05-概率分布-正态分布

计面积，并制成专用的 Z 值表（见附表）；这样对
于其它任意的正态分布N(μ, σ2) ，都可以通过变量 代换转化为标准正态分布，通过查表就完成其概率 计算问题。
1. 左半侧 Z 值对应面积的查法：
标准正态分布曲线下面积规律
1. 标准正态分布区间（-1， 1 ）的面积占总面积的68.26% 2. 标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95%
正态分布法求参考值范围 单侧下限
所以，该地健康成年男子第一秒肺通气量的95%参 考值范围为不低于3.05（L）。
（二）估计频数分布
举例：定出生体重低于2500g的婴儿为低体重儿，若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为3200g ，标 准差为350g，估计当年出生低体重儿所占的比例。 解析：1. 分布近似正态， X= 3200g ，S=350g。 2. 转化为标准正态分布，求u 值
双侧界值
X ±Za /2 s
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料
单侧下限
X Za s
单侧上限
X Za s
表5-2
参考值范 围（%） 90 95 99 双侧
常用参考值范围的制定
正态分布法 单侧 下限 上限 双侧 下限 P5~ P95 P2.5 ~P97. 5 P0.5 ~P99. 5 P10 P5 P1 百分位数法 单侧 上限 P90 P95 P99
随机变量最重要的分布。其分布曲线叫正态分布
曲线，呈中间高，两边低，左右基本对称的“钟
型”曲线，近似于数学上的正态分布，又称高斯
分布（Gauss distribution）。
正态分布(normal distribution)
德莫佛最早发现了二项概率
的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面。
（一） 制定医学参考值范围
参考值范围（reference range)：指所谓“正常人”的解剖、 生理、生化等指标的波动范围。 制定方法：
制定参考值范围时，首先要确定一批样本含量足够
大的“正常人”。所谓“正常人”不是指“健康 人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关 因素的同质人群，必须是随机选择的大样本。
1. 位置参数： μ
当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴 越向右移动；反之， μ越小，则曲线沿横轴越向左移 动，所以μ叫正态曲线N（μ, σ2）的位置参数， 。
图5-4 正态分布位置随参数μ变换示意图
2. 形状参数：σ
当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔； σ越小，曲线越尖峭，σ 叫正态曲线N（μ, σ2）的形 状参数。
1 F ( x) 2

x

e
( x ) 2 /( 2 2 )
dx
j(Z )
1 2

Z

e
Z
2
/ 2
dZ

x

Z
图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积
由于引入了标准正态变量 Z 值，只需对标准正 态公式求定积分，求其曲线下从 -∞到任意Z 值的累
而后根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，根
据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，常用 95%。 .
双侧临界值：标准正态分布双侧尾部面积之和等于α 时所 对应的正侧变量值，记作Zα /2。
单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α 时所对应 的正侧变量值，记作Zα 。
以不同的方法计算参考值范围：
③
频率 (频数/总频数) 0.004 3 0.038 5 0.115 5 0.209 0 0.256 1 0.212 6 0.099 9 0.049 9Fra Baidu bibliotek0.012 1 0.002 1 1.000 0
④
累积频率 0.004 3 0.042 8 0.158 3 0.367 3 0.623 4 0.835 9 0.935 8 0.985 7 0.997 9 1.000 0
x

Z称为标准正态变量。把u代入概率密度函数 ， 得标准正态分布的概率密度函数：
j (Z )
1 u 2 / 2 e , u 2
相对于正态变量 x，Z 没有度量单位。根据 u 的不同取值，可绘出标准正态分布的图形。
将一般正态分布曲线的 μ 的位置平移到原点，再 以标准差σ为横轴单位，这样就把原来个别的正态分布 转换为一般的标准正态分布 N（0，1），亦称为Z分布 （或 ｕ分布）。
当x确定后， f(x)为X相应的纵坐标高度，则X服从参数 为μ和σ2的正态分布（ normal distribution)，记作X~N（ μ， σ2 ）。
当给定不同的 x 值后，就可以根据此方程求得相应的 纵坐标高度（频数），并可绘制出正态曲线的图形，记 作X~N(μ,σ2) ：
正态分布曲线：高峰位于中间，两侧逐渐下降并完全对 称，曲线两端永远不与横轴相交的“钟型”曲线。
体重频率密度
图5-1 体重频率密度图
图5-2 概率密度曲线示意图
故对连续性随机变量而言：
变量某区间取值的概率 = 正态曲线该变量区间的面 积
推 断：
测得一个孕妇体重在54-68kg的概率有多大？ 孕妇体重在哪个范围内算是正常的呢？
一、正态分布的概念和 密度函数
正态分布( normal distribution)：是描述连续型
4. μ是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置； μ 增大曲线沿横轴向右移， μ 减小曲线沿横轴向左移。 5.σ是正态曲线的形状参数，σ越大数据越分散，曲线越 “矮胖”，σ越小数据越集中，曲线越“瘦高” 。
三、正态曲线的标准化
为了应用方便，常将正态概率函数中的 x 作如 下变量代换，令：
Z
3. 查任意两个 Z 值间的面积：
举例：求 Z = - 0.5 ～-1.5之间的面积。 查表找出 Z = -0.5 时的对应面积为 0.3085，再 查出 Z = -1.5 时的对应面积 0.0668，相减即可。 即：P(Z = - 0.5 ～-1.5)= P(Z = - 0.5) - P(Z = -1.5) = 0.3085- 0.0668 = 0.2417
小结:
对标准正态分布曲线 （1）曲线下横轴上的总面积为100% u 的面积 （2）表中曲线下面积为 (-到 ， Z ) （3）标准正态曲线下的面积以0为对称，即
F(Z)1F(Z)
如区间(-，-1.96)与区间(1.96，+) 的面积相等。
4. 求一般正态分布N(μ,σ2)曲线下的面积： ⑴ 先求 u 值：
3. 据概率计算人数： 身高在 135 cm 以下者有：120×8.38% =10人
常用的正态分布、标准正态分布曲线下面积规律
正态分布 µ ±1.64σ µ ±1.96σ µ ±2.58σ 标准正态分布 0±1.64 0±1.96 0±2.58 面积规律 90.00% 95.00% 99.00%
四、正态分布在医学中 的应用
查u值表
说明标准正态曲线下 (-∞，-2）的面积为2.28%，故本 题正态曲线(-∞，2500g）的比例为2.28% ，即X<2500g的 为2.28%，故估计当年出生低体重儿的比例为2.28%。
3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99%
2.左半侧Z 值对应面积的查法：标准正态分布是以 0 为中 心左右对称，所以该表只计算曲线下一半的面积即可 。
举例：
当 Z = -1.96时，左侧的累计面积= 0.025（该区间累
计频数占总例数的 2.5%），记作 P(Z≤－1.96) = 0.025 。 当 Z = 1.96时， 左侧累计面积为 0.975，可记作 P(Z≤1.96)=0.975， 此时P(Z≥1.96)=0.025 。
任意正态分布曲线 X~N(μ,σ2)
标准正态分布曲线 X~N(0,1)
四、正态曲线下面积的 分布规律
正态曲线下的面积分布有一定的规律性：
因正态曲线下累计频数的总和等于 100% 或 1，则：
横轴上曲线下的面积（概率）就等于 100% 均数两侧的面积（概率）各占 50%。
或 1；
实际工作中常需了解横轴上某一区间曲线下面积占 总面积的百分比，以便估计该区间的频数占总频数的百 分比（即频数分布情况）。这就需要采用定积分的办法， 对函数式 (1) 或 (2) 定积分，算得从 -∞ 到 x，或从 -∞ 到 Z 的累计面积（概率）。 .
第五讲 概率分布—正态分布
引子： 【典型案例分析】
举例： 随机调查某医院1402例待分娩孕
妇，测得她们的体重，试述其体重频数分 布的特征。
表5-1 某医院1402例分娩孕妇体重频数分布
①
体重组段 48525660646872768084合计
②
频数 6 54 162 293 359 298 140 70 17 3 1402
X 1.64S X 1.96S
X 2.58S
X－1.28S
X 1.28S X 1.64S
X 2.33S
X－1.64S X－2.33S
举例1：调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显 示其分布近似正态，试估计该地健康女性血红蛋白 的95%参考值范围。 解析： 1. 分布近似正态 2. 过高过低均为异常 正态分布法求参考值范围 设定双侧界值
也可以用正态分布作为它的极限分布形式。
有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来
处理。
正态分布的密度函数，即正态曲线的函数表达式：
1
( X ) 2 / 2 2
f (X )
2
e
, X
式中，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周率，e为 自然对数的底，仅x为变量。
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为 高斯分布(Gauss distribution)。
高 斯
10马克的钱币
正态分布在医学研究中的重要作用： 医学研究中：
医学研究中许多正常人的生理，生化指标、测
量误差等多呈正态分布或近似正态分布。
许多非正态分布资料，当样本含量足够大时，
, 已知： Z
x

x x , 未知： Z s
当总体均数和总体标准差未知时，就用样本均数 和样本标准差来代替计算。
⑵ 根据 Z 值在表中查出相应的面积值
所以对正态分布或近似正态分布资料，只要求出 均数和标准差，便可就其频数分布作出概略估计了。
举例：已知 120 名 12 岁男孩身高均数为 143 cm，标
⑤
频率密度 (频率/组距) 0.001 1 0.009 6 0.028 9 0.052 2 0.064 0 0.053 1 0.025 0 0.012 5 0.003 0 0.000 5
若将各直条顶端的中点顺次连接起来，得一条折线。当样 本量n越来越大时，折线就越来越接近一条光滑的曲线。
0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 4856647280体重（kg）
举例2： 某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通 气量得均数 X =4.2(L), 标准差S =0.7(L)，试据此估 计其第一秒肺通气量的95%参考值范围。 解析： 1. 分布近似正态 2. 仅过低为异常 3. 求下界值
下界： X 1.64S 4.2 1.64 0.7 3.05L
3. 求上、下界值
下界： x 1.96s 117.4 1.9610.2 97.41( g / l ) 上界： x 1.96s 117.4 1.9610.2 137.39( g / l )
所以，该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围是 （97.41,137.39）g/l。
0.9 0.8 0.7 0.6
σ=1
f(X)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
σ=1.5
σ=2
3 4 5 6
X
图5-6 正态分布形态随参数σ变换示意图
（二）正态分布图形的特征：
1. 对称性：关于x=μ对称 2. 集中性： 正态曲线在横轴上方， 当x=μ时, f (x)取最大值，即均数位于曲线的最高处。 3. 对频率密度正态分布图，横轴上曲线下的面积为1。
准差为 5.8 cm，试估计该地 12 岁男孩身高在 135 cm 以下者有多少人？
答：1. 首先计算 Z 值：
x x 135 143 1. 38 Z s 5.8
2. 查 Z 值表： 当 u = -1.38 时，左侧尾部面积 0.0838，即身高 在 135cm 以下者占总人数的 8.38%。