一阶电路和二阶电路的时域分析
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第 7 章 一阶电路和二阶电路的时域分析
教研室：基础教研室
教师姓名：
课程名称
电路（一）
授课专业及班次
电气工程及其自动化
换路定律，初始值的求法，由换 路后的电路求时间常数。经典法 求零输入响应、零状态响应和全
授课内容 响应。一阶电路的三要素法，阶
跃函数和阶跃响应，冲激函数和 冲激响应。经典法求二阶电路零 输入响应。
零状态响应：零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
始条件求得。
5.确定初始值的方法
(1) 由t＜0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 求出独立初始条件；
(3) 把电容用 uS uC (0 ) 的电压源代替，把电感用 iS iL (0 ) 电流源代替；画出 0+等效电路；
(4) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。 例7-1 见教材p139例7-1
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路。
3.换路和过渡过程：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件
的断开或接入，信号的突然注入等），称为换路，换路可能使电路改变原来的工作状态，
而转变到另一个工作状态，这种转变需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。 t 0 ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 0 ； t 0 ：换路前的最终时刻； t 0 ：换路后的最初时刻；
④ RC ，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制；
⑤ 能量转换过程：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最后，原来储存在电
容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。
二、RL 电路的零输入响应
一阶RL电路如图(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路， 流过L的电流为I0。即iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t≥0时， 电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图(b)所示。由于t>0 后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。
二、电路的初始条件
1.电容的电荷和电压
qC (t) qC (t0 )
t t0 iC ( )d
uC
(t)
uC
ห้องสมุดไป่ตู้(t0
)
1 C
t t0 iC ( )d
取 t0 0, t 0 , 则
qC (0 ) qC (0 )
0 0
iC
(
)d
uC
(0
)
uC
(0
)
1 c
0 0
iC
(
)d
若 iC有限 ， 则
§7-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。
一、 RC 电路的零输入响应
电路的微分方程为
RC
duC dt
uC
0
t0
uC (0 ) uC (0 ) U0
i(t) C duC
U0
t
e RC
dt R
t0
这里，特征方程 RCs + 1 = 0，特征根 s 1 ，时间常数 RC 。 RC
由 L ，L 越小，或 R 越大，则电流、电压衰减越快。 R
① 零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状
态和电路的特性；
② 零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电源，原有的贮能总
是要逐渐衰减到零的；
例题 见教材 p144 7-2 至 7-3
§7-3 一阶电路的零状态响应
①
，换路时， i(0 ) 0 ，但
i(0 )
U 0 ，电流发生跃变； R
② 时间常数 越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢；
t 0 时， uC (0) U0e0 U0 ；
t 时, uC ( ) U 0e1 0.368 U 0 。
过渡过程的结束，理论上
； 工程上 t (3 5) 。
4.经典法（时域分析法）：根据 KCL，KVL 和 VCR 建立描述电路的以时间为自
变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方
法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件： uC (0 ) 和 iL (0 ) ，其余称为非独立初始条件。
授课方式及学时
讲授、讨论，12 学时
目的要求
熟练掌握一阶电路的经典法和三要素法。掌握二阶电路的经典法。了解一阶电路
的阶跃响应和冲激响应。
重点与难点 重点：一阶电路的经典法和三要素法，二阶电路的经典法。
难点：用戴维宁定理求一阶电路。求含受控源电路时间常数。
讲授内容 及
时间分配
（1）换路定律，初始值的求法。（2 学时） （2）经典法求零输入响应、零状态响应。（2 学时） （3） 全响应、一阶电路的三要素法。（2 学时） （4）阶跃函数和阶跃响应，冲激函数和冲激响应。（2 学时） （5）经典法求二阶电路零输入响应。（2 学时） （6） 习题讲解（2 学时）
u
L
(
)d
iL
(0
)
iL
(0
)
1 L
0 0
u
L
(
)d
若 uL （有限）， 则
0 0
u
L
(
)d
0
,
且
iLL((00))
L (0 ) iL (0 )
3.换路定则 uC (0 ) uC (0 ) 和 iL (0 ) iL (0 )
4.非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、电感电压）需要通过已知的初
教 具 黑板、粉笔
参考资料
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一、动态电路的方程
1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。 2.动态电路的方程：电路中有储能元件（电容或电感）时，根据 KCL、KVL 和
VCR 所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程，方程的阶 数取决于电路结构和动态元件个数。
由KVL得 根据换路定律，得初始条件为
uL uR 0
uL
L
diL dt
, uR
RiL
dditLRLiL0
tR
tR
iL iL (0 )e L I0e L t 0
令τ=L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常数。这样，上式可表示为
t
t
iL iL (0 )e I0e t 0
i0
0 C
( )d
0 ，且
qC (0 ) qC (0 ) uC (0 ) uC (0 )
2.电感的磁链和电流
L (t) L (t0 )
t t0 uL ( )d
iL
(t)
iL
(t0
)
1 L
t t0 uL ( )d
取 t0 0 , t 0 ，则
L (0 ) L (0 )
0 0
教研室：基础教研室
教师姓名：
课程名称
电路（一）
授课专业及班次
电气工程及其自动化
换路定律，初始值的求法，由换 路后的电路求时间常数。经典法 求零输入响应、零状态响应和全
授课内容 响应。一阶电路的三要素法，阶
跃函数和阶跃响应，冲激函数和 冲激响应。经典法求二阶电路零 输入响应。
零状态响应：零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
始条件求得。
5.确定初始值的方法
(1) 由t＜0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 求出独立初始条件；
(3) 把电容用 uS uC (0 ) 的电压源代替，把电感用 iS iL (0 ) 电流源代替；画出 0+等效电路；
(4) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。 例7-1 见教材p139例7-1
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路。
3.换路和过渡过程：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件
的断开或接入，信号的突然注入等），称为换路，换路可能使电路改变原来的工作状态，
而转变到另一个工作状态，这种转变需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。 t 0 ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 0 ； t 0 ：换路前的最终时刻； t 0 ：换路后的最初时刻；
④ RC ，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制；
⑤ 能量转换过程：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最后，原来储存在电
容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。
二、RL 电路的零输入响应
一阶RL电路如图(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路， 流过L的电流为I0。即iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t≥0时， 电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图(b)所示。由于t>0 后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。
二、电路的初始条件
1.电容的电荷和电压
qC (t) qC (t0 )
t t0 iC ( )d
uC
(t)
uC
ห้องสมุดไป่ตู้(t0
)
1 C
t t0 iC ( )d
取 t0 0, t 0 , 则
qC (0 ) qC (0 )
0 0
iC
(
)d
uC
(0
)
uC
(0
)
1 c
0 0
iC
(
)d
若 iC有限 ， 则
§7-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。
一、 RC 电路的零输入响应
电路的微分方程为
RC
duC dt
uC
0
t0
uC (0 ) uC (0 ) U0
i(t) C duC
U0
t
e RC
dt R
t0
这里，特征方程 RCs + 1 = 0，特征根 s 1 ，时间常数 RC 。 RC
由 L ，L 越小，或 R 越大，则电流、电压衰减越快。 R
① 零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状
态和电路的特性；
② 零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电源，原有的贮能总
是要逐渐衰减到零的；
例题 见教材 p144 7-2 至 7-3
§7-3 一阶电路的零状态响应
①
，换路时， i(0 ) 0 ，但
i(0 )
U 0 ，电流发生跃变； R
② 时间常数 越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢；
t 0 时， uC (0) U0e0 U0 ；
t 时, uC ( ) U 0e1 0.368 U 0 。
过渡过程的结束，理论上
； 工程上 t (3 5) 。
4.经典法（时域分析法）：根据 KCL，KVL 和 VCR 建立描述电路的以时间为自
变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方
法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件： uC (0 ) 和 iL (0 ) ，其余称为非独立初始条件。
授课方式及学时
讲授、讨论，12 学时
目的要求
熟练掌握一阶电路的经典法和三要素法。掌握二阶电路的经典法。了解一阶电路
的阶跃响应和冲激响应。
重点与难点 重点：一阶电路的经典法和三要素法，二阶电路的经典法。
难点：用戴维宁定理求一阶电路。求含受控源电路时间常数。
讲授内容 及
时间分配
（1）换路定律，初始值的求法。（2 学时） （2）经典法求零输入响应、零状态响应。（2 学时） （3） 全响应、一阶电路的三要素法。（2 学时） （4）阶跃函数和阶跃响应，冲激函数和冲激响应。（2 学时） （5）经典法求二阶电路零输入响应。（2 学时） （6） 习题讲解（2 学时）
u
L
(
)d
iL
(0
)
iL
(0
)
1 L
0 0
u
L
(
)d
若 uL （有限）， 则
0 0
u
L
(
)d
0
,
且
iLL((00))
L (0 ) iL (0 )
3.换路定则 uC (0 ) uC (0 ) 和 iL (0 ) iL (0 )
4.非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、电感电压）需要通过已知的初
教 具 黑板、粉笔
参考资料
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一、动态电路的方程
1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。 2.动态电路的方程：电路中有储能元件（电容或电感）时，根据 KCL、KVL 和
VCR 所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程，方程的阶 数取决于电路结构和动态元件个数。
由KVL得 根据换路定律，得初始条件为
uL uR 0
uL
L
diL dt
, uR
RiL
dditLRLiL0
tR
tR
iL iL (0 )e L I0e L t 0
令τ=L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常数。这样，上式可表示为
t
t
iL iL (0 )e I0e t 0
i0
0 C
( )d
0 ，且
qC (0 ) qC (0 ) uC (0 ) uC (0 )
2.电感的磁链和电流
L (t) L (t0 )
t t0 uL ( )d
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)
1 L
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取 t0 0 , t 0 ，则
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