7第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
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一阶电路和二阶电路的时域分析.
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0 0
t =0+时刻
0 0
i ( )d
i
q(0 ) q(0 ) i ( )d
+ uC -
C
当i(t)为有限值时
uC (0+) = uC (0-)
q (0+) = q (0-)
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷） 换路前后保持不变。在换路瞬间，可将其视为一个电压源。
duC RC uC 0 dt
i R
pt
C
+ uC –
+ uR –
uC (0+)=U0
uC Ae
p 1 RC
特征方程
RCp+1=0
特征根
t RC
uC U 0e
t0
uC U 0e
t RC
t0
t RC
U0 uC
t RC
uC U 0 i e R R
I 0e
f (0 ) f ( ) A
t
A f (0 ) f ( )
t
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )]e
3 U0 e -3 0.05U0
5 U0 e -5 0.007U0
U0 0.368U0
工程上认为，经过3 - 5，过渡过程结束。 能量关系： uC(0+)=U0
1 2 电容放出能量： CU 0 2
t 1 2 U 0 RC 2 CU ( e ) Rdt 0 2 R
电阻吸收能量：WR i 2 Rdt 0
三、动态电路过渡过程的分析方法 时域分析法：经典法、状态变量法 经典法：求解描述电路的线性常微分方程 得到电路所求变量（电流或电压），采用 经典法时，必须根据电路的初始条件确定
0 0
t =0+时刻
0 0
i ( )d
i
q(0 ) q(0 ) i ( )d
+ uC -
C
当i(t)为有限值时
uC (0+) = uC (0-)
q (0+) = q (0-)
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷） 换路前后保持不变。在换路瞬间，可将其视为一个电压源。
duC RC uC 0 dt
i R
pt
C
+ uC –
+ uR –
uC (0+)=U0
uC Ae
p 1 RC
特征方程
RCp+1=0
特征根
t RC
uC U 0e
t0
uC U 0e
t RC
t0
t RC
U0 uC
t RC
uC U 0 i e R R
I 0e
f (0 ) f ( ) A
t
A f (0 ) f ( )
t
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )]e
3 U0 e -3 0.05U0
5 U0 e -5 0.007U0
U0 0.368U0
工程上认为，经过3 - 5，过渡过程结束。 能量关系： uC(0+)=U0
1 2 电容放出能量： CU 0 2
t 1 2 U 0 RC 2 CU ( e ) Rdt 0 2 R
电阻吸收能量：WR i 2 Rdt 0
三、动态电路过渡过程的分析方法 时域分析法：经典法、状态变量法 经典法：求解描述电路的线性常微分方程 得到电路所求变量（电流或电压），采用 经典法时，必须根据电路的初始条件确定
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt
+
+ uR -
US
C
-
2020年10月17日星期六
接通电源，C 被充电，C 两
端的电压逐渐增长到稳态
+
uC -
值Us ，即要经历一段时间。 电路中的过渡过程虽然短
暂，在实践中却很重要。
5
一、动态电路的基本概念
➢ 含有动态元件(L、C)的电路称为动态电路。描 述动态电路的方程是微分方程。
➢ 全部由线性非时变元件构成的动态电路，其描 述方程是线性常系数微分方程。
*§7―9 卷积积分
*§7―10 状态方程
*§7―11 动态电路时域分析中的几个问题
2020年10月17日星期六
1
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
内容提要与基本要求
1.换路定则和电路初始值的求法；
2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应 的概念和物理意义；
3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；
能量的储存和释放需要 一定的时间来完成。
2020年10月17日星期六
8
2. 换路定则
t
线性电容C的电荷 q(t) = q(t0) + iC (x) dx
t0
以t = t0 = 0作为换路的计时起点：换路前最终时 刻记为t = 0-，换路后最初时刻记为t = 0+。
0+
在换路前后： q(0+) = q(0-) + iC(x) dx
2020年10月17日星期六
10
三、初始值的计算
求图示电路在开关 闭合瞬间各支路电
i
流和电感电压。
解： 1. 由换路前的“旧电路” 计算uC(0-)和iL(0-) 。
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
1 阶跃响应法： 2 等效初值法：
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
第7章_一阶电路和二阶电路的时域分析
17
②测量方法： a.对任意时刻而言，
t 0 t 0
uC (t0 ) = U 0 e
b.次切距长：
AB BC = tan
= U0e
e 1 = 0.368 uC (t0 )
t 0
U0
uC
uC ( t 0 )
A
uC ( t 0 ) U 0e = = = t 0 1 duC U 0e dt t =t0
uC (t ) 4e 0.5t = = e 0.5t A ③求i(t)：i (t ) = 4 4
(t 0)
19
习题： 7-2、7-4、7-5。
20
三、RL电路的零输入响应：
求i(t)，uR(t)， uL(t)，(t≧0) 1、物理过程：
U0 i (0 ) = i (0 ) = R0
R
t=0 + iL uL L -
解: 根据换路定则：
i L 不能突变
i L (0 ) = i L (0 ) = 0 A
+ *** t =0K 时的等效电路： R
换路后的电压方程 :
+ U -
t=0
+ + iL uL (0+) uL L L - - iL(0+)
U = iL (0+ ) R + u L (0+ )
uC (0+ ) = uC (0－ ) = U 0
uC (0+ ) → 0
U0 i (0 + ) = → 0 为放电过程。 R
13
2、数学分析： ①列微分方程：由KVL， +u U0 _ C
C
S
t=0
②测量方法： a.对任意时刻而言，
t 0 t 0
uC (t0 ) = U 0 e
b.次切距长：
AB BC = tan
= U0e
e 1 = 0.368 uC (t0 )
t 0
U0
uC
uC ( t 0 )
A
uC ( t 0 ) U 0e = = = t 0 1 duC U 0e dt t =t0
uC (t ) 4e 0.5t = = e 0.5t A ③求i(t)：i (t ) = 4 4
(t 0)
19
习题： 7-2、7-4、7-5。
20
三、RL电路的零输入响应：
求i(t)，uR(t)， uL(t)，(t≧0) 1、物理过程：
U0 i (0 ) = i (0 ) = R0
R
t=0 + iL uL L -
解: 根据换路定则：
i L 不能突变
i L (0 ) = i L (0 ) = 0 A
+ *** t =0K 时的等效电路： R
换路后的电压方程 :
+ U -
t=0
+ + iL uL (0+) uL L L - - iL(0+)
U = iL (0+ ) R + u L (0+ )
uC (0+ ) = uC (0－ ) = U 0
uC (0+ ) → 0
U0 i (0 + ) = → 0 为放电过程。 R
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2、数学分析： ①列微分方程：由KVL， +u U0 _ C
C
S
t=0
电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析.
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析 7.1 动态电路的方程及其初始条件
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
0
ic(t)
c
2 3
0.0184u t (s) 0 4
t RC
uc(0)= u0 2 3 4
t RC
RR u
t
(s)
du C t d u0 e C iC t C dt dt
u0 e R
2.时间常数
uc不能跃变， 结论: ic可以跃变。
解得 :
R 0 L
A I0
I0
iL(t)
iL t I 0e
R t L
t 0
0
R R t t diL t d L L u L t L L I e RI e 0 0 dt dt
2 3 4
t
(s)
t0
t 0 =RC
t0
f(0)
f(t) t
iL t iL 0e
=LG
0
4
(s)
C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。
D.时间常数的求法:
在换路后(即 t 0 )的电路中求。 R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
(３) 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。
六.电感的伏安关系
1 . 电感中的电压 现象: a .开关合上： us + _ b .开关打开： us +
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历 一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过 程称为电路的过渡过程。 过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
0
ic(t)
c
2 3
0.0184u t (s) 0 4
t RC
uc(0)= u0 2 3 4
t RC
RR u
t
(s)
du C t d u0 e C iC t C dt dt
u0 e R
2.时间常数
uc不能跃变， 结论: ic可以跃变。
解得 :
R 0 L
A I0
I0
iL(t)
iL t I 0e
R t L
t 0
0
R R t t diL t d L L u L t L L I e RI e 0 0 dt dt
2 3 4
t
(s)
t0
t 0 =RC
t0
f(0)
f(t) t
iL t iL 0e
=LG
0
4
(s)
C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。
D.时间常数的求法:
在换路后(即 t 0 )的电路中求。 R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
(３) 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。
六.电感的伏安关系
1 . 电感中的电压 现象: a .开关合上： us + _ b .开关打开： us +
电路第七章
U s uC (0 ) 12 12 (3) i1 (0 ) 0 R1 4
i2 (0 )
uC (0 ) 12 1.5 A R2 8
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 1.5 A
例5： 图示电路，t=0时S由1扳向2， t ＜ 0 时电路稳定。求初始值 i1(0+) 、 i2(0+)和uL(0+)。 Us 9 3A 解：(1) t＜0时：i L (0 ) R1 3 (2) 0+等效电路。根据换路定律：
方程通解：uC (t ) A e A e
pt
t RC
uC ( t ) U 0 e
t RC
带入初始条件： A U 0
t RC
(t 0)
duC U 0 i C e dt R
( t 0)
4、参量图形分析t
uC (t)和i(t)从初始值按指数规律衰减 电容充放电分析： 1、t＜0时充电，稳定后，uC=U0 。
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分 析
7.1 动态电路的方程及其初始条件
7.2
7.3 7.4 7.5 7.7
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 二阶电路的零输入响应 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
例
电阻电路
i
+ i
（t = 0） R1 R2 0
i U S / R2
t 过渡期为零
us
i U S ( R1 R2 )
-
返 回
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i2 (0 )
uC (0 ) 12 1.5 A R2 8
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 1.5 A
例5： 图示电路，t=0时S由1扳向2， t ＜ 0 时电路稳定。求初始值 i1(0+) 、 i2(0+)和uL(0+)。 Us 9 3A 解：(1) t＜0时：i L (0 ) R1 3 (2) 0+等效电路。根据换路定律：
方程通解：uC (t ) A e A e
pt
t RC
uC ( t ) U 0 e
t RC
带入初始条件： A U 0
t RC
(t 0)
duC U 0 i C e dt R
( t 0)
4、参量图形分析t
uC (t)和i(t)从初始值按指数规律衰减 电容充放电分析： 1、t＜0时充电，稳定后，uC=U0 。
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分 析
7.1 动态电路的方程及其初始条件
7.2
7.3 7.4 7.5 7.7
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 二阶电路的零输入响应 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
例
电阻电路
i
+ i
（t = 0） R1 R2 0
i U S / R2
t 过渡期为零
us
i U S ( R1 R2 )
-
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《电路分析》第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
4Ω
K(t=0) 1F + uC –
4Ω
+ 10V –
i
4Ω 1F + uC –
i
4Ω
K(t=0) C
i
+ R
uC
–
+
uR
–
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2. RL电路的零输入响应
R1
K(t=0)
i L
+
US
-
+ uL –
t >0 + uL – i L R
US iL (0 ) iL (0 ) I0 R1 di L Ri 0 t 0 R dt R Lp R 0 p R L t
0+时刻的值
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用经典法求解线性常微分方程时, 必须根据电路的初始条件 来确定解中的积分常数。
3.电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t=0时刻进行。 0－ ：换路前一瞬间 0+ ： 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
f (0 ) f (0 )
K(t=0) R
R
i
C
+
-
US
+u –
uC
–
+
已知 uC (0－) ；
t=0时K闭合。 求： uC(t) ， iC(t) （t≥0）
d uC RC uC U S dt
常系数一阶线性非齐次微分方程
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K(t=0)
+
-
R
R
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
t RC
第7章 一阶电路和二阶电路时域分析例题
电 感 用 2A 电 流 uL (0 ) 2 4 8V 源 注意 uL (0 ) uL (0 ) 替 代
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-
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
+ uL -
10 iL (0 ) 2A 1 4
例6 求 iC(0+) , uL(0+)
Uo
t RC
p 1 RC
t RC
代入初始条件得： k
uc (t ) U oe
明确
在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。
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②电容的初始条件
1 t uC (0 ) 0 i ( )d C 0 0 1 t = 0+ 时刻 u (0 ) u (0 ) i ( ) d C C C 0
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：
uC U 0 e
t RC
t0
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U 0 24 V RC 5 4 20 s
S
5F + uC －
i1 2 3 i3
i2 6
t 20
5F +
uC 4 －
i1
uc 24e V
t0
t 20
i1 uC 4 6 e A
wR 0 Ri dt 0 250 10 (80e ) dt 800 J
2 3 t 2
t
5800 5000 J
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例11 t=0时,打开开关S，求uv 。电压表量程：50V
S(t=0) + R=10 uV 10V V RV 10k –
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-
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
+ uL -
10 iL (0 ) 2A 1 4
例6 求 iC(0+) , uL(0+)
Uo
t RC
p 1 RC
t RC
代入初始条件得： k
uc (t ) U oe
明确
在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。
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②电容的初始条件
1 t uC (0 ) 0 i ( )d C 0 0 1 t = 0+ 时刻 u (0 ) u (0 ) i ( ) d C C C 0
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：
uC U 0 e
t RC
t0
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U 0 24 V RC 5 4 20 s
S
5F + uC －
i1 2 3 i3
i2 6
t 20
5F +
uC 4 －
i1
uc 24e V
t0
t 20
i1 uC 4 6 e A
wR 0 Ri dt 0 250 10 (80e ) dt 800 J
2 3 t 2
t
5800 5000 J
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例11 t=0时,打开开关S，求uv 。电压表量程：50V
S(t=0) + R=10 uV 10V V RV 10k –
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)
uC (0) U 0e0 U 0
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
第7章习题课 一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt
a. 换路后的电路
b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。
方向保持不变
替代定理
c.激励源用us(0+)与is(0+)的直流电源来替代。 4.由0+电路求所需各变量的0+值。
例 求图示电路在开关
闭合瞬间各支路电
i
流和电感电压。
解： 1. 由换路前的“旧电路”
计算uC(0)和iL(0) 。
C视为开路；
0.368U
0 1 2 3
t
越大，曲线变化越慢，uC达到稳态所需要的
时间越长。
2020年10月4日星期日
11
★ 时间常数
uC
U
(1e
t RC
)
U
(1
e
t
)
(t 0)
稳态分量
uC
+U 63.2%U
uC uC
o
t
2020年10月4日星期日
12
★ 时间常数
U uC
0.632U
1 2 3
O 12 3
再由
uLL
diL dt
求出uL。
得 uL 52e100t V
2020年10月4日星期日
17
例 电路原处于稳态，t0 时开关S闭合，求换路
e
t
iL 1.25.2e100t A
2020年10月4日星期日
4W 2 S
iL
i1
-1
+
4W
8V +
0.1H uL
+ 2i1
2W
4W 2 S
iL
i1
iu
+
4W
0.1H uL
+ 2i1
b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。
方向保持不变
替代定理
c.激励源用us(0+)与is(0+)的直流电源来替代。 4.由0+电路求所需各变量的0+值。
例 求图示电路在开关
闭合瞬间各支路电
i
流和电感电压。
解： 1. 由换路前的“旧电路”
计算uC(0)和iL(0) 。
C视为开路；
0.368U
0 1 2 3
t
越大，曲线变化越慢，uC达到稳态所需要的
时间越长。
2020年10月4日星期日
11
★ 时间常数
uC
U
(1e
t RC
)
U
(1
e
t
)
(t 0)
稳态分量
uC
+U 63.2%U
uC uC
o
t
2020年10月4日星期日
12
★ 时间常数
U uC
0.632U
1 2 3
O 12 3
再由
uLL
diL dt
求出uL。
得 uL 52e100t V
2020年10月4日星期日
17
例 电路原处于稳态，t0 时开关S闭合，求换路
e
t
iL 1.25.2e100t A
2020年10月4日星期日
4W 2 S
iL
i1
-1
+
4W
8V +
0.1H uL
+ 2i1
2W
4W 2 S
iL
i1
iu
+
4W
0.1H uL
+ 2i1
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
uc 的解答形式：
p1t p2t
uC A1e A2e
经常写为：
e
( t )
( A1e
jt
A2e
jt
)
uC Ae
t
sin( t )
0 t sin( t ) uuC AeU 0e t sin( t ) c
uC (0 ) U 0 A sin U 0 由初始条件 du (0 ) C 0 A( ) sin A cos 0 dt
代入初始条件
i L (0 ) 0
t
A I s
iL i i I S (1 e )
' L " L
7－4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时， 电路的响应称为全响应。 初始条件
u c ( 0 ) u c (0 ) U 0
当开关S闭合后，由KVL有
初始条件－－电路中的变量在换路后t=0+时 刻的值。
独立初始条件－－换路后的初始值由元件的 性质决定。 独立初始条件有：电容端电压uc(t)、电容电 荷qc(t)、电感电流iL(t)、电感磁链L(t)
1 t uc (t ) uc (t0 ) ic ( )d C t0
1 0 uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d C 0
U0 A sin
， arctg
ω0 δ
ω
sin 0
0 A U0
ω，ω０，δ的
关系
0 t uC U 0e sin( t )
0 uC 是振幅以 U 0为包线依指数衰减的正 弦函数。
p1t p2t
uC A1e A2e
经常写为：
e
( t )
( A1e
jt
A2e
jt
)
uC Ae
t
sin( t )
0 t sin( t ) uuC AeU 0e t sin( t ) c
uC (0 ) U 0 A sin U 0 由初始条件 du (0 ) C 0 A( ) sin A cos 0 dt
代入初始条件
i L (0 ) 0
t
A I s
iL i i I S (1 e )
' L " L
7－4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时， 电路的响应称为全响应。 初始条件
u c ( 0 ) u c (0 ) U 0
当开关S闭合后，由KVL有
初始条件－－电路中的变量在换路后t=0+时 刻的值。
独立初始条件－－换路后的初始值由元件的 性质决定。 独立初始条件有：电容端电压uc(t)、电容电 荷qc(t)、电感电流iL(t)、电感磁链L(t)
1 t uc (t ) uc (t0 ) ic ( )d C t0
1 0 uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d C 0
U0 A sin
， arctg
ω0 δ
ω
sin 0
0 A U0
ω，ω０，δ的
关系
0 t uC U 0e sin( t )
0 uC 是振幅以 U 0为包线依指数衰减的正 弦函数。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析PPT课件
U 63.2%U
uC
u
' C
o -36.8%U
u
" C
t
-U
§7-3 一阶电路的零状态响应
uRR iUet
稳态分量(强制分量)：电 路到达稳定状态时的电压， 其变化规律和大小都与电 源电压U有关。 瞬态分量(自由分量)：仅 存在于暂态过程中，其变 化规律与电源电压U无关， 但其大小与U有关。
§7-3 一阶电路的零状态响应
讲课7学时，习题1学时。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一、动态电路的有关概念
⒈ 一阶(动态)电路 仅含一个动态元件，且无源元件都是线性和时不
变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。
⒉ 二阶(动态)电路 含两个动态元件的电路，其电路方程是二阶微分
方程。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
⒊ 过渡过程 当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件 §7-2 一阶电路的零输入响应 §7-3 一阶电路的零状态响应 §7-4 一阶电路的全响应 §7-5 二阶电路的零输入响应 §7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
§7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 §7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 *§7-9 卷积积分 *§7-10 状态方程 *§7-11 动态电路时域分析中的几个问题
dt
t=0
+
所以
eL
L
di dt
很大
+
U-
R uRL
eL可能使开关两触点之
L-
间的空气击穿而造成电弧以
1S
i
延缓电流的中断，开关触点
一阶电路和二阶电路的时域分析
0 I0 i
duc U 0 i (t ) C e R dt
若令:τ =RC, (τ 称为一阶RC电路的时间常数)
则RC一阶电路 的响应可写为:
uc ( t ) U 0 e i(t ) R
t
0
t
t U0 e
(t≥0+)
讨论： 1.时间常数 τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 uc τ大 过渡过程时间的长 U0 τ大 τ小 过渡过程时间的短 0 τ小 t 当电压初值一定：
A= - US
uc (t ) U s U s
t e RC
Us
t (1 e RC )
(t 0)
强制分量(稳态)
自由分量(暂态)
t RC
C i（ t）
US
0
duC US e dt R
（t≥0）
US R
uc
uC' uC"
t
i
i
t
-US
uc
0
能量关系 电源提供能量：
二.电路的过渡过程
1.过渡过程：电路由一个工作状态转变到另一个工作状态需 要经历的一个过程，这个过程称为过渡过程。
例如一个工作状态到另一个工作状态中的过渡过程：
2 （t=0）
i
+
Us
S
· 1
（1）S未动作前（一个工作状态）： C
R
uC
–
i = 0 , uC = 0
这中间有个过渡过程
i
Us R
+
uC
第七章 一阶电路和二阶电路 的时域分析
重点掌握:
•零输入响应、零状态响应、全响应 •稳态分量、暂态分量
第七章一阶电路和二阶电路
(2) 由换路定则得
1
K
4
L iL + uL
iL(0+)= iL(0-) =2A (3) 由0+电路求 uL(0+)：
10V
1 4
+
L(0-)
解：
(1)
1
由0-电路i
4 2A
10V
u L (0 ) 0 u L (0 ) 0
2A
uL -
10V
+ uL -
?
12
i L (0 )
10 1 4
2A
uL ( 0 ) 2 4 8V
求初始值的步骤:
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
1. 由换路前电路（一般为稳定状态），求 uC(0-) 和 iL(0-)。 2. 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等值电路。 a.换路后的电路。 b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。
3
过渡过程产生的原因：
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时 能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的 时间来完成。
动态电路
包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路 为动态电路。
研究动态电路的过渡过程具有实际意义。
利用它 提防它
如电子技术中用它来产生各种波形。 在暂态过程瞬间可能出现很高的电压、很 大的电流，使仪器设备损坏。
8
电容上的电荷和电压不发生跃变！
2.电感的磁链和电流
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
t ψ L (t) ψ L (t 0 ) t0 uL (ξ ） dξ 1 t i L (t) i L (t 0 ) t0 uL (ξ ） dξ L
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• 定义: τ=RC （其中R为等效电阻） uC U0et ★ t=τ时，uC=0.368U0
• τ仅取决于电路的结构和元件的参数，单位“秒s”。
•τ对响应的影响：
τ 越大，放电过程越长。通常认为经过3τ—5τ后过
渡过程结束。
•τ的图解 (次切距法)
t0
BC AB uC(t0)
tan
duC dt
uR uC
i CduC US et（t≥0） 其中τ=RC
dt R
2020/8/10
对 uCU SU Set U S(1et) 的说明
• 特解 uC US称t 为稳态分量或强制分量；
• 通解 uC USe 称为瞬态分量或自由分量。
2.参数曲线
US
uC '
3.能量转换
U―S R
uC i
WR=WC=½CUS2
A Im
i" Imet
iIm sin t(u)Im e t
u = -/2时波形为
iImsi nt(/2)Im et
可见，RL串联电路
i
与正弦电压接通后，
Im
i
在初始值一定得条
i 件下，电路的过渡
0
T/2
-Im
t 过程与开关动作的 时刻有关。
i
最大电流出现在 t = T/2时刻。 imax2Im
解：
iL(0)
US R
200A
K
R
+
iL
V uV
Us iV
L
iL(0)iL(0)200A
u V ( 0 ) R V i V ( 0 ) 2 0 0 5 k 1 0 6 V
2020/8/10
§7-2 一阶电路的零输入响应 一、零输入响应
当uC(0+)、iL(0+)不为零且电路中 无独立源外施激励时，电路中的响 应称为零输入响应。
一、零状态响应
当uC(0+)、iL(0+)为零，电路中由 独立源外施激励引起的响应称为零 状态响应。
2020/8/10
二、RC电路在直流激励下的零状态响应
1. 求解 t≥0 时的电路(充电)
S(t=0)
KVL：
又 uR
uC+uR=US
Ri i
C
duC dt
i R
u 可 C解 uC 得U SR U C dS deC utt U U S(St(1 0)et)（★t≥0U）S C
iC C uC
＋ Us
－
R1 i1(0＋)
i2 (0＋) R2
iC (0＋) C uC(0＋)
(a)
(b)
解:选定有关参考方向如图所示。
(1) 由已知条件可知: uC(0-)=0。 (2) 由换路定则可知: uC(0+)=uC(0-)=0。
2020/8/10
S
＋ Us
－
R1
i1
R2 i2
iC C uC
Ae
t RC
由换路定则知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即
将A=U0代入， 得
t
uC U0e RC
2020/8/10
电流 iCdC uuRU0eRt C dt R R
2.uC、uR、i的时间曲线
u C uR、i U0
(t≥0+)
0.368U 0
0.135U 0
t
0
2
2020/8/10
3.时间常数τ
2.
过渡过程
稳态
稳态
暂态
➢上述电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路。
➢通常把换路前最终时刻记为t =0-，换路后的最初 时刻记为t =0+，换路经历的时间为0-到0+。
20பைடு நூலகம்0/8/10
补充：过渡过程
1、过渡过程：从一种 稳定状态转变到另一种 稳定状态的中间过程。 ＋ S
2、现象：合上S L1立即发亮 亮度不变 Us L2由暗—亮 最后定 L3由亮—暗 直到熄灭
－
外因 :电路状态的改变 内因: 有储能元件
L1
L2
L3
R
L
C
过渡过程演示电路图
2020/8/10
2.换路定律定义
• 换路前后电容电流和电感电压为有限值 时，换路前后电容电压和电感电流不能 跃变。
即： uc(0+)=uc(0-) iL(0+)=iL(0-)
能量不能跃变
•电路中其它量换路前后皆可跃变。
＋ Us
－
R1 i1(0＋)
i2 (0＋)
iC (0＋)
R2
C uC(0＋)
(a)
(b)
(3) 求其它各电流、电压的初始值。画出t=0+时刻的
等效电路, 如图（b）所示。由于uC(0+)=0, 所以在等
效电路中电容相当于短路。故有
i2 (0 )
uC (0 ) R2
0 R2
0,
i1(0
)
Us R1
12 4 103
源替代； iL(0+)—电流源替代； ③ 求出其它电量的初始值。
2020/8/10
例 :C=1μ图F,（开a关）S所原示来处电于路断中开, 状已态知,U电s=容12上V,电R压1=u4Ck(Ω0-,)=R0。2=8求kΩ开,
关S闭合后, t=0+时, 各电流及电容电压的数值。
S
＋ Us
－
R1
i1
R2 i2
i(0+)= iC (0+)+iL(0+)=6A
uL (0+)=US R3iL(0+)= 6V
i(0 + )
R1 iC(0 + ) Us uC(0+)
图 (c) R3
iL (0 + )
+ uL(0+)
2020/8/10
例：发动机励磁线圈：L=0.4H，R=0.2Ω，直流电压 US=40V， 伏特表量程 50V，内阻 RV=5kΩ，开关闭合已久达稳态， 求开关 K 断开瞬时伏特表电压？
S(t=0)
i
U0
i
t ≥0
R uR
R0
uL L
L uL
R uR
2020/8/10
1.求解t ≥0+时的电路
i
• 当t ≥0时 i(0+)=I0=U0/R • 由KVL得 uL+uR=0
uL
L R uR
• 又 uR=Ri
di uL L dt
di
Ri L 0(t0)
dt
解微分方程可得
Rt ★
i I0e L (t ≥0+)
i i' i" 自由分量(暂态分量)
t
i"
Ae
用相量法计算稳态解 i
R
I
Im
Um
R2 (L)2
+
-
U S
j L
arctgL
R
i' Im sitn u ()
2020/8/10
ii'i"Im si n t (u )A te
由 i( 0 ) 0 I m siu n ) ( A 定积分常数A
2020/8/10
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一、一阶电路 • 当线性时不变电路含一个电容或一个电感
时，电路方程是一阶线性微分方程，对应 的电路称为一阶电阻电容电路（RC电路） 或一阶电阻电感电路（RL电路）。 • 这种电路是一阶动态电路。
2020/8/10
二、换路定律
1. 过渡过程：电路由一个工作状态转变为 另一个工作状态，其间所经过的过程称 为过渡过程。
O
t
➢充电效率50%
uC"
2020/8/10
―US
三、RL电路在直流激励下的零状态响应
1. 求解 t≥0 时的电路
KCL: IS=IR+IL
iLR LddLitIS(t0)
IS
iR
R
S(t=0)
iL uL L
可解得
iLISISe t IS(1e t)t(0 )★
其中
2020/8/10
L
R
2.参数曲线
IS
3.能量转换
WL=WR=½LIS2
O
注：➢零状态响应是激励的
iL"
线性函数： 可加性：
―IS
f1(t)y(1)，f2(t)y(2)， 则 f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2) 齐次性：
kf1(t)y(3)=ky(1)
2020/8/10
i L' iL
t
四、正弦电源激励下的零状态响应（以RL电路为例）
解：uc(0) 10 44V 244
uc(0) uc(0) 4V
换路后电路如右图：
R ' R1R 2 2欧 R1 R 2
R 'c 2 1 2S
uc
uc (0 )e t
4 e V 0.5t (t
0)
i uc e 0.5t A(t 0) 4 2020/8/10
三、RL电路的零输入响应
2020/8/10
2.时间常数τ L GL R
单位”秒S”
即:
i
t
I0e
★
t
RIO
IO i uR
u R RI 0 e
O
t
t
uL
u L RI 0 e ―RIO
3.参数曲线
4. 能量转换：L磁场能→R热能
2020/8/10
注：➢ 零输入响应是初始值的线性函数， 满足：