图
5-13 .....................................................................................................................................................11
5-11 .....................................................................................................................................................10
FCy
=
FDy
=
ql 2
(↑)
图 5-7 2．画弯矩图 根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图 b 所示。 3．确定 a 值
由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值、 C与D 处弯矩的绝对值相等时，梁的最
大弯矩值才可能最小，由此得 解此方程，得
1