2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(九)三角函数、平面向量
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专题强化训练(九) 三角函数、平面向量
一、选择题
1．[2019·太原一模]已知tan α＝2，α∈(0，π)，则
sin2α
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝( )
A.25
5 B ．－255
C.
45
5
D ．－455
解析：解法一：因为tan α＝2，α∈(0，π)，所以α是第一象限的角，如图，由任意角的三角函数的定义可知P (1,2)是α终边上一点，则有|OP |＝22
＋12
＝5，所以cos α＝1
5＝55，所以sin2αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝2sin αcos α－sin α＝－2cos α＝－25
5，选B.
解法二：因为tan α＝2，α∈(0，π)，所以α是第一象限的角．由tan α＝sin α
cos α＝2
得sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得4cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2
α＝15，解得
cos α＝
55或cos α＝－55(舍去)，所以sin2αcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋α＝2sin αcos α－sin α＝－2cos α＝－255，选B.
答案：B
2．[2019·合肥质检二]在△ABC 中，BD →＝12DC →，则AD →
＝( )
A.14AB →＋34AC →
B.23AB →＋13AC →
C.13AB →＋23
AC → D.13AB →－23
AC → 解析：通解：因为BD →＝12DC →，所以B ，D ，C 三点共线，且BD →＝13
BC →
，如图，过点D 分别作
AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD →＝AE →＋AF →
.因为
BD →
＝13BC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13
AC →
，所以AD →
＝23AB →
＋13
AC →，故选B.
优解一：因为BD →＝12DC →，所以BD →＝13BC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB
→
＋13
AC →
，故选B. 优解二：因为BD →＝12DC →，所以BD →＝13BC →，所以AD →－AB →＝13(AC →－AB →)，所以AD →＝AB →＋13(AC →－AB →
)
＝23AB →＋13
AC →
，故选B. 答案：B
3．[2019·广州综合测试二]已知sin α＋cos α＝15，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan2α＝
( )
A ．－24
7
B ．－43
C.724
D.247
解析：解法一：由sin α＋cos α＝15可得(sin α＋cos α)2
＝125，解得sin αcos α＝－1225，
联立得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＋cos α＝1
5
，sin αcos α＝－12
25
，可得sin α，cos α是方程y 2
－15y －1225
＝0的两根，因
为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，所以sin α＝45，cos α＝－35，则tan α＝－43，所以tan2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪
⎫－431－
169
＝－
83－79
＝24
7，选D. 解法二：由sin α＋cos α＝15可得(sin α＋cos α)2
＝125，解得sin αcos α＝－1225
，又
α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2
，π，所以sin α>0，cos α<0，sin α－cos α>0，则(sin α－cos α)2＝1－
2sin αcos α＝1＋2425＝4925，故sin α－cos α＝7
5，联立得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α－cos α＝7
5，sin α＋cos α＝1
5，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝4
5cos α＝－35
，则tan α＝－43，所以tan2α＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－431－169＝－
83－
79
＝247
，选D.
答案：D
4．[2019·福建质检]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图
象的一个对称中心为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫π3，0
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，0
解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数
解析式为
y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6，
令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π
12，故所得图象的一个
对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫π12，0，选A.
答案：A
5．[2019·郑州质量预测二]在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP →·BP →
的最小值为( )
A ．－12
B ．0
C ．4
D ．－1
解析：通解：因为BC ＝2，AC ＝4，∠C ＝90°，所以AC 的中线BD ＝22，且∠CBD ＝45°.因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以设BP →＝λBD →(0≤λ≤1)，如图所示，所以CP →·BP →＝(CB →＋BP →
)·BP →＝(CB →＋λBD →)·λBD →＝λCB →·BD →＋λ2·BD →2＝λ|CB →|·|BD →
|cos135°＋λ2×(22)2
＝8λ2
－4λ＝8⎝
⎛⎭⎪⎫λ－142－12，当λ＝14时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A.