最新二项式定理复习课教案

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二项式定理复习课教案

一教学对象分析

学生已经在高二学习了《二项式定理》的全部内容，对这部分内容已经有了全面的了解。在这个基础上，让学生在老师的指导下，对《二项式定理》进行全面的复习应用，巩固和加深。在复习的过程中，渗透了《排列组合》等其它的内容，加强了知识点之间的联系，培养学生综合运用知识的能力。

二教学内容分析

1. 本节内容包括以下几部分：

(1)二项式展开式的特点。

(2)二项式定理的证明。

(3)二项式定理的应用。

2. 本节内容不多，但运用了多种数学方法，对于培养学生的发散思维能力和逆向思维能力等都有很大的帮助。

三重点二项式定理

难点《二项式定理》的应用

四教学过程

(一)复习《二项式定理》

(a+b) n=C n°a n+Cn2a n-1 +…+Cn n(1)

要学好该定理，应注意从以下几方面进行理解和应用

1•展开式的特点

(1)项数n+1项

⑵系数都是组合数，依次为c n,CiC n…,C

⑶指数的特点1)a的指数由n -------- ► 0(降幕)。

2 )b的指数由0 n (升幕)。

3) a和b的指数和为n。

2。定理的证明方法：数学归纳法(运用了组合数的性质) (略，学生自己看书)

3•展开式(1)是一个恒等式，a, b可取任意的复数，n为任意的自然数。

例1求(1+2i) 5的展开式(学生先练，老师后讲)

解：因为a=1, b=2i , n=5,由二项式定理，得

(1+2i) 5=C；+C；2i+C5 (2i) 2+C 5 (2i)3+C：(2i)4+C；(2i)5

=1+10i-40-80i+80+32i

=41-3 8i

评析：由这个恒等式a, b取值的任意性，我们可以令a, b分别取一些不同的值来解决

某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。

7 2 3 4 5 6 7

例 2 若( 1+2x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x +a6x +a7x ,求

(1 )展开式中各项系数和。(2) a0+a2+a4+a6的值。

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解：(1)利用赋值法，令 x=1，得

(1+2) 7=a o +a i +a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=37=2187 (!) 令 x=-1 ,

(

1-2

) =a o +a i -a 2+a 3-a 4+a 5-a 6+a 7=-1

(2)

(1) + (2),得

2a o +2a 2+2a 4+2a 6=2187 -仁 2186 即 a o +a 2+a 4+a 6=1093

练习 1: ( 3 +2x ) 3=a o +a 1X+a 2X 2+a 3X 3，求(a °+a 2) 2- (a 1+a 3)2 的值。(1999 年高考题) (学生先练，老师后讲)

解：令 x=1，得 a o +a 什a 2+a 3= ( 3 +2) 3

(1) 令 x=-1，得 a o -a 1+a 2-a 3= (

3-2) 3

(2)

(1)x( 2), 得

2

2 t

3 J

3

(

a o

+a 1+a 2+a 3

) (

a o

-a 什a 2-a 3) = (%+玄2) - (a 1-a 3) = ( ■■■ 3 +2)

(

•_ 3-2) =-1

4.定理的逆向应用

54

3

2

_1

例 3 f (x ) =x -5x +10x -10x +5x+1，求 f (x )

解：因为 x 5_5x 4+10x 3-10x 2+5x-1= (x-1 ) 5

所以 f (x ) = (x-1 ) 5+2，得

-1

1/5

f (x ) = (x-2) +1

练习 2 :设 a=2+i ，求 A=1-C'a+C^a 2-…+C ；；a 12

1

2

2

12

12

12

12

12

12

解：A=1-C 12 a+C 12a -…+C 12 a = (1-a ) = (1-2-i ) = (-1-i ) = (2i ) =-64

例 4 求 1-90C ；0 + …+ (-1) k 90c 10 + …+90C ；0 除以 88 的余数。

点R d CC/1"* 1 / N 、\ 八八 K — — 10 /丄八八\ 10/CC N\ 10 0 C C 10 1 C C 9 解：1-90C 10 + …+ (-1 ) 90C 10 + …+90C 10=( 1-90) = (88+1) =C 1088 +C 10 88 + …+

所以原式除以88的余数为1

评析：定理的逆用是全面掌握好定理的一个必不可少的环节，利用逆向思维解题也是数 学思想的一个重要组成部分。 四小结

1. 本节主要复习了《二项式定理》的展开式的特点和证明方法。

2. 复习了《二项式定理》在解题中的应用。 其中包括赋值法求系数和的方法和逆向应用等。

9 C 10 88+C 10 10

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五.作业处理

1. 教材部分相应的练

习。

2. 周练。

附：教学流程图

小结

作业.

结束