自动化_数字信号处理实验5答案 xiaohua

实验五 IIR 滤波器设计

一、 实验目的

1. 掌握冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理和方法；

2. 观察双线性变换法和冲激响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法和冲激响应

不变法的特点和区别。

二、 实验仪器

1. 计算机

2. MA TLAB 软件

三、 预习要求

理解冲激响应不变法，双线性变换法，掌握常用 matlab 程序。

四、 实验原理

1. IIR 数字滤波器一般为线性移不变的因果离散系统，N 阶IIR 滤波器的传递函数为：

1

()()()

1M

k

k

k N

k

k

k b

z

Y z H z X z a

z

-=-==

=

+

∑∑，式中系数k a 至少有一个不为0。

IIR 数字滤波器的设计通常利用模拟滤波器作为原型滤波器，直接由模拟滤波器的频率响经过冲激响应不变法或双线性变换法转换成IIR 数字滤波器。 2. 常用模拟原型滤波器 （1）巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器通带和阻带都单调衰减，所有结束的幅度函数-3dB 点为同一点。其幅度响应为：

2

21()

1a N

c H j Ω=

⎛⎫

Ω+ ⎪

Ω⎝⎭

，式中N 为滤波器阶数，c Ω通带截止频率。

（2）切比雪夫Ⅰ型滤波器

切比雪夫Ⅰ型滤波器在通带呈现等波纹特性，阻带单调衰减，其幅度响应为：

2

2

2

1

()

1(

)

a N c

H j C εΩ=

Ω+Ω，式中N 为滤波器阶数；01ε

<<，表示通带波纹大小，ε越大，波纹越大；

c

Ω为截止频率，不一定为3dB 带宽；()N C x 为N 阶Chebyshev 多项式。

（3）切比雪夫Ⅱ型滤波器

切比雪夫Ⅱ型滤波器在阻带呈现等波纹特性，通带单调衰减，其幅度响应为：

2

2

21

()

()1(/)a N st N st H j C C εΩ=

⎡

⎤Ω+⎢⎥

ΩΩ⎣⎦

，式中st Ω是阻带衰减达到一定数值时的最低频率。

（4）椭圆滤波器

椭圆滤波器在通带和阻带都呈现波纹特性，在带内均匀波动，具有最快的滚降。

2

2

2

1()

1()

n H R εΩ=

+Ω，式中()n R Ω为椭圆函数。

3. 冲激响应不变法

所谓冲激响应不变法就是使数字滤波器的单位冲激响应序列()h n 等于模拟滤波器的单位冲激响应和()a h t 的采样值，即：()()

()a t nT

a h n h t h nt ===，其中，T

为采样周期。

令()a H s 为模拟系统传递函数，且1

()N

k a k k

A H s s s ==-∑

，则冲激响应不变法得到的数字滤波器传递函

数1

1()1k N

k

s T

k TA H z e z

-==-∑

。

冲激响应不变法的特点是： （1）时域逼近特性良好；

（2）模拟频率Ω和数字频率ω呈线性关系T

ω

=Ω。

（3）存在频率混叠效应，故只适用于限带的模拟滤波器。

在 MA TLAB 中，可用函数 impinvar 实现从模拟滤波器到数字滤波器的冲激响应不变映射，调用格式为：

[bz,az]=impinvar(b,a,fs) [bz,az]=impinvar(b,a)

其中，b 、a 分别为模拟滤波器的分子和分母多项式系数向量；fs 为采样频率（Hz ），缺省值 fs=1Hz ；bz 、az 分别为数字滤波器分子和分母多项式系数向量。

举例：若H a (s)=6

512

+++s s s ，则b=[1,1];a=[1,5,6]。

4. 双线性变换法

由于s 平面和z 平面的单值双线性映射关系为11

211z s

T z

---=+，其中 T 为采样周期。因此，若已知

模拟滤波器的传递函数，将上式代入即可得到数字滤波器的系统函数()H z 。 在双线性变换中，模拟角频率和数字角频率的变换关系为：22

tg

T ω

Ω=，可见，模拟频率Ω和数

字频率ω之间的变换关系为非线性的。 双线性变换法的特点是：

（1）由于映射是单值变换关系，避免了冲激响应不变法的频率混叠现象； （2）当频率Ω增加时，变换关系存在着严重的非线性。

在 MA TLAB 中，可用函数 bilinear 实现从模拟滤波器到数字滤波器的双线性变换映射，调用格式为：[bz,az]=bilinear(b,a,fs) 5. 数字滤波器设计步骤

（1）将技术指标转换为模拟低通原型设计性能指标。 （2）估计满足性能指标的模拟低通性能阶数和截止频率。

利用 MA TLAB 中 buttord 、cheb1ord 、cheb2ord 、ellipord 等函数，调用格式如：

[,](,,,,='')n P S P S N W buttord W W R R s

其中，P W 和S W 分别是滤波器的通带截止频率p Ω和阻止截止频率s Ω，单位为/rad

s

；P R 和S R 分别