天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学试题
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
天津市南开中学2021届高三数学上学期第三次月考试题含解析
天津市南开中学2021届高三数学上学期第三次月考试题（含解析）一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{|||2}A x x =<，集合{|31}B x x =-≤≤，则A B =（ ）A. {1,0,1}-B. (2,1]-C. [3,1]-D. [3,2]-————B 分析：根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因为{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，{|31}B x x =-≤≤， (2,1]AB -∴=，故选：B ．2. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（ ） A. y ＝12x B. y ＝2x - C. y ＝12log xD. y ＝1x————A 分析：画出每个函数图象，即得解.解答：y ＝12x ＝x ，y ＝2x -＝1()2x ，y ＝12log x ，y ＝1x，它们的图象如图所示:由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增． 故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3. 函数sin 31cos xy x=+，(,)x ππ∈-图象大致为（ ）A. B. C. D.————D 分析：根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.解答：()()()sin 3sin 3,1cos 1cos x xf x f x f x x x=-=-=-++，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A 选项.由πsinπ20π631cos 16f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭++排除B 选项.由5πsin5π205π631cos16f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭+-，排除C 选项，故本小题选D.点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题. 4. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的前5项之和为（ ） A. 23- B. 25-C. 43-D. 45-————D 分析：首先根据题意得到2326()a a a =，解得6d =-，再计算5S 即可. 解答：根据题意，2a ，3a ，6a 成等比数列，即2326()a a a =， 则有2(32)(3)(35)d d d +=++，解可得6d =-或0d =（舍)， 则{}n a 的前5项之和51545(6)452S a ⨯=+⨯-=-. 故选：D点拨：本题主要考查等差数列的前n 项和，同时考查了等比中项，属于简单题. 5. 设3log 52a =，5log 23b =，2log 35c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<————B 分析：分别判断31log 52<<，21log 32<<和51log 22<，再代入计算，可得b a c <<. 解答：因为31log 52<<，所以3log 512222a <=<；又因为21log 32<<，所以2log 312555c <=<；又551log 2log 2<=51log 2233b =<=b a c <<. 故选：B.点拨：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确；当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．6. 椭圆221162x y m m +=--的焦距为4，则m 的值为（ ）A. 1B. 7C. 1或17D. 7或11————D 分析：对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值.解答：在椭圆221162x y m m +=--中，由已知可得24c =，解得2c =.若椭圆的焦点在x 轴上，可得()()2160201624m m m m c ⎧->⎪->⎨⎪---==⎩，解得7m =；若椭圆的焦点在y 轴上，可得()()2160202164m m m m c ⎧->⎪->⎨⎪---==⎩，解得11m =.因此，7m =或11. 故选：D.7. 以下命题正确的是（ ）A. 命题“任意0x >，sin x x >”的否定为“存在0x ≤，sin x x ≤”B. 设等比数列的前n 项和为n S ，则“10n n S S +<”是“公比0q <”的充要条件C. 若对于任意实数λ，有λ≠a b ，则向量a ，b 不共线D. “直线30kx y ++=与2(1)60x k y +++=平行”是直线(1)230k x y -++=与(1)60kx k y +-+=垂直”充分非必要条件————D 分析：根据全称命题的否定为特称命题判断A 选项；举反例判断B 选项；若对于任意实数λ，非零向量,a b 满足λ≠a b ，则向量a ，b 不共线，C 错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k 的值，然后判断两命题之间的关系.解答：命题“任意0x >，sin x x >”的否定为“存在0x >，sin x x ≤”，A 错误；()211n n n n S S S q +=+，当10q =-<，n 为奇数时有10n n S S +=，B 错误；若0a ≠，b 为零向量，对于任意实数λ，有λ≠a b ，但,a b 共线，C 错误； 两直线平行则()12k k +=，解得2k =-或1，当1k =时两直线重合不满足条件，所以2k =-；由两直线垂直可得()()1210k k k -+-=，解得2k =-或1. 所以“直线30kx y ++=与2(1)60x k y +++=平行”是直线(1)230k x y -++=与(1)60kx k y +-+=垂直”的充分非必要条件，D 正确.故选：D8. 已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②点,03π⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心； ③把函数sin y x =的图像上所有点向左平移6π个单位长度，得到函数()y f x =的图像. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③————B 分析：本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线()y f x =的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确. 解答：①：函数()cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期221T ππ==，①正确； ②：πππ32xk ，即5ππ6x k k Z ，则曲线()y f x =的对称中心为5ππ,06k k Z ，点,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是曲线()y f x =的对称中心，②错误；③：函数sin y x =的图像上所有点向左平移6π个单位长度， 得到函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像， 因为sin sin cos 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确， 故选：B.点拨：关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数sin y x =向左平移ϕ个单位，得到()sin y x ϕ=+，然后横坐标缩小ω倍，得到()()sin sin y x x ωϕωωϕ=+=+⎡⎤⎣⎦，再然后向上平移B 个单位，可以得到sin ωωφy x B ，考查推理能力，是中档题.9. 已知函数3()()f x x a a a R x=--+∈，若方程()2f x =有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A. (1B. (1,1(1)-⋃+∞C. (,1-∞D. (,1(1-∞⋃————D 分析：先将()2f x =有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.解答：由()2f x =得32x a a x --+=，即32x a a x-+=+，设()h x x a a =-+，()3g x 2x=+,()h x x a a =-+的顶点()a,a 在直线y x =上，而y x =与()h x 的交点坐标为()2,2,()1,1--,联立232y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩,可得()2x 2230a x +-+=,由()222120a =-==，得a 1=结合函数()h x x a a =-+，()3g x 2x=+的图像可得，要使()2f x =有且只有三个不同的实数根，只需((),11a ∈-∞⋃+. 故选D.点拨：本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. i 是虚数单位，纯虚数z 满足(1i)2i z m -=+，则实数m 的值为________. ————2 分析：利用复数的除法运算将复数z 整理为a bi +的形式，再根据z 为纯虚数则实部为零求解m . 解答：()()()()()2i 122i 21i 1122m i m im m z i i ++++-===+--+ z 为纯虚数，202m -∴=，，解得2m =. 故答案为：211. 在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是________. ————60 分析：由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令630r -=，运算即可得解.解答：二项式622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为666136222r r r rr rr T C x C x x +--⎛⎫== ⎪⎝⎭，令630r -=，解得2r，所以222x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为2262=60C .故答案为：6012. 已知点(2,2)P -和圆C ：22(1)(2)16x y ++-=，则P 在圆C ________(填内､外或上)，以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为________________.———— (1). 外 (2). 22(2)(2)81x y -++= 分析：根据点P 距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径.解答：PC =，∴P 在圆C 外，设以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为222(2)(2),0x y r r -++=>，4PC r +=即49r ==，∴以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为22(2)(2)81x y -++=.故答案为：外；22(2)(2)81x y -++= 13. 已知向量a 和b 的夹角为60︒，13(,22a =，()2a ab ⋅+=，则a b +的值为________.分析：由已知求得1a =，又由()2+2a a b b a a ⋅⋅=+=，求得1a b ⋅=， 2b =，从而利用222+a b a a b b ⋅+=+，代入可求得答案．解答：因为13(,22a =，所以2112a ⎛⎫== ⎪，又()2+2a a b b a a ⋅⋅=+=，所以1a b ⋅=，又向量a 和b 的夹角为60︒，所以1cos 601b ⨯⨯=，得2b =，所以2221+2+a a b ba b +=+=⋅=14. 已知0a >，0b >，且22a b +=，则2121a b +++的最小值为________. ————43分析：利用换元法，设2x a =+，1y b =+，所以26x y +=，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．解答：设22x a =+>，11y b =+>，所以26x y +=．故212121a b x y+=+++ ()()1211414244246663yx x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当33,2x y ==时取等号，即11,2a b ==时取等号．故答案为：43． 点拨：本题解题关键是通过换元法设2x a =+，1y b =+，转化为常见基本不等式模型，在26x y +=的条件下求21x y+的最小值，从而顺利求解．15. 已知a ∈R .设函数1,11,()ln , 1.a ax x f x x a x x +--≤≤⎧=⎨->⎩若关于x 的不等式(())0f f x ≥恒成立，则a 的取值范围为________. ————22a e -≤≤ 分析：欲利用()f x 单调性求()f x 值域，确定将0a =，0a >，0a <分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合(())0f f x ≥恒成立的a 的取值范围. 解答：（1）当0a =时，1,11(),1x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，()f x 的值域为[)1,+∞，则(())0f f x ≥恒成立， 故0a =成立（2）当0a >时，1,11()ln ,1a ax x f x x a x x +--≤≤⎧=⎨->⎩当11x -≤≤，()1f x ax a =-++单调递减，故此时[]()1,21f x a ∈+. 当1x >时，()1a x a f x x x-'=-=，当x a >时，()f x 单调递增；当1x a <<时，()f x 单调递减①当01a <≤时，()f x 在1,上单调递增.此时()f x 的值域为[)1,+∞，(())0f f x ≥恒成立 ②当1a >时，()f x 在x a =时，()f x 取得最小值()min ()()ln 1ln f x f a a a a a a ==-=-当1a e <≤时，()0f a ≥，则(())0f f x ≥恒成立 当a e >时，()0f a <.此时若()1f x ax a a =-++=即1x a=时，(())0f f x <，此时不符合题意 故0a e ≤≤，(())0f f x ≥恒成立，（3）当0a <时，11x -≤≤时，()f x 为单调递增的一次函数，[]()12,1f x a ∈+.1≥x 时()10a x a f x x x-'=-=> ()f x 在[)1,-+∞上为增函数，值域为[)12,a ++∞ (())f f x 要有意义，则121a +≥-此时1a ≥-，()22min (())2112120f f x f a a a a a =+=+--=-≥.∴22a -≤≤,故02a -≤≤因此0a ≤≤，(())0f f x ≥恒成立综上所述，a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案：2a e -≤≤ 点拨：（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． （3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.三､解答题：本大题共5个小题，共75分.16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =5b =，c =（1）求角C 的大小； （2）求sin A 的值； （3）求sin(2)6A π+的值.————（1）30︒；（2；（3）1314.分析：（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用正弦定理求解即可.（3）首先计算cosA =，从而得到sin2A =，1cos27A =，再计算sin(2)6A π+的值即可.解答：（1）由余弦定理，得222cos2a b c C ab +-===， 又因为0180C <<，所以30C =︒. （2）由（1），有1sin 2C =，由正弦定理，得1sin 212sin 2377c A a c =⋅=⋅=. （3）解：由a b <，知A 为锐角，故232cos 1sin 177A A =-=-=， 进而3243sin22sin cos 2777A A A ==⋅⋅=，241cos22cos 12177A A =-=⋅-=， 所以4331113sin 2sin2cos cos2sin 666727214A A A πππ⎛⎫+=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭. 17. 如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，2SA AD CD ===，1AB =.（1）设点M 为棱SD 的中点，求证：//AM 平面SBC ； （2）求异面直线SD 和BC 所成角的余弦值；（3）棱SB 上是否存在点N ，使得平面ANC ⊥平面SBC ？若存在，求出AN 的长；若不存在，说明理由.————（1）证明见解析；（2）105；（3）存在，AN 2107 分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明//BP AM 从而证明线面平行；（2）求出向量SD 、BC 的坐标，代入cos ,SD BC SD BC SD BC⋅=⋅即可求解；（3）设SN SB λ=，用λ表示出点N 的坐标，求出平面SBC 、平面ANC 的法向量，由题意知m n ⊥则0m n ⋅=，即可带入坐标求得λ从而求得AN .解答：（1）证明：以点A 为坐标原点，向量AB ，AD ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)S ，(0,1,1)M . 设点P 为SC 中点，则有(1,1,1)P ，(0,1,1)BP AM ==，//BP AM ∴，又因为BP ⊄平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，所以//AM 平面SBC . （2）由(0,2,2)SD =-，(1,2,0)BC =，得22222210cos ,02(2)120SD BC SD BC SD BC⋅===⋅++-⨯++所以，异面直线SD 和BC 10（3）由（1）中知，(1,0,2)SB =- 设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =，有n SB n BC⎧⊥⎨⊥⎩，进而2020x z x y -=⎧⎨+=⎩，不妨设1z =，得(2,1,1)n =-，易知()()0,0,2,0,2,0AS AD ==分别为平面ABCD 、平面ABS 的法向量，2AS n ⋅=，∴平面ABCD 与平面SBC 不垂直，2AD n ⋅=-，∴平面ABS 与平面SBC 不垂直，所以点N 不在棱SB 的端点处，依题意，设SN SB λ=，(01λ<<)，可得(,0,22)N λλ-. 设平面ANC 的法向量为(,,)m x y z =，有m AN m AC ⎧⊥⎨⊥⎩，进而(22)0220x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，不妨设1x =，得(1,1,)22m λλ=--. 由题意知，m n ⊥，则12(1)(1)1022m n λλ⋅=⨯+-⨯-+⨯=-，解得67λ=.此时，2||AN AN ⎛=== 18. 设数列{}n a 是公比为正整数的等比数列，满足1310a a +=，2238a a -=.设数列{}n b 满足11b =，113n n n b b b +-=+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求{}n b 的通项公式；（3）记1n n n a b c n =-，2n ≥.求证：1224n nk k c n +==-∑.————（1）2nn a =；（2）证明见解析，21n b n=-；（3）证明见解析. 分析：（1）由1310a a +=，2238a a -=解得首项和公比可得答案；（2）由13211111222n n n n b b b b ++--==+++，可得1112n b =+进而求得答案；（3）12222(1)1n n nn n c n n n n+-=⋅=---，用裂项相消可得证明.解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，有2112221110,8,a a q a q a q ⎧+=⎨-=⎩解得12,2,a q =⎧⎨=⎩所以2nn a =. （2）证明： 1332111111111122122213n n n n n nn n n n b b b b b b b b b b +++--=-=-==-++++++++， 又因为11112b =+，所以数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列， 其通项公式为1112n b =+，进而，21n b n=-. （3）由（1）、（2）知2nn a =，21n b n=-，所以 12222(1)1n n n n n c n n n n +-=⋅=---，所以23341122222222412231n n n nk k c n n n++==-+-++-=--∑. 点拨：方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =P 在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A，点B 在椭圆位于x 轴上方的部分，直线AB 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，满足EF DF ⊥，直线AE 与椭圆C 交于点G .若ABG 的面积为AB 的方程.————（1）22142x y +=；（2）20x +-=. 分析：（1）由离心率及过的点和,,a b c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得,A F 的坐标，设直线AB 的方程，与椭圆联立得B 的坐标，由题意得点D 的坐标，再由题意得G 的坐标，表示出面积，求得k 的值，得到直线AB 的方程.解答：（1）由已知，有222222211c e a a b c a b⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）由（1）知，)F，(2,0)A .设直线AB 的方程为(2)y k x =-(0k <)，其与椭圆C 的交点(,)B B B x y 满足方程组221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得到2222(12)8840k x k x k +-+-=，解得224221B k x k -=+.在直线AB 的方程中， 令0x =，解得2y k =-，即得(0,2)D k -. 设()0,E E x ，由题意， 有())2,220E E EF DF x k kx ⋅=-⋅=-=，解得1E x k=. 进而得到直线AE 的方程为12xky +=， 其与椭圆C 的交点(,)G G G x y 满足方程组221,421,2x y x ky ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得到22(21)40k y ky +-=，解得2421G k y k=+，进而222421G k x k -=+. 由上述过程可得，|||B A AB x x =-=点G 到直线AB=.因此，12ABGS ==△化简得2210k ++=，解得k =， 所以直线AB的方程为20x -=.点拨：思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下： （1）根据题意，结合椭圆的性质，结合,,a b c 之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20. 已知函数()ln 1f x ax x =++，()e x g x x =. （1）若1a =-，求函数()f x 的最大值； （2）若0a =，（i ）求过原点且与曲线()()=-y g x f x 相切的直线方程；（ii ）设1x ，2x 为方程()()g x f x t -=(t ∈R )的解，求证：12||x x t -<. ————（1）0；（2）（i ）y x =；（ii ）证明见解析. 分析：（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-++，求导11()1xf x x x-'=-+=.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数()f x 的最大值.（2）（i ）记()()()e ln 1x h x g x f x x x =-=--.设切点00(,())P x h x ，求得过点P 处的切线方程为000()()()y h x x x h x ='-+.由已知解得0200e ln xx x =-，代入可得其切线方程； （ii ）构造函数()()H x h x x =-，求导1()(1)e 1xH x x x'=+--，令1()(1)e 1x G x x x =+--，求导'21()(2)e x G x x x=++得'()0G x >，可得()H x '单调递增.又由0()0H x '=，得出()H x 单调性，从而可得证.解答：解：（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-++，11()1xf x x x-'=-+=. 当01x <<时，有()0f x '>，则()f x 单调递增；当1x >时，有()0f x '<，则()f x 单调递减.因此，存在极大值(1)0f =，也即函数的最大值， 所以函数()f x 的最大值为0.（2）（i ）记()()()e ln 1x h x g x f x x x =-=--.取曲线()y h x =上一点00(,())P x h x ，则P 处的切线方程为000()()()y h x x x h x ='-+.由题意，有0000()()()h x x h x ='-+，即0200e ln xx x =-，变形后得到方程01ln 0000ln 1e ln e x x x x x x =-=⋅.记函数e (0)x y x x =>，由(1)e 0x y x '=+>，知e (0)x y x x =>为增函数，故001ln x x =.将其代入切线方程， 故所求切线方程y x =.（ii ）构造函数()()H x h x x =-，则1()(1)e 1xH x x x'=+--， 令1()(1)e 1xG x x x =+--，则'21()(2)e x G x x x=++.有'()0G x >，故()H x '单调递增.又0()0H x '=，因此当00x x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减；当0x x >时，()0H x '>，()H x 单调递增.所以，0()()0H x H x ≥=.由题意，12()()h x h x t ==.不妨设12x x <，由前述知，2()0H x ≥，即22()x h x t ≤=.所以12||0x x t t -<-=.点拨：方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。
重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试文科数学试题(含解析)
重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测考试注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（南开2020级第三次月考文）已知集合{}{}03,5,4,3,2,12<-∈==xxZxAU，则=ACU实数=-)(m f A.1- B.1 C.3D.2答案：A 解析：法一、令3sin 1)()(bx x a x f x F +=-=，)(x F 为奇函数01)(1)()()(=--+-=-+∴m f m f m F m F ，1)(-=-∴m f法二、)(x f 关于)1,0(点对称，2)()(=-+∴m f m f ，1)(-=-∴m f5. （南开2020级第三次月考文）“2≥m ”是“直线02=+--m y mx 不过第二象限”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：A 解析：将直线变形为m mx y -+=2可解6. （南开2020级第三次月考文）正方体D C B A ABCD -，F E ,分别为CD BC ,中点，C.ab a b>D.ab b a >答案：C 解析：令3.0,2.0==b a ，B A ,选项错误，1,1<>ab a b，C 正确。
9. （南开2020级第三次月考文）若直线1+=kx y 与xx y 1+=相切，则实数=k A.2 B.43 C.21 D.23 答案：B 解析：设切点坐标为)1,(aa a +，211x y -='，211a k -=∴， 切线方程为))(11(12a x aa a y --=--，经过点)1,0(，带入得2=a ， 43411=-=∴k⎪⎧≤+4y x112242221=+∴y y ，设αcos 621=y ，αsin 322=y 。
天津市南开中学2024届高三上学期第三次月考数学试题
n Î N*
，数列{an} 的前 n 项积为Tn ．若任意的 n Î N*,Tn < l 恒成立，则
整数 l 的最小值为
．
试卷第41 页，共33 页
三、解答题 16．在 VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 VABC 的面积为 3 15 ，
b
-
c
=
2,
cosA
=
-
1 4
，
éêê-
3 2
ù úú
=
-1 ．令
S = 3 81 + 3 82 + 3 83 + ××× + 3 125 ，求 éêS ùú 的值．
4
4
4
4
（参考数据：803 » 344.7 ，813 » 350.5 ，1243 » 618.3 ，1263 » 631.7 ．）
试卷第81 页，共33 页
1．D
A． 1 9
B． 1 3
C． 6 6
D． 2 3
8．已知正项等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 S8 - 2S4 = 6 ，则 a9 + a10 + a11 + a12 的最
小值为（ ）
A．10
B．14
C． 20
D． 24
9．已知函数 f ( x) = cos4x + 2sinxcosx - sin4x ，有下列命题：
试卷第21 页，共33 页
①
x
=
5π 8
为函数
f
(
x)
图象的一条对称轴
②将 f ( x) 的图象向左平移 π 个单位，得到函数 g ( x) 的图象，若 g ( x) 在[0,t] 上的最大
函数的图象基础知识(艺考生)
函数的图象思维导图知识梳理1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|．②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2020秋•海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【跟踪训练1-1】（2020秋•石河子校级月考）已知函数22||1y x x =--． （1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 题型2 函数图象的识辨 【例2-1】（2020•天津）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnxx x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数3222x xx y -=+在[6-，6]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【名师指导】识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． 题型3 函数图象的应用【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数322x y x lgx -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称【例3-2】（2020秋•琼海校级月考）已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【跟踪训练3-1】（2021•嘉定区一模）已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式()0()f xg x 的解集是 ．【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．配套练习1．（2021·北京101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·西藏高三其他模拟（文））函数2,02,0x x x y x -⎧≥=⎨<⎩的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国高一）函数22()21xf x x =-的图像的是 （ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·江苏无锡市·高一期末）函数2()ln f x x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C．D．5．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）函数cos622x xxy-=-的图像大致为（）A．B．C．D．6．（2021·天津滨海新区·高三月考）函数ln||cos()sinx xf xx x⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（）A．B．C．D．7．（2021·浙江高一期末）函数ln||()||x xf xx=的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．8．（2021·浙江高一期末）函数log (01)a y x a a =>≠且与函数2(1)21y a x x =---在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2021·全国高一）向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h 随时间t 变化的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+ 11．（2021·全国高一）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021·江苏高一）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2021·上海浦东新区·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示，则不等式()0x f x ⋅的解集是____.函数的图象解析题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2020秋•海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【解析】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图； （Ⅱ）当1x <-时，满足1()4f x ， 当11x -，由1()4f x 得214x ，得12x 或12x -，此时112x --或112x ， 当1x >时，1()4f x 恒成立， 综上得12x或12x -， 即x 的取值范围是得12x或12x -； （Ⅲ）由图象知()0f x ，即()y f x =的值域是[0，)+∞．【跟踪训练1-1】（2020秋•石河子校级月考）已知函数22||1y x x =--． （1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【解析】解：（1）函数22221,2||121,x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩． 当0x 时，2(1)2y x =--； 当0x <时，(1)2y x =+-． 故图象如图所示；（2）函数的增区间为：(1-，0]，(1,)+∞； 减区间为：(-∞，1]-，(0，1]．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 题型2 函数图象的识辨 【例2-1】（2020•天津）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解析】解：函数241xy x =+的定义域为实数集R ，关于原点对称，函数24()1x y f x x ==+，则24()()1xf x f x x -=-=-+，则函数()y f x =为奇函数，故排除C ，D ， 当0x >是，()0y f x =>，故排除B ， 故选：A ．【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnxx x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩【解析】解：由图可知，函数()f x 为奇函数，而选项A 和C 中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项A 和C ；当(0,1)x ∈时，从图象可知，()0f x <，而对于选项D ，0lnx <，20x >，所以()0f x >，与图象不符，排除选项D ． 故选：B ．【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：由题知，点(2,0)A ，点(2cos ,2sin )B θθ，点(2cos ,0)C θ， 则11()||||(22cos )2|sin |022S AC BC θθθ=⨯=-，故排除选项C 和D ，又因为当34πθ=时，1()(222122S θ=⨯+⨯>，排除选项B ．故选：A ．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数3222x xx y -=+在[6-，6]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：由32()22x x x y f x -==+在[6-，6]，知332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，()f x ∴是[6-，6]上的奇函数，因此排除C又f （4）1182721=>+，因此排除A ，D ．故选：B ．【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【解析】解：令()x x s x e e -=+，该函数的定义域为R ，且()()x x s x e e s x --=+=， ()s x ∴为R 上的偶函数；令()x x t x e e -=-，该函数的定义域为R ，且()()()x x x x t x e e e e t x ---=-=--=-， ()t x ∴为R 上的奇函数，又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数， 且图中所给出的函数为偶函数，排除A 与C ； 又由图可知，所求函数在[0，1]上为减函数，而B 中内层函数()t x 在[0，1]上为增函数，而外层函数正弦函数在[0，]2π上为增函数，故当x 大于0且在0附近时，B 中函数为增函数，排除B ． 故选：D ．【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：()2cos 2sin )4y f x PA PB x x x π==+=+=+，选项D 符合题意， 故选：D ． 【名师指导】识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． 题型3 函数图象的应用【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数322x y x lgx -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称【解析】解：202x x ->+，2x ∴>或2x <-，即函数的定义域为(-∞，2)(2-⋃，)+∞（定义域关于原点对称）， 32()2x y f x x lgx -==+，333222()()()222x x x f x x lg x lg x lg f x x x x --+-∴-=-=-==-+-+， ∴函数()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选：B ．【例3-2】（2020秋•琼海校级月考）已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【解析】解：根据题意，由()f x 的图象分析可得：在(0,1)和(2,)+∞上，()0f x >，在区间(1,2)上，()0f x <， 又由()f x 为偶函数，则在(1,0)-和(,2)-∞-上，()0f x >，在区间(2,1)--上，()0f x <， 0()0()0x xf x f x >⎧>⇒⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩， 则有01x <<或2x >或21x -<<-，即不等式的解集为{|01x x <<或2x >或21}x -<<-； 故答案为：{|01x x <<或2x >或21}x -<<-．【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【解析】解：函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，∴函数的图象如下图所示：(1)y kx k k x =+=+，故函数图象一定过(1,0)-点若()f x kx k =+有三个不同的根，则y kx k =+与()y f x =的图象有三个交点 当y kx k =+过(2,1)点时，13k =，当y kx k =+过(3,1)点时，14k =，故()f x kx k =+有三个不同的根，则实数k 的取值范围是11[,)43故答案为：11[,)43．【跟踪训练3-1】（2021•嘉定区一模）已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式()0()f xg x 的解集是 ．【解析】解：由图象()log a f x x =可得(0,1)x ∈时，()0f x <， (1,)x ∈+∞时，()0f x >，当1x =时()0f x =由图象()(2)g x k x =-可得(,2)x ∈-∞时，()0g x >， (2,)x ∈+∞时，()0g x <，不等式()0()f x g x ，即()0()0f x g x ⎧⎨>⎩或()0()0f x g x ⎧⎨<⎩； [1x ∴∈，2) ∴不等式()0()f xg x 的解集为[1，2) 故答案为：[1，2) 【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．配套练习1．（2021·北京101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】[0,]2x π∈时，B x x π+=()2,B f x AB x x x π∴==-=-[0,]2x π∈时()f x 表示递减的一次函数所以选A.2．（2021·西藏高三其他模拟（文））函数2,02,0x x x y x -⎧≥=⎨<⎩的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：根据题意，当0x ≥时，2x y =，为指数函数，单调递增，且在0x =时函数有最小值1； 当0x <时，122xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，单调递减，且函数值1y >. 故选：B.3．（2021·全国高一）函数22()21x f x x =-的图像的是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：因为22()21x f x x =-，所以2210x -≠，解得2x ≠±，故函数的定义域为|x R x ⎧⎪∈≠⎨⎪⎪⎩⎭，故排除AC ；当0x <<时，20x <，2210x -<，所以22()021x f x x =>-，故排除D ； 故选：B4．（2021·江苏无锡市·高一期末）函数2()ln f x x x =+的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】()2ln f x x x =+，()()22ln ln ()f x x x x f x x -=-∴=+-+=,所以()f x 为偶函数，排除D ；当0x →时，()f x →-∞ ，排除AC ；故选：B.5．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）函数cos622x x xy -=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：()cos622x x xy f x -==-定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()cos622x x xf x f x --==--即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故A 错误；当x →+∞是，2x →+∞，20x -→，[]cos61,1x ∈-，故()0f x →，故C 错误；当0x >且，0x →时，cos60x >，220x x -->，故()0f x >，故B 错误，D 正确；故选：D6．（2021·天津滨海新区·高三月考）函数ln ||cos ()sin x xf x x x ⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 因为ln ||cos()ln ||cos ()()sin()sin x x x x f x f x x x x x-⋅-⋅-==-=--+-+，[)π,00,π(]x -⋃∈， 所以()f x 为奇函数，因此函数()f x 的图像关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选：D 7．（2021·浙江高一期末）函数ln ||()||x x f x x =的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】 函数的定义域是{}0x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，关于原点对称，排除A,C ，当01x <<时，ln 0x <，所以()0f x <，故排除D.故选：B8．（2021·浙江高一期末）函数log (01)a y x a a =>≠且与函数2(1)21y a x x =---在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当1a >时，log a y x =单调递增，()2121y a x x =---开口向上，不过原点，且对称轴101x a =>-，可排除AB 选项；当1a <时，log a y x =单调递减，()2121y a x x =---开口向下，可排除D ，故选C 9．（2021·全国高一）向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h 随时间t 变化的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选C.10．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+【答案】A【解析】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ，故选：A11．（2021·全国高一）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得12x ≤≤时，2(1)22,42,,2BE x x CE x CF x DF x =-=-=-==-，所以AEF 的面积y 211142(22)(42)2(2)34222x x x x x x =-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅-=-+， 它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.故选：A12．（2021·江苏高一）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】当0a <时，()a g x x =为奇函数，定义域为{}|0x x ≠，且在()0,∞+上递减，而2()21f x ax x =++开口向下，对称轴为10x a =->，(0)1f =，故A 符合； 当()2a n n N+=∈时，()a g x x =为偶函数，且在()0,∞+上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a =-<，440a ∆=-<，其图象和x 轴没有交点，故D 符合； 当()12a n N n+=∈时，函数()a g x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a=-<，440∆=->a ，图象和x 轴有两个交点，故C 符合． 故选：ACD ．13．（2021·上海浦东新区·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示，则不等式()0x f x ⋅的解集是____.【答案】[]3,3-【解析】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：不等式()()000x x f x f x >⎧⋅⇒⎨≥⎩或()00x f x <⎧⎨≤⎩或0x =， 由图可得：03x <≤或-<3≤0x 或0x =， 综上：解集为：[]3,3-故答案为：[]3,3-.。
2021年天津南开区津英中学高三数学文月考试题含解析
2021年天津南开区津英中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，集合A为偶数集，若命题则为（）A. B.C. D.参考答案：D略2. 某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（）A． 45 B．50 C．55 D．60参考答案：分析：根据频率分布直方图，利用频率=，求出样本容量来．解答：解：根据频率分布直方图，得；不低于80分的频率是0.015×10=0.15，∴该班人数是=60．故选：D．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率、频数与样本容量的关系进行解答，是基础题．3. 已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A．B．C．D．参考答案：C【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C4. 方程满足且, 则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D5. 函数f（x）=（）x﹣log x的零点所在的区间是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）参考答案：C【考点】二分法的定义．【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=（）x﹣log x，∴f（）=﹣log＜0，f（1）=（）1﹣log1＞0，∴在区间（，1）内函数f（x）存在零点，故选：C．【点评】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键．6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD==．故选：B．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 已知，则A、 B、C、D、参考答案：B由，故选B．8. 若x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 7C. 9D. 10参考答案：C根据题意画出可行域如图所示（图中阴影部分），由可行域可知，，所以，所以，设，当直线过点A(1, 2)时，z取得最大值，为9，故选C.9. 设复数的共轭复数）是纯虚数的一个充分不必要条件是参考答案：C略10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中分别是这段图象的最高点和最低点，是图象与轴的交点，且，则的值为A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．参考答案：48【分析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为所以全团抽取的人数为：＝48.故答案为：48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12. 设的最小值为，则▲。
2023届天津市南开中学高三年级上册学期第三次月考数学试卷【含答案】
天津市南开中学2023届高三第三次月考一、选择题1．设为虚数单位，则复数的虚部是（ ）i 21i z =+A ．B ．C ．D ．i-1-i 12．集合，，则=（ ）{}2|4A x x =>{}|51B x x =-<<()R A B A ．B ．C ．D ．{}|52x x -<<-{}|22x x -<<{}|21x x -<<{}|21x x -£<3．已知直线，，则是的（ ）()1:120l a x ay -+=()()2:22110l a x a y -+++=1a =12//l l 条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．展开式中的常数项是（ ）623x x æöç÷-ç÷èøA ．B ．135C ．D ．135-12151215-5．已知，，则的大小关系是2log a =0.42b =1313c -æöç÷=ç÷èø,,a b c A ．B ．C ．D ．b a c <<a c b <<a b c <<b c a<<6．将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再向左平移()2sin 23f x x πæöç÷=-ç÷èø12个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）6π()g x A ．的图象关于点对称B ．的图象关于直线对称()g x 7,024πæöç÷ç÷èø()g x 6x π=C ．过点D ．在区间上单调递增()g x ,28πæöç÷ç÷èø()g x 0,24πæöç÷ç÷èø7．设抛物线：（）的焦点为，上一点，满足直线与轴正半C 22y px =0p >F C B FB y 轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则M B ,F M 2FB BM=B 43点的纵坐标为（ ）M A ．1B C ．D 328．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点分别H ()222210,0x y a b a b -=>>F ,A B 在双曲线的左．右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离0AF FB ⋅=32BF FC =C 心率为（ ）A B CD9．已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取(),42,42 6.xx x f x x ⎧-<<⎪+⎪=≤<()20f x ax +=a值范围是（ ）A ．B ．C ．D．1,3⎛⎧⎫-∞⋃- ⎨⎬ ⎩⎭⎝11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦13⎡⎢⎣13⎫⎧⎫+∞⋃⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭二、填空题10．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一．高二这两个年级共名学500生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调査．已知高一年级共有名学生，那么应抽50300取高一年级学生的人数为_________11．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则ξ______ 1533P ξ⎛⎫≤≤=⎪⎝⎭12．等差数列中，，，则数列的前2023项和为{}n a 31a =5672a a a -+=(){}cos πn a ___________.13．已知都是正数，则的最小值是___________,a b 222a ba b a b +++14．已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线C ()2,1C 与交于两点， ，则实数__________:420l x y λ-+=C ,A B 120ACB Ð= λ=15．如图，在中，，点满足，，为ABC ,23B AB π==M 13AM AC = 43BM AC ×= O 中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______ BM N BC OA ON ×CB三、解答题16．在，中，记角，，的对边分别为，已知ABC A B C ,,ab c cos a cC C b++=(1)求角；B (2)已知点在边上，且，求的面积.D AC 4,6AD BD AB ===ABC17．如图，在四棱锥中，平面平面，，P ABCD -PAB ⊥ABCD ,,3AB BC AD BC AD ⊥=∥．2,1,PA BC AB PB ===(1)．求证：平面；PB ^ABCD (2)．求平面与平面夹角的余弦值；PCD ABCD (3)．若点在棱上，且平面，求线段的长.E PA //BE PCD BE18．已知椭圆中心在原点，右焦点，离心率为.C ()2,0F 12（1）求椭圆的标准方程；C （2）若椭圆左右顶点分别为和，为椭圆位于第二象限的一点，在轴上存在一点1A 2A B y ，满足，设和的面积分别为和，当时，求直线N BF NF ^12A A B 1A FN 1S 2S 12:3:2S S =的斜率.1A B 19．已知公差不为零的等差数列，为等比数列，且满足，，{}n a {}n b 11a b =442b a =，成等比数列.2352b b a +=+248,,a a a （1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b（2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T ()*942n n n T n N λ++≥-∈λ取值范围．20．已知函数.()e sin x f x k x=-（1）．当，时，求的单调区间；1k =0,2x πæöç÷Îç÷èø()f x （2）．若在区间内存在极值点.()f x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭α①．求实数的取值范围；k ②．求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，()f x ()0,πβ() 1f β=β 2α说明理由.一、选择题BDABCDDBA 二、填空题10、3011、12、1314、或15、47121-1-11-2936-三、解答题16、（1）因为，cos a c C C b ++=由正弦定理可得，sin cos sin sin sin B C B C A C =+因为，所以，π=--A B C ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C=+=+，sin cos sin sin B C B C C =+因为，则，故0πC <<sin 0C >cos 1B B =+cos 1B B -=，π2sin 16B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，所以，故.0πB <<ππ66B -=π3B =（2）在中由余弦定理可得，，，ABD 2221cos 22AB AD BD A AB AD +-==⋅⋅0πA <<是等边三角形，60A = ABC 所以的面积是11sin 6622ABC S AB BC B=⋅=⨯⨯= ABC 17．(1)．略（2）解：在中，因为，PAB△2,1PA PB AB ===所以，所以．222PA AB PB =+PB AB ⊥所以，建立空间直角坐标系，如图所示．B xyz -所以，(1,0,0),(0,0,0),(0,2,0),(1,3,0),(1,1,0),(0,2,A B C D P CD PC --=-=易知平面的一个法向量为．ABCD (0,0,1)n =设平面的一个法向量为，PCD (,,)m x y z=则，即，令，则．=0=0m CD m PC ⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩=2x y y⎧⎪⎨⎪⎩=2z m = 则cos ,||||n m n mn m ⋅〈〉===⋅即平面与平面．PCDABCD （3）解：因为点E 在棱，所以．PA,[0,1]AE APλλ=∈因为．AP =所以．(),()AE BE BA AE λλ==+=-又因为平面，为平面的一个法向量，BE ∥PCD m PCD所以，所以．0BE m ⋅==0λ-13λ=所以，所以23BE ⎛=- ⎝ ||BE BE == 18．（1）椭圆方程2211612x y +=（2）设直线的方程为，显然，联立1A B 4x my =-0m >2243448x my x y ì=-ïí+=ïî，所以，所以()223424m y my Þ+=2222224241216,4343434B B m m m y x m m m -==-=+++，设，所以，根据题意，22222443412164234BF m m m k m m m +==---+()0,N u 2244422m u m u m m--=Þ=-，所12:3:2S S =24222424423628910448023493m m m m m m m m -Þ´´=´´Þ+-=Þ=Þ=+以所求直线斜率为3219．(1)．2,2nn n a n b ==(2)．∵，1222n n n n a n nb -＝＝则，23123412222n n n T -＝＋＋＋＋＋，23111231222222n n n n n T --∴ ＝＋＋＋＋＋，2311111111*********222212n n n nn nn n n T --∴---- ＋＝＋＋＋＋＋＝＝，1242n n n T -∴-＋＝恒成立，()*942n n n T n N λ++≥-∈则恒成立，192544222n n n n n n λ--≥--＋＋＋＝令，则，()52n n f n -＝()()114561222n n n n n n f n f n -----＋＋＋＋＝＝，()()()()()12678f f f f f ∴＜＜＜＝＞＞，()()1()6764max f n f f ∴＝＝＝，164λ∴≥故实数的取值范围是λ164⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，+20．(1)．，，所以在()'cos ,0,2e x f x x x πæöç÷=-Îç÷èø()''sin 0e x f x x =+>()'f x 0,2πæöç÷ç÷èø ，所以在单调递增()()''00f x f >=()f x 0,2πæöç÷ç÷èø（2）．①，又，则且，()e cos xf x k x '=-()0f α'=e cos k αα=π(0,)2α∈∴，即在上递增，故，2e (cos sin )0cos k αααα+'=>k π(0,2α∈1k >当时，在上，即递增，又，1k >(0,)2x π∈()e sin 0x f x k x ''=+>()'f x (0)10f k '=-<，()e 0f k ππ'=+>∴上，上，则在上递减，在上递增，(0,)α()0f x '<(,)2πα()0f x '>()f x (0,)α(,2πα∴在处取极小值，符合题设.()f x α∴.1k >②要证在内存在唯一的使，只需证在上有唯一()0,πβ()1f β=()esin 1xg x k x =--()0,π零点，β∴，由（1）知：在上递减，在上递增，()e cos xg x k x '=-()g x (0,)α(,)2πα又时，，即在上递增，[,)2x ππ∈()e cos 0xg x k x '=->()g x [,)2ππ综上，在上递减，在上递增，而，，()g x (0,)α(,)απ(0)0()g g α=>()e 10g ππ=->∴在无零点，在上存在一个零点，故存在唯一使.()g x (0,)α(,)απβ∈()0,π()0g β=由①知：，e cos 1k αα=>∴，22(2)e sin 21e 2sin e 1e (e 2sin )1g k ααααααααα=--=--=--令且，则，2e 2si ()n e1xxh x x =--(0,2x π∈e [e (cos sin )2]'()x xx h x x -+=令，则显然，则递增，e (cos sin )x y x x =-+e sin cos 0xy x x '=+->y∴，即，故在上递增，则，0y >'()0h x >()h x (0,)2x π∈()()00h x h >=∴在有，π(0,)2α∈(2)0g α>即有，又在上递增且，(2)()0g g αβ>=()g x (,)απ2ααπ<<∴.2βα<。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
2021年天津市南开中学高考数学模拟试卷(三模)(附详解)
2021年天津市南开中学高考数学模拟试卷（三模）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合A={x∈N|0<x<4}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=()A. [0,2]B. [1,2]C. {1,2}D. {0,1，2}2.“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=2x lnx2的大致图象为()4x+1A.B.C.D.4.某人口大县举行“《只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩小于等于90分的会被淘汰，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图所示，则会被淘汰的人数为( )A. 350B. 450C. 480D. 3005. 已知a =(13)0.3，b =log 130.3，c =a b ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. b >a >c B. b >c >a C. c >b >a D. a >b >c6. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为3π，则球O 的表面积等于( )A.81π8B.81π2C.121π8D.121π27. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点的距离为5,双曲线x 2a−y 2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行,则实数a 的值是( )．A. 19B. 125C. 15D. 138. 已知f(x)=sin(ωx +φ+π3)同时满足下列三个条件：①|f(x 1)−f(x 2)|=2时，|x 1−x 2|的最小值为π2； ②y =f(x −π3)是奇函数；③f(0)>f(π6).若f(x)在[0,t)上没有最大值，则实数t 的范围是( )A. (0,π6]B. (0,116π]C. (π6,1112π]D. (5π6,1112π]9. 如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，∠BAD =π6，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ )，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 4+√132 B. 2+√132 C. 4+√134 D. 2+√134二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 设复数z 满足(1+2i)z =3−4i(i 为虚数单位)，则|z|的值为______． 11. (2x 2+√x 3)5的展开式中x 3的系数为______ .(用数字作答)12. 已知过点P(0,1)的直线l 与直线4x −3y =0垂直，l 与圆x 2+y 2+2x −6y +6=0相交于A ，B 两点，则|AB|= ______ ．13. 2021年是中国共产党成立100周年.现有A ，B 两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A 队中每人答对的概率均为13，B 队中3人答对的概率分别为23，23，13，且各答题人答题正确与否互不影响，设A 队总得分为随机变量X ，则X 的数学期望为______ .若事件M 表示“A 队共得2分”，事件N 表示“B 队共得1分”，则P(MN)= ______ ． 14. 已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x +4y +1x−1+1y =11，则1x−1+1y 的最大值为______．15. 已知函数f(x)={ln(x +1)+m,(x ≥0)ax −b +1,(x <0)其中(m <−1)，对于任意s ∈R 且s ≠0，均存在唯一的实数t ，使得f(s)=f(t)，且s ≠t ，若关于x 的方程|f(x)|=f(m3)有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)若a =2，c =3，求cos A 和sin(2A −B)的值．17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90°，D，E分别是A1B1，CC1的中点(Ⅰ)求证：C1D//平面A1BE；(Ⅱ)求直线AB与平面A1BE所成角的正弦值；(Ⅲ)在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．18.已知A1，A2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，B为椭圆C的上顶点，点A2到直线A1B的距离为4√7b7，椭圆C过点(2√33,√2)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l过点A1，且与x轴垂直，P，Q为直线l上关于x轴对称的两点，直线A2P 与椭圆C相交于异于A2的点D，直线DQ与x轴的交点为E，当△PA2Q与△PEQ的面积之差取得最大值时，求直线A2P的方程．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n−1(n∈N∗)，数列{b n}满足nb n+1−(n+1)b n=n(n+1)(n∈N∗)，且b1=1．(1)证明数列{b nn}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=(−1)n−14(n+1)(3+2log2a n)(3+2log2a n+1)，求数列{c n}的前n项和T2n；(3)若d n=a n⋅√b n，数列{d n}的前n项和为D n，对任意的n∈N∗，都有D n≤nS n−a，求实数a的取值范围．20.已知函数f(x)=lnxx +k的极大值为1+ee，其中e=2.71828…为自然对数的底数．(1)求实数k的值；(2)若函数g(x)=e x−ax，对任意x∈(0,+∞)，g(x)≥af(x)恒成立．(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅰ)证明：x2f(x)>asinx+x2−1．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={1,2，3}，B={x|0≤x≤2}，∴A∩B={1,2}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac，此时a2c2=(ac)2=b4，则a2，b2，c2成等比数列，即充分性成立，反之当a=1，b=1，c=−1时满足a2，b2，c2成等比数列，但a，b，c不成等比数列，即必要性不成立，即“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的充分不必要条件，故选：A．根据等比数列的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列和充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】A【解析】解：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=2−x ln(−x)24−x+1=2x lnx21+4x=f(x)，故f(x)为偶函数，由此排除选项BC，当x>1时，2x lnx2>0，4x+1>0，f(x)>0，由此排除选项D．故选：A．由函数为偶函数及x>1时，f(x)>0，即可得解．本题考查利用函数性质识别函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 由频率分布直方图得初赛成绩小于等于90分的频率为0.35，由此能求出能会被淘汰的人数． 【解答】解：由频率分布直方图得：初赛成绩小于等于90分的频率为：(0.0025+0.0075+0.0075)×20=0.35， ∴会被淘汰的人数为1000×0.35=350． 故选：A ．5.【答案】A【解析】解：b =log 130.3>log 1313=1，a =(13)0.3∈(0,1)，c =a b <a ，所以c <a <b ． 故选：A ．利用指数函数与对数函数的单调性即可比较大小．本题主要考查了利用指数函数与对数函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的面积为3π，母线长为3，设圆锥底面半径为r ， 则πr ×3=3π，得r =1，∴圆锥的高为：ℎ=√32−12=2√2，再设圆锥外接球的半径为R ，可得R 2=(2√2−R)2+12， 解得R =4√2，∴球O 的表面积为4π×(4√2)2=818π．故选：A ．利用已知条件求出圆锥的底面半径，进一步求得圆锥的高，利用勾股定理求解球的半径，即可求解球的表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查学生逻辑思维能力以及直观想象的数学素养，是中档题．7.【答案】A【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，由抛物线的定义可得5=1+p2，可得p=8，即有y2=16x，M(1,4)，双曲线x2a−y2=1的左顶点为A(−√a,0)，渐近线方程为y=√a，直线AM的斜率为1+a，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得√a =1+√a，解得a=19，故选：A．求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值．本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和渐近线方程，运用两直线平行的条件是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：已知f(x)=sin(ωx+φ+π3)同时满足下列三个条件：①|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值为π2；所以函数的最小正周期为π，所以T=π=2πω，解得ω=2．②y=f(x−π3)是奇函数；所以f(x)=sin(2x−2π3+φ+π3)满足−π3+φ=kπ，整理得φ=kπ+π3(k∈Z)，所以当k=0时φ=π3.所以f(x)=sin(2x+2π3).③f(0)>f(π6).即sin2π3>sinπ，对于选项B、C、D都有最大值的出现，故A正确．故选：A．首先利用题中的条件求出函数的关系式，进一步利用函数在某一区间上存在的最大值的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】C【解析】解：以C 为坐标原点O ，CB ，CD 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系， 设∠BDC =α，在直角三角形ABD 中，AD =√3，∠BAD =π6， 可得BD =√3×√33=1，即有B(sinα,0)，D(0,cosα)，A(√3cosα,√3sinα+cosα)， 由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 可得M 为AB 的中点，N 为AD 的中点， 即有M(sinα+√3cosα2,√3sinα+cosα2)， N(√3cosα2,√3sinα+2cosα2)， 则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(√3sinαcosα+3cos 2α+3sin 2α+2√3sinαcosα+√3sinαcosα+2cos 2α)=14(4+4√3sinαcosα+cos2α) =14(4+2√3sin2α+cos2α) =14(4+√13sin(2α+θ))(其中tanθ=√36，θ为锐角)， 可得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为14(4+√13)，此时2α+θ=π2， 即α=π4−θ2， 故选：C ．以C 为坐标原点O ，CB ，CD 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，设∠BDC =α，运用解直角三角形求得BD =1，可得A ，B ，D 的坐标，再由题意可得M 为AB 的中点，N 为AD 的中点，运用中点坐标公式和向量数量积的坐标表示和三角函数的平方关系和二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的最值，可得最大值．本题考查向量数量积的坐标表示和最值求法，注意运用坐标法，以及三角函数的恒等变换，考查辅助角公式和正弦函数的最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.【答案】√5【解析】解：由(1+2i)z =3−4i ，得z =3−4i1+2i ， ∴|z|=|3−4i1+2i |=|3−4i||1+2i|=√5=√5．故答案为：√5．把已知等式变形，利用商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．11.【答案】40【解析】解：(2x 2√x 3)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r ×25−r ×x 10−7r3， 令10−7r 3=3，求得r =3，故展开式中x 3的系数为C 53×22=40，故答案为：40．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x 3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．12.【答案】2√3【解析】解：由题意设过点P(0,1)的直线l 与直线4x −3y =0垂直， 直线l 的方程为3x +4y −4=0，因为圆x 2+y 2+2x −6y +6=0化为(x +1)2+(y −3)2=4的圆心为(−1,3)，半径为r =2，所以圆心到直线的距离为d =√32+42=1，弦长|AB|=2√22−12=2√3， 故答案为：2√3．求出直线的方程；求出圆的圆心与半径，再由点到直线的距离公式，结合圆的半径求解弦长即可．本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属中档题．13.【答案】1 227【解析】解：由题意可得，随机变量X ～B(3,13)， 故X 的数学期望为E(X)=np =3×13=1；因为事件M 表示“A 队共得2分”，事件N 表示“B 队共得1分”，所以P(M)=C 32×(13)2×23=29， P(N)=23×13×23+13×23×23+13×13×13=13， 所以P(MN)=P(M)P(N)=29×13=227． 故答案为：1；227．由题意，确定随机变量服从二项分布，由二项分布的期望公式求解即可得到X 的数学期望；利用n 次独立重复试验的概率公式求出P(M)，由相互独立事件概率乘法公式求出P(N)，再由相互独立事件的概率乘法公式求解P(MN)即可．本题考查了二项分布的理解和应用，二项分布数学期望公式的应用，相互独立事件概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．14.【答案】9【解析】解：令1x−1+1y =t ，∴x −1+4y =10−t ， (x −1+4y)(1x−1+1y )=(10−t)t ， ∵5+4yx−1+x−1y ≥5+2√4y x−1⋅x−1y=9，∴(10−t)t ≥9，∴t 2−10t +9≤0，解得1≤t ≤9， ∴1x−1+1y 的最大值为9 故答案为：9．根虎题意，令1x−1+1y =t ，∴x −1+4y =10−t.根据基本不等式求出(x −1+4y)(1x−1+1y )的最值，即可得到关于t 的不等式解得即可． 本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.【答案】(−6,−3)【解析】解：由题意可知，函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且此时的值域为[m,+∞)，∵对于任意s∈R且s≠0，均存在唯一的实数t，使得f(s)=f(t)，且s≠t，∴函数f(x)在(−∞,0)上是减函数，值域为(m,+∞)，∴a<0，且−b+1=m，即b=1−m，∵|f(x)|=f(m3)有4个不相等的实数根，∴0<f(m3)<−m，又m<−1，∴0<(a3+1)m<−m，∴−6<a<−3，即实数a的取值范围为(−6,−3)．故答案为：(−6,−3)．依题意，函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且此时的值域为[m,+∞)，在(−∞,0)上是减函数，此时的值域为(m,+∞)，由此得到b=1−m，且0<f(m3)<−m，进而得解．本题考查函数的性质及函数图象的运用，考查数形结合思想，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)∵cosBcosC =−b2a+c．由正弦定理可得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC，化为：(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0，化为：2sinAcosB+sin(B+C)=0，即2sinAcosB=−sinA，∵sinA≠0，∴cosB=−12．∵B∈(0,π)，∴B=2π3．(Ⅱ)由余弦定理可得：b2=22+32−2×2×3cos2π3=19，解得b=√19．又2sinA =√19sin2π3，解得：sinA=√3√19．∵B为钝角，∴A为锐角．∴cosA=√1−sin2A=4√1919．∴sin2A =2×√3√19×4√1919=8√319． cos2A =1−2sin 2A =13√1919． ∴sin(2A −B)=8√319×(−12)−13√1919×√32=−8√3+13√5738．【解析】(Ⅰ)由cosBcosC =−b2a+c .利用正弦定理可得：cosBcosC =−sinB2sinA+sinC ，利用和差公式、诱导公式化简进而得出．(Ⅱ)由余弦定理可得：b.利用正弦定理可得sinA.利用平方关系可得cosA.再利用倍角公式、和差公式即可得出sin(2A −B)．本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、倍角公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】(Ⅰ)证明：取AB 的中点F ，连接DF ，交A 1B 于点M ，可知M 为DF 中点， 连接EM ，易知四边形C 1DME 为平行四边形， 所以C 1D//EM ．又C 1D ⊄平面平面A 1BE ，EM ⊂平面A 1BE ， 所以C 1D//平面A 1BE ．(Ⅱ)解：如图建立空间直角坐标系C −xyz ，则A(2,0，0)，B(0,2，0)，E(0,0，1)，A 1(2,0，2)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，1)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)．设平面A 1BE 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{2x +z =02y −z =0 令x =1，则n⃗ =(1,−1,−2)． 所以cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=−√33． 所以直线AB 与平面A 1BE 所成角的正弦值为√33．(Ⅲ)解：假设在棱CC 1上存在一点P ，使得平面PAB 与平面A 1BE 所成二面角为60°，设P(0,0，c)，0≤c ≤2．则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−c)，设平面PAB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −cz =0−2x +2y =0，取x =c ，则m⃗⃗⃗ =(c,c ，2)，由(Ⅱ)知平面A 1BE 的法向量为n ⃗ =(1,−1,−2)． 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√6⋅√c 2+c 2+4=12，解得c =√303<2，故在棱CC 1上存在一点P ，使得平面PAB 与平面A 1BE 所成二面角为60°，P 点的坐标为(0,0，√303).【解析】(Ⅰ)取AB 的中点F ，连结DF ，交A 1B 于点M ，可证C 1D//EM ，利用线面平行的判定定理可得C 1D//平面A 1BE ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出平面A 1BE 的法向量，利用向量的夹角公式，可求直线AB 与平面A 1BE 所成角的正弦值；(Ⅲ)假设在棱CC 1上存在一点P ，使得平面PAB 与平面A 1BE 所成二面角为60°，求出平面PAB 的法向量，根据向量的夹角公式，列方程求出点P 坐标，即可得结论． 本题考查了空间向量在几何中的应用，考查了直线与平面平行的判定、线面角和二面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题18.【答案】解：(1)由题意知A 1(−a,0)，A 2(a,0)，B(0,b)，则直线A 1B 的方程为y =ba x +b ，即bx −ay +ab =0， 所以点A 2到直线A 1B 的距离d =√a 2+b2=4√7b7，即b 2a 2=34，①又椭圆C 过点(2√33,√2)，所以43a 2+2b 2=1 ②，联立①②，解得a 2=4，b 2=3， 故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)得A 2(2,0)，直线l 的方程为x =−2， 由题意知直线A 2P 的斜率存在且不为0， 设直线A 2P 的方程为x =my +2(m ≠0)，联立{x =−2x =my +2，解得{x =−2y =−4m ，即P(−2,−4m ),Q(−2,4m )，联立{x =my +2x 24+y 23=1，消x 得(3m 2+4)y 2+12my =0，解得y =0或y =−12m3m +4，所以D(−6m 2+83m 2+4,−12m 3m 2+4)，所以直线DQ 的方程为(−12m3m +4−4m )(x +2)−(−6m 2+83m +4+2)(y −4m )=0，令y =0，得x E =−6m 2+43m 2+2，|A 2E|=|2−−6m 2+43m 2+2|=12m 23m 2+2，所以S △A 2PQ −S △EPQ =2S △A 2PE =2×12⋅12m 23m 2+2⋅|−4m |=48|m|3m 2+2=483|m|+2|m|≤4√6，当且仅当m =±√63时取等号，故当△PA 2Q 与△PEQ 的面积之差取得最大值时， 直线A 2P 的方程为3x +√6y −6=0或3x −√6y −6=0..【解析】(1)根据条件得到关于a ，b 的方程，解方程求出a ，b 的值，即可得到椭圆的方程；(2)设直线l 的方程，将l 与椭圆联立，求出P ，Q ，D ，E 的坐标，结合两点距离公式和基本不等式求解即可．本题考查了椭圆的方程与性质，直线与椭圆的位置关系，以及椭圆中三角形最值问题，考查了方程思想和转化思想，属中档题．19.【答案】(1)证明：S n =2a n −1(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2a n −1−(2a n−1−1)，化为：a n =2a n−1． n =1时，a 1=2a 1−1，解得a 1=1． ∴数列{a n }是等比数列，公比为2． ∴a n =2n−1．数列{b n }满足nb n+1−(n +1)b n =n(n +1)(n ∈N ∗)，化为：bn+1n+1−b n n=1，且b 1=1．∴数列{bnn}为等差数列，公差为1，首项为b11=1． ∴b n n=1+n −1=n ，b n =n 2．(2)解：c n =(−1)n−14(n+1)(3+2log2a n )(3+2log 2a n+1)=(−1)n−1⋅4(n+1)(2n+1)(2n+3)=(−1)n−1⋅(12n+1+12n+3)，∴数列{c n }的前n 项和T 2n =(13+15)−(15+17)+(17+19)+⋯…−(14n+1+14n+3)=13−14n +3=4n12n+9．(3)解：d n =a n ⋅√b n =n ⋅2n−1，数列{d n}的前n项和为D n=1+2×2+3×22+⋯…+n⋅2n−1，2D n=2+2×22+⋯…+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，∴−D n=1+2+22+⋯…+2n−1−n⋅2n=2n−12−1−n⋅2n，解得D n=(n−1)⋅2n+1．S n=2a n−1=2n−1．对任意的n∈N∗，都有D n≤nS n−a，∴a≤n(2n−1)−(n−1)⋅2n−1=2n−n−1．令d n=2n−n−1.则d n+1−d n=2n+1−(n+1)−1−(2n−n−1)=2n−1>0．∴数列{d n}单调递增．∴a≤(d n)min=d1=0．∴实数a的取值范围是(−∞,0]．【解析】(1)S n=2a n−1(n∈N∗)，n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−1−(2a n−1−1)，化为：a n=2a n−1.利用等比数列的通项公式可得a n.数列{b n}满足nb n+1−(n+1)b n=n(n+1)(n∈N∗)，化为：b n+1n+1−b nn=1，且b1=1.即可证明数列{b nn}为等差数列，利用通项公式可得b n．(2)c n=(−1)n−14(n+1)(3+2log2a n)(3+2log2a n+1)=(−1)n−1⋅4(n+1)(2n+1)(2n+3)=(−1)n−1⋅(12n+1+12n+3)，利用裂项求和方法即可得出．(3)d n=a n⋅√b n=n⋅2n−1，利用错位相减法可得数列{d n}的前n项和为D n，又S n= 2n−1.代入对任意的n∈N∗，都有D n≤nS n−a，即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：(1)f′(x)=1−lnxx2，x>0，当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减；所以f(x)的极大值为f(e)=1e +k=1e+1，故k=1；(2)(i)根据题意，任意x∈(0,+∞)，g(x)≥af(x)，即e x−ax ≥alnxx+a，化简得xe x−alnx−ax−a≥0，令ℎ(x)=xe x−alnx−ax−a，x>0，ℎ(x)=e lnx e x−alnx−ax−a=e lnx+x−a(lnx+x)−a，令lnx+x=t，t∈R，设H(t)=e t−at−a，H′(t)=e t−a，只需H(t)≥0，t∈R，当a<0时，当t<0时，H(t)<1−at−a，所以H(1a −1)<1−a(1a−1)−a=0，不成立；当a=0时，H(t)≥0显然成立；当a>0时，由H′(t)=e t−a，当t∈(−∞,lna)，H(t)递减，t∈(lna,+∞)，H(t)递增，H(t)的最小值为H(lna)=a−alna−a=−alna，由H(lna)=−alna≥0，得0<a≤1，综上0≤a≤1；(ii)证明：要证x2f(x)>asinx+x2−1，只需证明x2(lnxx+1)>asinx+x2−1，化简得xlnx+1>asinx，只需证lnx+1x >asinxx，设F(x)=lnx+1x，G(x)=x−sinx，由F′(x)=1x −1x2=x−1x2，当x∈(0,1)时，F(x)递减；x∈(1,+∞)时，F(x)递增；所以F(x)≥F(1)=1，由G′(x)=1−cosx≥0，G(x)在(0,+∞)递增，故G(x)>G(0)=0，得x>sinx，又由(i)0≤a≤1，所以asinxx<1，所以F(x)>asinxx成立，故原命题成立．【解析】(1)对f(x)求导，判断函数的极大值为f(e)，求出k；(2)(i)根据题意，任意x∈(0,+∞)，g(x)≥af(x)，即e x−ax ≥alnxx+a，设H(t)=e t−at−a，H′(t)=e t−a，只需H(t)≥0，t∈R，对a分类讨论求出即可；(ii)要证x2f(x)>asinx+x2−1，只需证明x2(lnxx+1)>asinx+x2+1，化简得xlnx+1>asinx，只需证lnx+1x >asinxx，集合(i)证明即可．本题考查已知导数的极值求参数，考查利用导数判断单调性，证明不等式恒成立，考查计算能力，属于中档题．。
天津市第四中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷 含解析
所以 ，
从而 ，
用 代 得 ，
所以 的面积 .
则 ，
因为 ，即 ，
整理得 ，解得 ，
所以 ，即 或 .
从而 的取值范围为 .
点拨：方法技巧点睛：设而求点法，设出一条直线，与曲线方程联立，求解，另一条直线与曲线的交点只需将斜率代换一下即可求解，这样可以省去同一的步骤.
A. B. C. D.
————D
分析：设 ，则 ， ，由 ，结合椭圆的定义，利用余弦定理求得 ，从而 是等腰直角三角形，即可求出椭圆 的离心率.
解答：设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，由余弦定理，
得： ，
∴ ，
化简可得 ，而 ，
故 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
A. B. C. D.，再求球的半径，然后求半球的体积．
解答：解：正方体的顶点 、 、 、 在半球的底面内，顶点 、 、 、 在半球球面上，
底面 中心到上底面顶点的距离就是球的半径 ，
半球的体积： ．
故选： ．
点拨：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
故选：A
点拨：本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用正弦定理解三角形
6.已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
————A
天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷(含答案解析)
天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）1 设集合，集合，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案解析】 B分析：根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因为，，，故选：B．2 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（）A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案解析】 A分析：画出每个函数的图象，即得解.解答：y＝＝，y＝＝，y＝，y＝，它们的图象如图所示:由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3 函数，图象大致为（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.解答：，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项.由排除选项.由，排除C选项，故本小题选D.点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.4 已知公差不为0的等差数列{an}的首项，若，，成等比数列，则{an}的前5项之和为（）A. －23B. －25C. －43D. －45【答案解析】 D分析：首先根据题意得到，解得，再计算即可.解答：根据题意，，，成等比数列，即，则有，解可得或（舍，则的前5项之和.故选：D点拨：本题主要考查等差数列的前项和，同时考查了等比中项，属于简单题.5 设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 B分析：分别判断，和，再代入计算，可得.解答：因为，所以；又因为，所以；又，所以，所以.故选：B.6 椭圆的焦距为4，则m的值为（）A. 1B. 7C. 1或17D. 7或11【答案解析】 D分析：对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得的值. 解答：在椭圆中，由已知可得，解得.若椭圆的焦点在轴上，可得，解得；若椭圆的焦点在轴上，可得，解得.因此，或.故选：D.7 以下命题正确的是（）A. 命题“任意，”的否定为“存在，”B. 设等比数列的前n项和为，则“”是“公比”的充要条件C. 若对于任意实数λ，有，则向量，不共线D. “直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件【答案解析】 D分析：根据全称命题的否定为特称命题判断A选项；举反例判断B选项；若对于任意实数λ，非零向量满足，则向量，不共线，C错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k的值，然后判断两命题之间的关系.解答：命题“任意，”的否定为“存在，”，A错误；，当，n为奇数时有，B错误；若，为零向量，对于任意实数λ，有，但共线，C错误；两直线平行则，解得或1，当时两直线重合不满足条件，所以；由两直线垂直可得，解得或1. 所以“直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件，D正确.故选：D8 已知函数.给出下列结论：①的最小正周期为；②点是曲线的对称中心；③把函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像.其中所有正确结论的序号是（）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案解析】 B分析：本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确.解答：①：函数的最小正周期，①正确；②：，即，则曲线的对称中心为，点不是曲线的对称中心，②错误；③：函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，因为，所以③正确，故选：B.点拨：关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数向左平移个单位，得到，然后横坐标缩小倍，得到，再然后向上平移个单位，可以得到，考查推理能力，是中档题.9 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.解答：由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,,联立,可得,由，得，结合函数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.故选D.点拨：本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.10 i是虚数单位，纯虚数z满足，则实数m的值为________.【答案解析】 2分析：利用复数的除法运算将复数z整理为的形式，再根据z为纯虚数则实部为零求解m. 解答：为纯虚数，，解得.故答案为：211 在的展开式中，常数项是________.【答案解析】 60分析：由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令，运算即可得解.解答：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的二项展开式中，常数项为.故答案为：12 已知点和圆C：，则P在圆C________(填内､外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为________________.【答案解析】外；分析：根据点P距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径. 解答：，P在圆C外，设以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为，即，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为.故答案为：外；13 已知向量和的夹角为60°，，，则的值为________.【答案解析】分析：由已知求得，又由，求得，，从而利用，代入可求得答案．解答：因为，所以，又，所以，又向量和的夹角为，所以，得，所以，故答案为：．14 已知，，且，则的最小值为________.【答案解析】分析：利用换元法，设，，所以，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．解答：设，，所以．故，当且仅当时取等号，即时取等号．故答案为：．点拨：本题解题关键是通过换元法设，，转化为常见基本不等式模型，在的条件下求的最小值，从而顺利求解．15 已知.设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________.【答案解析】分析：欲利用单调性求值域，确定将，，分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合恒成立的a的取值范围.解答：（1）当时，，的值域为，则恒成立，故成立（2）当时，当，单调递减，故此时.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减①当时，在上单调递增.此时的值域为，恒成立②当时，在时，取得最小值当时，，则恒成立当时，.此时若即时，，此时不符合题意故，恒成立，（3）当时，时，为单调递增的一次函数，.时在上为增函数，值域为要有意义，则此时，.,故因此，恒成立综上所述，故答案为：点拨：（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.16 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求角C的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案解析】（1）30°；（2）；（3）.分析：（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求解即可.（3）首先计算，从而得到，，再计算的值即可.解答：（1）由余弦定理，得，又因为，所以.（2）由（1），有，由正弦定理，得.（3）解：由，知A为锐角，故，进而，，所以.17 如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）设点M为棱的中点，求证：平面；（2）求异面直线和所成角的余弦值；（3）棱SB上是否存在点N，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案解析】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的长为.分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明从而证明线面平行；（2）求出向量、的坐标，代入即可求解；（3）设，用表示出点N的坐标，求出平面SBC、平面ANC的法向量，由题意知则，即可带入坐标求得从而求得.解答：（1）证明：以点A为坐标原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，，，，，，.设点P为中点，则有，，，又因为平面，平面，所以平面.（2）由，，得.所以，异面直线和所成角的余弦值为.（3）由（1）中知，设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得，易知分别为平面ABCD、平面ABS的法向量，，平面ABCD与平面SBC不垂直，，平面ABS与平面SBC不垂直，所以点N不在棱SB的端点处，依题意，设，()，可得.设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得.由题意知，，则，解得.此时，.18 设数列{an}是公比为正整数的等比数列，满足，.设数列{bn}满足，.（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，并求{bn}的通项公式；（3）记，.求证：.【答案解析】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析.分析：（1）由，解得首项和公比可得答案；（2）由，可得进而求得答案；（3），用裂项相消可得证明.解答：（1）设数列的公比为q，有解得所以.（2）证明：，又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，进而，.（3）由（1）、（2）知，，所以，所以.点拨：方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19 已知椭圆C：()的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆位于x轴上方的部分，直线AB与y 轴交于点D，点E是y轴上一点，满足，直线与椭圆C交于点G.若的面积为，求直线AB的方程.【答案解析】（1）；（2）.分析：（1）由离心率及过的点和之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立得的坐标，由题意得点的坐标，再由题意得的坐标，表示出面积，求得的值，得到直线的方程.解答：（1）由已知，有，解得，所以椭圆C的方程为；（2）由（1）知，，.设直线的方程为()，其与椭圆C的交点满足方程组消去y得到，解得.在直线的方程中，令，解得，即得.设，由题意，有，解得. 进而得到直线的方程为，其与椭圆C的交点满足方程组消去x得到，解得，进而.由上述过程可得，，点G到直线的距离为.因此，，化简得，解得，所以直线的方程为.点拨：思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题意，结合椭圆的性质，结合之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20 已知函数，.（1）若，求函数的最大值；（2）若，（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；（ii）设，为方程()的解，求证：.【答案解析】（1）0；（2）（i）；（ii）证明见解析.分析：（1）当时，，求导.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数的最大值.（2）（i）记.设切点，求得过点P处的切线方程为.由已知解得，代入可得其切线方程；（ii）构造函数，求导，令，求导得，可得单调递增.又由，得出单调性，从而可得证.解答：解：（1）当时，，.当时，有，则单调递增；当时，有，则单调递减.因此，存在极大值，也即函数的最大值，所以函数的最大值为.（2）（i）记.取曲线上一点，则P处的切线方程为.由题意，有，即，变形后得到方程.记函数，由，知为增函数，故.将其代入切线方程，故所求切线方程.（ii）构造函数，则，令，则.有，故单调递增.又，因此当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，.由题意，.不妨设，由前述知，，即.所以.点拨：方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)统练数学试题(四)
天津市南开中学2020-2021学年高三（上）统练数学试题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设U =R ，{|21}x A x =>，2{|log 0}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|1}x x >C ．{|01}x x <D ．{|01}x x <2．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ） A ．1BC ．2D．3．设函数f (x )＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f (x )>f (1)的解集是（ ）A ．(－3，1)∪(3，＋∞)B ．(－3，1)∪(2，＋∞)C ．(－1，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，3)4．下列四个函数：①3y x =-；②()120x y x -=>；③2210y x x =+-；④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞ C ．(0,2) D ．13[,2)86．已知函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1，则a 的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．(0,1)C ．1(0,]2D ．(1,)+∞7．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，，B ．(1)(01)-∞-⋃，，C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，，D ．(10)(01)-⋃，， 8．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[2,2]m ∈-，2(3)()0f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞ C ．()3,3-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞9．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有(6)()+(3)f x f x f +=成立，且(6)2f -=-，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-.则给出下列命题：①(2016)2f =-；②6x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴；③函数()y f x =在(9,6)--上为减函数；④方程()0f x =在[9,9]-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题10．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2(1f x f x=，则()f x =_______ 11．已知函数()f x 的定义域为R ，直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，且()01f =，则()()410f f +=________.12．设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n *⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________ 13．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234____.x x x x +++=15．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数()3f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________.三、解答题16．设函数2()sin cos sin ()4f x x x x π=--.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()6f x π-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 17．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.（1）求证：//AC 平面PDB ； （2）求二面角PAB C 的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CECP的值；如果不存在，请说明理由.18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*11·()3n n n n S S a n N n++=+∈，且11a =. （1）证明：数列{}na n是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19．已知函数()()21ln 3f x t x tx t =+++，t ∈R .（1）若0t =，求证:当0x ≥时，()2112x f x x -≥+； （2）若()4f x x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求t 的取值范围.20．已知函数()()12f x lnx ax a R x=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln 2- （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式2211lnx m x x>--恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【分析】利用对数函数的性质，求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，利用指数函数的性质确定出集合A ，由全集U =R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合 【详解】易知{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则{|01}U A C B x x ⋂=<， 故选：C . 【点睛】本题属于以考查不等式的解法为平台，考查了交､并､补集的混合运算，是高考中常考的基本题型. 2．B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积 3．A 【分析】先求出(1)f ，再分0x ≥和0x <代入解析式解不等式，求出解集. 【详解】解：f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)． 【点睛】本题考查了对分段函数的理解与应用，一元二次不等式的解法，属于基础题. 4．B 【分析】分别求出所给4个函数的定义域和值域比较是否相同. 【详解】①3y x =-的定义域与值域均为R ， ②()120x y x -=>的定义域为()0,∞+，值域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， ③2210y x x =+-的定义域为R ，值域为[]11,-+∞，④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的定义域值域求解，考查学生对于一些简单基本初等函数的掌握情况，较简单. 5．B 【分析】根据题意，由单调性的定义可得22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，求出a 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，必有22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，解可得138a ，即13(,]8a ∈-∞； 故选：B. 【点睛】该题考查函数单调性的性质，注意分段函数的单调性的分析方法，属于基础题目. 6．A【分析】对x 进行分类讨论，当2x ≤时，()1f x x 和当2x >时，2log 1a x +≤.由最大值为1得到a 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，()1f x x ，()()21max f x f ∴==,函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1 ∴当2x >时，2log 1a x +≤.∴0121a a log <<⎧⎨≤-⎩，解得1[2a ∈，1)故选：A 【点睛】本题考查已知分段函数的最值求参数的范围，涉及对数函数求值域，属于中档题. 7．D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内8．A 【解析】()()f x f x -=-, 且()2cos 30f x x =-<' ，所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a-+>222(3)()()3f ma f a f a ma a⇒->-=-⇒-<-即223123111323a a a a a a a-<<⎧-<-⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--<-⎩⎩ ，选A. 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内 9．D 【分析】①首先判断出函数()y f x =是以6为周期的周期函数，可得(2016)(0)f f =，即可得到答案;②根据函数的周期性可以直接得到结论; ③利用单调性的定义可以得到答案;④根据(3)(3)0f f =-=，以及函数的周期性，得出答案. 【详解】对于①，令3x =-，由(6)()+(3)f x f x f +=得(3)0f -=，又函数()y f x =是R 上的偶函数，∴(3)(3)0f f =-=，∴(6)()f x f x +=，即函数()y f x =是以6为周期的周期函数，∴(2016)(3366)(0)f f f =⨯=；又(6)2f -=-，所以(0)2f =-，从而(2016)2f =-，即①正确；对于②，函数关于y 轴对称，周期为6，∴函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-，故②正确； 对于③，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-设12x x <，则12()()f x f x <，故函数()y f x =在[0,3]上是增函数，根据对称性，易知函数()y f x =在[3,0]-上是减函数，根据周期性，函数()y f x =在(9,6)--上为减函数，故③正确；对于④，因为(3)(3)0f f =-=，又由其单调性及周期性可知在[9,9]-，有且仅有(3)(3)(9)(9)0f f f f =-==-=，即方程()0f x =在[9,9]-上有4个根，故④正确.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的周期性和单调性，做题时要认真审题，属于中档题，1013【分析】根据1()2(1f x f x =，考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x ，用1x代替x 代入 1()2(1f x f x=-，解关于()f x 与1()f x 的方程组，即可求得()f x ．【详解】考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x，故可考虑利用换元法进行求解．在1()2(1f x f x =，用1x代替x ，得1()2(1f f xx=-，将1()1f x =-代入1()2(1f x f x=中，可求得1()3f x =．13+. 【点睛】此题是个基础题．本题主要考查通过给定条件求函数解析式的问题．联立方程求函数解析式是求解析式的一种重要方法． 11．2 【分析】（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，从而可推出()()2f x f x =+，进而可得出答案．（性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2，从而可求出答案． 【详解】解：（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，则()()222f x f x +=++⎡⎤⎣⎦，所以()()2f x f x =+，则()()()()410002f f f f +=+=. （性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2. 又()01f =，则()()()()410002f f f f +=+=. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，考查函数的周期性，属于中档题． 12．8 【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．82 【解析】试题分析：由()3sin 2f x x x =++知当时，()()1222f x f x +=⨯.1120-+=⨯，1919202020-+=⨯，⋅⋅⋅，(1)(1)22f f ∴-+=⨯，1919()()222020f f -+=⨯，⋅⋅⋅，则()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由()3sin 2f x x x =++可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题. 14．8- 【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可. 【详解】解：定义在R 上的奇函数()f x ，所以()()f x f x -=-，(0)0f =，又(4)()f x f x -=-，所以()()(4)8f x f x f x =--=-，8是函数()f x 的一个周期，所以()(4)()4f x f x f x -=-=+，所以2x =-是函数的一条对称轴，函数的对称轴是()42x k k Z =-∈，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，12344,12x x x x +=+=-，所以12348x x x x +++=-， 故答案为：8- 【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.15．33,4⎛--⎤⎥⎝⎦【分析】根据新定义可得31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()11111f f f x m --==+--，∴31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，∴()311x m x -=-，21m x x =---，()1,1x ∈-.∵2213124y x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在()1,1-的值域为33,4⎛--⎤ ⎥⎝⎦， 所以方程有解实数m 的取值范围是33,4⎛--⎤⎥⎝⎦， 故答案为：33,4⎛--⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查函数在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题．16．（1）最小正周期π；（2）最大值是12，最小值是【分析】（1）由三角恒等变换化简()f x ，利用周期公式即可求最小正周期. （2）求()6f x π-解析式，1()sin(2)632f x x ππ-=--，然后根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出其值域后，，即可得到最大最小值. 【详解】 （1）21()sin cos sin ()sin 242f x x x x x π=--=-，∴函数()f x 的最小正周期T π=；（2）由（1）得1()sin(2)632f x x ππ-=--， [0x ∈，]2π，22333x πππ∴--，sin(2)[3x π∴-∈1]，1()[62f x π∴-∈-，1]2，()6f x π∴-在[0，]2π上的最大值是12，最小值是. 【点睛】本题考查三角函数的周期性和三角函数的值域，以及三角函数平移变换和三角恒等变换，属于中档题.17．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）7-;（Ⅲ）见解析. 【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面PDB 找一线与之平行即可，显然分析//DB AC 即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠，所以PC 与AB 不垂直，故不存在试题解析：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =，所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=， 又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB ⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ， 所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.以,,DB DA DP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则由已知可知()1,0,0B，()A ，()0,0,1P，()C .平面ABC 的法向量()n 0,0,1=，设()m ,,x y z =为平面PAB 的一个法向量，则 由m 0,{m 0BA BP ⋅=⋅=可得令1y =，则x z ==，所以平面PAB的一个法向量(m 3,1,=，所以m n 3cos m,n 7m n⋅===所以二面角PAB C 的余弦值为7-. （Ⅲ）由（Ⅱ）可得()1,AB =，()1PC =-， 因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性18．（1）证明见解析；（2）99314423nn n S ⎛⎫ ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭⎭⎪⎝.【分析】（1）利用11n n n S S a ++-=化简，证明n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）可得113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅，再利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）证明：根据题意可得，11·3n n n n S S a n++-=， 11·3n n n a a n ++∴=， ∴11·13n n a an n +=+， 11a =，∴数列{}n a n是以1为首项，以13为公比的等比数列，（2）由（1）可得11()3n n a n -=，11·()3n n a n -∴=，012111111()2()3()()3333n n S n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，∴123111111()2()3()()33333n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅， ∴123111************()()()()()()()()1333333322313n n n n n n S n n n --=++++⋯+-⋅=-⋅=-+⋅-， 9931()()4423n n n S ∴=-+⋅.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式､数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）[)1,+∞． 【分析】（1）将0t =代入解析式得()ln f x x =，从而有()()1ln 1f x x +=+，令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，求导判断函数的单调性，从而求出最值得出结论； （2）由题意得()21ln 340t x tx t x +++-≥，令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，先根据()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，从而可推出函数()x ϕ在[)1,+∞递增，从而得出结论． 【详解】（1）证：当0t =时，()ln f x x =，()()1ln 1f x x +=+，即证()21ln 12x x x -≥+； 令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，则()201xg x x '=>+，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ≥=， 即()2112x f x x -≥+； （2）解：由()()241ln 340f x x t x tx t x ≥⇒++-≥+， 令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，首先由()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，因为1t ≥所以()16810t t ∆=-+≤， 所以()0h x ≥恒成立，即()0x ϕ'≥，()x ϕ在[)1,+∞递增， 故()()1440x t ϕϕ≥=-≥， 综上：t 的取值范围[)1,+∞． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查恒成立问题，属于难题． 20．（1）()f x 在0,单调递减；（2）(],0-∞.【解析】 试题分析：(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数a 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数b 满足()0g x b >> ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为0 . 试题解析：（1）由题意得()221,0f x a x x x=+->' ∴()324f a '=+， ∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=- 即32214y a x ln ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， ∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-， ∴()()22212110x f x x xx--=--=≤'函数()f x 在()0,+∞单调递减； （2）由题意知0x >且1x ≠，原不等式2211lnx m x x>--等价于21121lnx x m x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，设()()22111211g x lnx x f x x x x⎛⎫=-+= ⎪--⎝⎭， 由（1）得()f x 在()0,+∞单调递减，且()10f =，当01x <<时，()()0,0f x g x >>；当1x >时，()()0,0f x g x ； ∴()0g x >，假设存在正数b ，使得()0g x b >>，若01b <≤，当1x b >时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； 若1b >，当11x b <<时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； ∴不存在这样的正数b ，使得()0g x b >>，∴()g x 的值域为()0,+∞ ∴m 的取值范围为(],0-∞.点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．。
2020届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题
2020届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】【详解】 分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果。
详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。
2．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．3．已知a ，b ，c ，d 是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是 A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】通过取特殊值，依次排除选项，得到结果.【详解】 选项：取，，，则，，可知错误；选项：取，，，则，，可知错误； 选项：取，，，则，，又，可知错误；选项：设，，则则要证，只需证即证：，又，只需即可即证：又，则只需即可即综上所述：，可知正确.本题正确选项： 【点睛】本题考查不等式相关问题，通过取特殊值排除的方法是较简单的方法.证明的难点在于能够将利用平方差公式进行分子有理化，将问题进行转化.4．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ D ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<， ∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．5．如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n N ++++=≠∈，*1122,,n n n n n n B B B B B B n N ++++=≠∈.（P Q P Q ≠表示点与不重合）若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A【解析】试题分析：n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度的一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，由于1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那么11sin n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(sin )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(sin )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅， 作差后：1111(sin )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．【考点】等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +A B B 的高，再求出1n n n +A B B 和112n n n A +++B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．6．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f xx x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-， 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题7．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图：且，解得，，．故选：．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.8．梯形ABCD 中，// 4 1260AB CD AB DC AD DAB ︒===∠=，，，，，点E 在直线BD 上，点F 在直线AC 上，且4BE BDCF CA AE DF λμ==⋅=，，，则λμ+的最小值为（ ） A ．1146+ B ．113C ．46D ．1146- 【答案】A【解析】根据平面向量基本定理，将,AB AD 当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出(1),AE AD AB λλ=+-14DF AD AB μμ-=-+，结合4AE DF ⋅=，化简得3380λλμμ-+-=，将μ表示成λ的关系式，再结合基本不等式求解即可 【详解】14AC AD DC AD AB =+=+， 1CF CA AD AB ,4μμ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭BE ()BD AD AB λλ==-(1),AE AB BE AD AB λλ=+=+-11114444DF DC CF AB CF AB AD AB AD AB μμμ-⎛⎫=+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由4AE DF ⋅=，化简得3380λλμμ-+-=，则3338811811,23838338333λλλμλμλλλλ-=+=+=+++=---， 当且仅当388338λλ-=-时取“=”号 故选：A【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法与减法的线性运算，基本不等式求最值，运算能力，属于难题9．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x π∈时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确，由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选：D ． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题10．已知20b a >>，则()212b a b a +-的最小值为__________．【答案】【解析】可采用拼凑法，令()()12222a b a a b a =--，再结合基本不等式求解即可【详解】因为()()22222224a b a b a b a +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，所以()()221428,2222a b a b a b a b ≥≥--，()222182b b a b a b +≥+≥=-35442,2b a -==时取到“=”号故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是_______.【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．已知a b ，为正实数，且()()234a b ab -=，则11a b+的最小值为____． 【答案】2.【解析】分析：先通过()()234a b ab -=结合基本不等式求出2()8a b ab+≥，再开方得到11a b+的最小值. 详解：由题得22()()4a b a b ab -=+-，代入已知得23()4)4a b ab ab +=+（，两边除以2()ab得3222224)41()4()48a b ab ab ab ab a b a b ab +=+=+≥⋅=（当且仅当ab=1时取等.所以11a b+≥ 即11a b+的最小值为.故答案为点睛：本题的难点在要考虑到通过变形转化得到23()4)4a b ab ab +=+（，再想到两边除以2()ab 得21()4()8a b ab ab ab+=+≥，重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力. 13．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足*()2n n na nS n N a =+∈.若对于任意的N n *∈，都有n a k >成立，则整数k 的最大值为_________________. 【答案】1 【解析】根据2n n na n S a =+可求得22n S n n =+，进而得到n a 的通项公式；根据通项公式可证得数列{}n a 为递减数列，可求得lim 1n n a →+∞=，由此得到k 的最大值为1. 【详解】 当1n =时，11112a S a =+，解得11a S == 当2n ≥且*n N ∈时 由2n n na n S a =+得：222n n n a S a n =+，即()()21122n n n n n S S S S S n ---=-+ 整理得：2212n n S S n --= 22n S n n ⇒=+，即n S ==1n n n a S S -∴=-===因为1a =n a =n a ∴=1n a +=1n n a a +∴-=-=21212n n-++==21n n -< (222212n n n ∴+=+<+=即1<10n na a +∴-<，即数列{}n a 为递减数列又lim limlim1n n n n a →+∞===1n a ∴>则整数k 的最大值为1 【点睛】本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用n S 求得n a 的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果；难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高.14．已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围. 详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 15．已知函数()3214f x x x x =-+， 则: (1)曲线()y f x =的斜率为1的切线方程为__________;(2)设()()()()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[]2,4-上的最大值为()M a .当()M a 最小时，a 的值为__________． 【答案】y x =与6427y x =--3 【解析】（1）先求导，根据导数几何意义求出切线的斜率，再结合点斜式求出方程即可 （2）令()()[] 2,4g x f x x x =-∈-，，结合导数求得()[]6,0g x ∈-，再令()m g x =，则()()()m m a F a R +-=∈，[]6,0m ∈-，结合绝对值函数的对称性，进一步讨论参数a 与-3的关系即可求解 【详解】(1) 由()3214f x x x x =-+得()23'214f x x x =-+， 令()'1f x =，即232114x x -+=，得0x =或83x =又()8)8027(03f f ==， 所以曲线() y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=- 即y x =与6427y x =-(2)令()()[] 2,4g x f x x x =-∈-，.由()3214g x x x =-得()23' 24g x x x =-， 令()'0g x =得0x =或83x =()()'g x g x ，的情况如表:x2-()2,0-80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭838,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4()g x ' +-+()g x6-6427-所以()g x 的最小值为6-，最大值为0，可令()m g x =，则()()()m m a F a R +-=∈，[]6,0m ∈-，此时根据绝对值函数的对称性进行分类讨论，当3a -=时，即3a =-时，如图：函数()F x 的对称轴为3x =-，此时()()()063M a F F ==-=； 当3a -<时，即3a >-时，如图：()()6666M a a a F a =-=--=+=+，当3a →-时，()min 3M a →；当3a ->时，即3a <-时，如图：()()0a M F a a ==-=-，当3a →-时，()min 3M a →；综上所述，当()M a 最小时，a 的值为-3 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，绝对值函数的对称轴与最值的关系，数形结合思想，学会转化函数，构造函数是解题的关键，属于难题三、解答题16．秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程.选某艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且()7010P ξ>=(1)求选该艺术课程的学生人数; (2)写出ξ的概率分布列并计算()E ξ. 【答案】(1) 5人(2) 分布列见解析，()45E ξ=【解析】（1）可设既会唱歌又会跳舞的有x 人，表示出艺术课的总人数和只会一项的人数，先求对立事件的概率，既会唱歌又会跳舞的对立事件为：只会唱歌或跳舞中的一项，再根据古典概型公式即可求解；（2）根据题意求出每一符合条件的概率事件对应的概率值，列出分布列，求值即可； 【详解】(1) 设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则该艺术课程的总人数共有7x -人，那么只会一项的人数是72x -人.因为701()()1010()P P P ξξξ>=≥=-==所以()3010P ξ==，即27227310xx C C --=，解得2x =. 故选该艺术课程的共有5人.(2) 因为1123253) 15(C C P C ξ⋅===， 2225(121)0C P C ξ=== 所以ξ的概率分布列为所以()3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查集合中容斥原理的应用，组合公式的应用，古典概型，分布列和期望的求法，属于中档题17．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)3(Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面AEF的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】(Ⅰ)由于P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，则P A⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且P A∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面P AD.(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ，由13PF PC =可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，由12PE PD =可得()0,1,1E ， 设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-， 很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =，3cos ,331m n m n m n⋅<>===⨯⨯， 二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P 的余弦值为33. (Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则422,,333AG ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-，其0m AG ⋅=且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.18．等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,4a a a ，成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和()*12nn n b S n N +=∈，，且11b = (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; .(2)设*252123 n n n n n b c a n N b b +++=∈，，求证:113nk k c =<∑ 【答案】(1) ()*12nn a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，*( )n b n n N =∈ (2) 证明见解析【解析】（1）根据题意，结合5462,4a a a ，成等差数列化简，可得2210q q +-=，解得12q =，再结合2432444a a a a ==，可求得首项，进而求出n a ；采用()12n n n b S S n -=-≥化简即可求得n b ； （2）由（1）化简252123n n n n n b c a b b +++=得()()111212232n n n c n n -=-+⋅+⋅，结合叠加法公式即可求证 【详解】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q ， 依题意，有45622 4a a a =+，所以24442a a q a q =+因为0n a >,所以0q >，且2210q q +-=，解得12q =或1q =-(舍)， 因为2432444a a a a ==所以214a =所以112a =所以数列{}n a 的通项公式为()*12nn a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭当2n ≥时，11(1)22n n n n n n b nb b S S --+=-=- 整理得()11 n n n n b b --=,即()121n n b bn n n -=≥-所以数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111b =的常数列.所以1nb n=，即*()n b n n N =∈， 所以数列{}n b 的通项公式为*( )n b n n N =∈.(2)由(1)，得()()2521235221212132112232nn n n n n n b n c a b b n n n n +++⎛⎫-⋅ ⎪++==⋅=+++⎝⎭()()111212232n nn n -=-+⋅+⋅所以01121111132525272nk k c =⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑()()111212232n n n n -⎛⎫++- ⎪ ⎪+⋅+⋅⎝⎭()11132323n n =-<+⋅ 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，n a 与n S 的关系求通项，裂项公式、叠加法的应用，属于中档题19．已知数列{}n a 中，11a =，11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数. （1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ，并求满足0n S >的所有正整数n . 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】分析：（1）设232n n b a =-，推导出113n nb b +=，由此能证明数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）推导出12311263n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭1123n⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，由()2211213n n a a n -=+-，得()2123321n n a a n -=-- 111156232n n -⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭，1212111233n nn na a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1692693nn n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭，从而()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++ 由此能求出满足S n ＞0的所有正整数n 的值．（1）设232n n b a =-， 因为()2122122133213223322n n n nn n a n a b b a a +++++--==-- ()()22136213232n n a n n a -++-=-2211132332n n a a -==-， 所以数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. （2）由（1）得12311263n n n b a -⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭ 1123n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由()2211213n n a a n -=+-，得()2123321n n a a n -=-- 111156232n n -⎛⎫=-⋅-+⎪⎝⎭， 所以1212111233n n n n a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1692693nn n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭， ()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++21112333n⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()6129n n -++⋅⋅⋅++111332113n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⋅- ()1692n n n +-⋅+211363nn n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ()213123nn ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减， 又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2122n n n S S a -=- 231536232nn n ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭， 同理，当且仅当1n =时，210n S ->，综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2.点睛：本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n 项和的正整数的最大值的求法，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【答案】（1）见解析（2）16a =- 【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可。
2020届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
所以 ，即 ，解得 .
故选该艺术课程的共有 人.
(2)因为 ，
所以 的概率分布列为
所以
【点睛】
本题考查集合中容斥原理的应用，组合公式的应用，古典概型，分布列和期望的求法，属于中档题
17．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ．
二、填空题
10．已知 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】可采用拼凑法，令 ，再结合基本不等式求解即可
【详解】
因为 ，所以 ，
，当且仅当 时取到“=”号
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题
11．如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点， ， ，则 的值是_______.
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面 的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】
(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理，将 当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出 ，结合 ，化简得 ，将 表示成 的关系式，再结合基本不等式求解即可
【详解】
，
，
由 ，化简得 ，
则 ，
当且仅当 时取“=”号
故选：A
【点睛】
2020-2021届天津四中高三数学第三次月考
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三、解答题（本大题共 5 小题，共 75.0 分）
16. 在△ ABC中,已知 sin B 6 ，b sin A 6a sin C，c 1 26
(Ⅰ) 求边 a 的值和 ABC的面积； (Ⅱ) 求 sin(2A ) 的值.
3
17. 在四棱锥
中， 平面 ABCD，
上的单调性，即可得． 在 R 上为奇函数，
上为增函数，
【解析】 【分析】
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本题考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题．
设
，则
，
，由
，利用余弦定理，可得
，从而
是
等腰直角三角形，即可求椭圆 E 的离心率．
【解答】
，
，
，
，
，
E 是 PA 的中点，F 在线段 AB 上，且满足
．
Ⅰ 求证： 平面 PBC；
Ⅱ 求二面角
的余弦值；
Ⅲ 在线段 PA 上是否存在点 Q，使得 FQ 与平面 PFC 所成角的余弦值是 ，若存在，求出 AQ 的长；
若不存在，请说明理由．
18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：
的离心率为 ，短轴长是 2．
A.
B.
C.
D.
9. 已知函数 A.
，且
在 R 上单调递增，且关于 x 的方程
恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
10. 若
，则 z 的共轭复数为__________．
11. 如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
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若 ， 为零向量，对于任意实数λ，有 ，但 共线，C错误；
两直线平行则 ，解得 或1，当 时两直线重合不满足条件，所以 ；由两直线垂直可得 ，解得 或1.所以“直线 与 平行”是直线 与 垂直”的充分非必要条件，D正确.
故选：D
8．B
【分析】
本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线 的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确.
， 恒成立，
（3）当 时， 时， 为单调递源自的一次函数， .时在 上为增函数，值域为
要有意义，则 此时 ， .
,故
因此 ， 恒成立
综上所述，
故答案为：
【点睛】
（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.
（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（）
A．y＝ B．y＝
（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.
15．外
【分析】
根据点P距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径.
【详解】
， P在圆C外，
设以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为 ，
即 ，
以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为 .
当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“ ”或“ ”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．
6．D
【分析】
对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于 的等式，进而可求得 的值.
【详解】
在椭圆 中，由已知可得 ，解得 .
若椭圆的焦点在 轴上，可得 ，解得 ；
由上述过程可得， ，
点G到直线 的距离为 .
因此， ，
化简得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：
故答案为：外；
16．（1） ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）利用余弦定理求解即可.
（2）利用正弦定理求解即可.
（3）首先计算 ，从而得到 ， ，再计算 的值即可.
【详解】
（1）由余弦定理，得 ，
又因为 ，所以 .
（2）由（1），有 ，
由正弦定理，得 .
（3）解：由 ，知A为锐角，故 ，
进而 ， ，
12．已知向量 和 的夹角为 ， ， ，则 的值为________.
13．已知 ， ，且 ，则 的最小值为________.
14．已知 .设函数 若关于x的不等式 恒成立，则a的取值范围为________.
三、双空题
15．已知点 和圆C： ，则P在圆C________(填内､外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为________________.
若椭圆的焦点在 轴上，可得 ，解得 .
因此， 或 .
故选：D.
7．D
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题判断A选项；举反例判断B选项；若对于任意实数λ，非零向量 满足 ，则向量 ， 不共线，C错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k的值，然后判断两命题之间的关系.
【详解】
命题“任意 ， ”的否定为“存在 ， ”，A错误；
18．设数列 是公比为正整数的等比数列，满足 ， .设数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求证：数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（3）记 ， .求证： .
19．已知椭圆C： ( )的离心率 ，且点 在椭圆上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆位于x轴上方的部分，直线 与y轴交于点D，点E是y轴上一点，满足 ，直线 与椭圆C交于点G.若 的面积为 ，求直线 的方程.
（1）当 时， ， 的值域为 ，则 恒成立，
故 成立
（2）当 时，
当 ， 单调递减，故此时 .
当 时， ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减
①当 时， 在 上单调递增.
此时 的值域为 ， 恒成立
②当 时， 在 时， 取得最小值
当 时， ，则 恒成立
当 时， .此时若 即 时， ，此时不符合题意
故
所以 .
17．（1）证明见解析；（2） ；（3）存在， 的长为 .
【分析】
（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明 从而证明线面平行；（2）求出向量 、 的坐标，代入 即可求解；（3）设 ，用 表示出点N的坐标，求出平面SBC、平面ANC的法向量，由题意知 则 ，即可带入坐标求得 从而求得 .
【详解】
【点睛】
方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.
19．（1） ；（2） .
【分析】
（1）由离心率及过的点和 之间的关系求出椭圆的标准方程；
（2）由（1）得 的坐标，设直线 的方程，与椭圆联立得 的坐标，由题意得点 的坐标，再由题意得 的坐标，表示出面积，求得 的值，得到直线 的方程.
③把函数 的图像上所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图像.
其中所有正确结论的序号是（）
A．①B．①③C．②③D．①②③
9．已知函数 ，若方程 有且只有三个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．i是虚数单位，纯虚数z满足 ，则实数m的值为________.
11．在 的展开式中，常数项是________.
C．y＝ D．y＝
3．函数 ， 图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．已知公差不为0的等差数列 的首项 ，若 ， ， 成等比数列，则 的前5项之和为（）
A． B． C． D．
5．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（）
A． B．
C． D．
6．椭圆 的焦距为4，则 的值为（）
A． B． C． 或 D． 或
7．以下命题正确的是（）
A．命题“任意 ， ”的否定为“存在 ， ”
B．设等比数列的前n项和为 ，则“ ”是“公比 ”的充要条件
C．若对于任意实数λ，有 ，则向量 ， 不共线
D．“直线 与 平行”是直线 与 垂直”的充分非必要条件
8．已知函数 .给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
②点 是曲线 的对称中心；
9．D
【分析】
先将 有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.
【详解】
由 得 ，即 ，设 ， , 的顶点 在直线 上，而 与 的交点坐标为 , ,联立 ,可得 ,由 ，得 ，
结合函数 ， 的图像可得，要使 有且只有三个不同的实数根，只需 .
故选D.
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.
【分析】
（1）由 ， 解得首项和公比可得答案；
（2）由 ，可得 进而求得答案；
（3） ，用裂项相消可得证明.
【详解】
（1）设数列 的公比为q，有 解得 所以 .
（2）证明： ，
又因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
其通项公式为 ，进而， .
（3）由（1）、（2）知 ， ，所以
，
所以 .
【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.
4．D
【分析】
首先根据题意得到 ，解得 ，再计算 即可.
【详解】
根据题意， ， ， 成等比数列，即 ，
则有 ，解可得 或 （舍 ，
则 的前5项之和 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查等差数列的前 项和，同时考查了等比中项，属于简单题.
5．B
【分析】
分别判断 ， 和 ，再代入计算，可得 .
【详解】
因为 ，所以 ；又因为 ，所以 ；
又 ，所以 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确；
10．2
【分析】
利用复数的除法运算将复数z整理为 的形式，再根据z为纯虚数则实部为零求解m.
【详解】
为纯虚数， ，解得 .
故答案为：2
11．60
【分析】
由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令 ，运算即可得解.
【详解】
二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以 的二项展开式中，常数项为 .
（1）证明：以点A为坐标原点，向量 ， ， 的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.
易知， ， ， ， ， ， .
设点P为 中点，则有 ，
， ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由 ， ，得 .
所以，异面直线 和 所成角的余弦值为 .