第十章 z变换

例 指数函数的z变换
x[n] = anu[n]
其z变换为：
X ( z ) n a u[n]z
n
n
n 0 (az 1 ) n

X(z)要收敛，要求：


( az ) n 0
1 n


( az ) n 0
az
1
1 n
收敛域为：

1 or | z || a |
例 有一z变换X(z)为
X ( z)
1 1 1 பைடு நூலகம்1 z )(1 2 z 1 ) 3
Im(z) 单位 圆 × × Re(z)
Im(z)
单位圆
× Im(z)
× Re(z)
单位圆 × × Re(z)
Im(z)
单位圆 × × Re(z)
例：设x[n]的z变换
1 2 1 z 4 X( z ) 1 2 5 1 3 2 (1 z )(1 z z ) 4 4 8
而：
1 b u[n 1] , 1 1 1 b z
n
1 ROC ： | z | b
1 b u[n] , 1 1 bz
n
ROC ： | z | b
当b<1时，其收敛域为：
Im{Z} Re{Z}
Im{Z}
Im{Z} b
Re{Z} 1/b
Re{Z} 1/b
b
b>1 时其收敛域
X 2 ( z)
X 3 ( z)
n


x2 [n]z

X 4 ( z)
n n

x3[n]z n
n


[n 1]z n z
ROC :| z |
n

[n 1]z n z -1 ROC :| z | 0
换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的，
以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应
通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。
10.1 z 变换定义
一、离散时间信号的z变换
离散时间信号的z变换定义为：
X ( z)
记作：
n
x[n]z
Z

n
x[n] X ( z )
收敛域为|z|>1/2。
10.2 z变换的收敛域
性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。 Im(z) Im(z) Re(z) Re(z) Im(z)
Re(z)
性质2：ROC内不包括任何极点。 Im(z)
在极点处，X(z)为无穷大。
× Re(z)
性质3：如果x[n]是有限长序列，那么ROC就 是整个z平面，可能去除z=0和/或z=∞。
第10章 z变换
掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。
掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。
掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定性 分析方法。
掌握系统的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模拟框
Im(z)
1 x a Re(z) Unit circle
例 x[n] = -anu[-n-1]
X ( z ) a u[n 1]z
n n

n
a z
n n 1 n
1
n
(az )
1 n
X ( z ) (az )
1 n 4
Z
××
Re(z)
n Z 2( 1 ) u [ n 1] 3
2 1 ,| z | 1 1 3 1 z 3
因此,x[n]为：
1 n n x[n] ( ) u[n] 2( 1 ) 3 u[ n 1] 4
X(z)可能有多少不同的收敛域？
10.3 z反变换
由已知z变换求得一个序列的几种方法。 z反变换公式 部分分式展开法
长除法
一、z反变换公式
jw X ( re ) X ( z)
n
x[n](re

jw n
)

所以
n
n jwn n ( x [ n ] r ) e F { x [ n ] r }
1 1 X ( z) , | z | 1 1 1 1 4 3 (1 z )(1 z ) 4 3
解：对X(z)进行部分分式分解
Im(z)
5 1 3 z 6
1 2 X ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
单位圆
××
Re(z)
Im(z)
单位圆
1 1 ( ) u[n] ,| z | 1 1 4 1 z 4
例：分别求以下信号的z变换
x1[n] [n]
x2 [n] [n 1]
x3[n] [n 1]
x4 [n] [n] [n 1] [n 1]
解：X 1 ( z )
n


x1[n]z n
n
n


[n]z n 1 ROC : 整个z平面
X ( z) Ai (1 ai z ) X ( z ) | z ai （z ai ) | z ai 其中： z
1
对于含有二阶或二阶以上极点的 z变换，其逆变换的求法如 下：
A13 X ( z) A11 A12 3 2 z ( z a1 ) ( z a1 ) ( z a1 )

x4 [n]z n 1 z z -1
ROC : 0 | z |
a n 例： x[n] 0
0 n N 1 其余n
且a>0，求出Z变换，画出零极点图，同时指出其收敛域。
X ( z) a z
n 0 N 1
解：
n n

n 0
N 1
1 (az1 ) N 1 zN aN (az ) N 1 1 1 az z za
Im{Z}
Im{Z} Im{Z} Re{Z} 1/b b
Re{Z}
Re{Z} 1/b
b
由以上收敛域，可知只有当b<1时双边指数序列的收敛域 才有公共的收敛域，而当b>1时其收敛域没有重叠部分， 因此不存在z变换。
性质7：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的 ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。
m
Z { Ai /(1 ai z )}
1
1
Ai ainu[n] n Ai ai u[n 1]
| z || a | | z || a |
1.对于一阶极点 ，可以展开为：
Am A1 A2 X ( z) 1 1 1 a1 z 1 a2 z 1 am z 1
性质8：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若是右边 序列，那么，ROC就位于z平面内最外层极点的外边。 性质9：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若x[n]是 左边序列，那么，ROC就位于z平面内最里层的非零极点 的里边。
例：设x[n]是绝对可和的信号，其z变换是有理的， 若已知X(z)在z=1/2有一个极点。 （a)x[n]可能是有限长信号吗？ （b)x[n]可能是左边信号吗？ （c)x[n]可能是右边信号吗？ （d)x[n]可能是双边信号吗？
Im(z) ………
N1
n
Re(z)
性质6：如果x[n]是双边序列，并且|z|=r0的圆 位于ROC内，那么该ROC一定是由包括|z|= r0 的 圆环所组成。
Im(z) ………
………
n Re(z)
例：
x[n] b ,
|n|
b0
b0
求其z变换
n n x [ n ] b u [ n 1 ] b u[n], 解：
X ( z) A11 ( z a1 ) | z a1 z
3
A12
d X ( z) [( z a1 ) 3 ] | z a1 dz z
1 d2 3 X ( z) A13 [( z a ) ] | z a1 1 2 2 dz z
推广到一般情况：若含有r重根，则
1 d r X ( z) A1k [(z a1 ) ] |z a1 k 1 (k 1)! dz z
n
1
1 n
当|az-1|>1，即|z|<|a|时，收敛。 Im(z) 即： 1 x a Re(z) Unit circle
1 z X ( z) , 1 1 az za
| z || a |
例 两个实指数信号之和
x[n] 7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]
图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。
10.0 引言

前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点
分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变
而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于 连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉 氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可

x[n]r n F 1{ X (re jw )}
x[n] r F { X (re )} n 1 jw jw n x[n] r X ( re ) e dw 2 2 1 jw jw n x[n] X ( re )( re ) dw 2 2
n
1
jw
而z=rejw
1 n
Im{Z}
ROC
Re{Z}
| z | 0
性质4：如果x[n]是一个右边序列，并且|z|=r0的圆位于 ROC内，那么|z|> r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。
……… n
Im(z)
N1
Re(z)
性质5：如果x[n]是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于 ROC内，那么0<|z|< r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。
z a
1 z X ( z ) n 0 (az ) , 1 1 az za
1 n
当 a=1
1 X ( z) , 1 1 z
z 1 z 1
1 即： Z {u[n]} , 1 1 z
1 X ( z) , 1 1 az
零、极点以及收敛域图
z | a |
k 1
例 有一z变换X(z)为
解：对X(z)进行部分分式分解
1 X ( z) ,| z | 1 1 1 1 3 (1 z )(1 z ) 4 3
Im(z) 单位圆
5 1 3 z 6
1 2 X ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
××
Re(z)
Im(z)
z变换和离散傅立叶变换之间的关系 z=rejw
Im(z) r
则：
X ( z ) X (re )
jw
n

x[n](re
( x[n]r
n

jw n
)
w
1
Re(z)
因此，

jw
)e
jw n
z-plane
n
X ( z ) X (re ) F{x[n]r }
n
单位圆
××
Re(z)
1 1 ( ) u[n] ,| z | 1 1 4 1 z 4
1 n 4
Z
2( )
1 n 3
2 1 ,| z | u[n] 1 1 3 1 z 3
Z
因此,x[n]为：
1 n x[n] ( ) n u[n] 2( 1 ) 3 u[ n] 4
例 有一z变换X(z)为
1 x[n] 2

2
X (re jw )(re jw ) n d w
1 n 1 x[n] X ( z ) z dz 2j
Im(z)
积分路径
xa
1 Re(z)
Unit circle
二、部分分式展开法 设X(z)的部分分式展开式具有如下形式：
Ai X ( z) 1 1 a z i 1 i
X ( z)
n n n n { 7 ( 1 / 3 ) u [ n ] 6 ( 1 / 2 ) u [ n ]} z n n
7 (1 / 3) z
n 0
6 (1 / 2) n z n
n 0

7z 6z 1 z 3 z 12 z( z 32) ( z 13 )(z 12 )
二、z变换的几何解释和收敛域
在z变换中当变量z的模为1，即z=ejω时，z变 换退化成DTFT。
傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为1 的圆上的z变换。
收敛问题
为了使z变换收敛，等同于要求x[n]r-n的傅立叶变 换收敛。 总的来说，对某一序列x[n]的z变换，存在着某一个 z值的范围，在该范围内的z，X(z)收敛。 由这些使X(z)收敛的z值所组成的范围，就是收敛域 (ROC)。 如果ROC内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！