考虑如下线性规划问题

考虑如下线性规划问题:

Min z=60

x+402x+803x

1

s、t、3

x+22x+3x≥2

1

4

x+2x+33x≥4

1

2

x+22x+23x≥3

1

x,2x,3x≥0

1

要求:(1)写出其对偶问题;

(2)用对偶单纯形法求解原问题;

(3)用单纯形法求解其对偶问题;

(4)对比(2)与(3)中每步计算得到的结果。

解:(1)设对应于上述约束条件的对偶变量分别为

y,2y,3y;则由原问题

1

与对偶问题,可以直接写出对偶问题为:

Max Z’=2

y+42y+33y

1

s、t 3

y+42y+23y≤60

1

2

y+2y+23y≤40

1

y+32y+23y≤80

1

y,2y,3y≥0

1

(2)用对偶单纯形法求解原问题(添加松弛变量

x,5x,6x)

4

MaxZ= -60

x-402x-803x+04x+05x+06x

1

s、t -3

x-22x-3x+4x=-2

1

-4

x-2x-33x+5x=-4

1

-2

x-22x-23x+6x=-3

1

x,2x,3x≥0

1

建立此问题的初始单纯形表,可见:

从表中可以瞧到,检验数行对应的对偶问题的解就是可行解。因b列数字为负,故需进行迭代运算。

换出变量的确定,计算min(-2,-4,-3)=-4,故

x为换出变量。

5

换入变量的确定,计算得15,40,80/3,故

x为换入变量。

1

由表可知,

x为换出变量。2x为换入变量。然后继续画单纯形表:

6

可得

x为换出变量,3x为换入变量。继续做单纯形表:

4

所以此问题的最优解为X=(11/10,19/30,1/10),此对偶问题的最优解为Y=(16,12,30),原问题的最小值为118/3、

(3)MaxZ’=2

y+42y+33y+04y+05y+06y

1

s、t 3

y+42y+23y+4y=60

1

2

y+2y+23y+5y=40

1

y+32y+23y+6y=80

1

y,2y,3y,4y,5y,6y≥0

1

然后建立单纯形表,可得

由此可知,

y为换出变量,2y为换入变量。继续画单纯形表,

4

由此可知,

y为换出变量,3y为换入变量。继续画单纯形表,

5

由此可得最后一行的检验数都已经为负或就是零,这表示目标函数值已不可能再增大,于就是得到最优解为

Y=(0,20 /3,50/3,0,0,80/3)

目标函数值为230/3

(4)比较第二问与第三问,主要就是换出变量与换入变量的关系:

第(2)问里,

x为换出变量,1x为换入变量;6x为换出变量。2x为换入变

5

量;

x为换出变量,3x为换入变量！

4

第(3)问里,

y为换出变量,2y为换入变量;5y为换出变量,3y为换入变

4

量！