力学 第三章 答案

第三章基本知识小结

⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。

矢量式：22dt

r d m dt v d m a m F

=== 分量式：

（弧坐标）

（直角坐标）

ρ

τττ2

,,,v m m a F dt dv m m a F m a F m a F m a F n n z z y y x x =======

⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。

导数形式：dt p

d F =

微分形式：p d dt F

=

积分形式：p dt F I

∆==⎰)(

（注意分量式的运用）

⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。

若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即

∑==恒矢量。

则，若外p F

0 （注意分量式的运用）

⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。

在直线加速参考系中：0*a m f -=

在转动参考系中：ωω

⨯=='2,

*2*

mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===

i i c i

i c i i c a m a m v m v m r m r m

⑵∑=c a m F

（注意分量式的运用）

3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为

j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）

， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j i a m F ˆ12ˆ24+== 为一

与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：

'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α

3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程

为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点

的合力总指向原点。

证明：∵r j t b i t a dt r d a

2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F

2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。

3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？

解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o μ=，谷物能获得的最大加速度为

2/92.38.94.0/s m g m f a o =⨯===μ ∴筛面水平方向的加速

度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。

3.4.3 题图 3.4.4题图

3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2

和桌面间的摩擦系数为μ2，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。

解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示，

其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2

分别应用牛顿二定律，有

02122

22211111

111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μμμ 解方程

组，得 ()2221211211/m g m g m g m F a g

a μμμμ---==

要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即

g m g m g m g m F 12221211μμμμ>---()()g m m F 212

1++>∴μ

μ

m 1g

f 1 N 1 a 1 a 2

x y

3.4.5 质量为m 2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m 1的运动员与斜面之

间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。

解：

以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a 2），取m 1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N 1为斜面对人的支撑力，f *为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：

⎩⎨

⎧=+=+-)2('cos sin )1(0sin cos 12112111

a m a m g m a m g m N αααα

再以地为参考系，取m 2为研究对象，其受力及运动情况如右图

所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程：

⎩⎨

⎧=--=)4(0cos )3(sin 122

2

21 ααN g m N a m N （1）、（2）、（3）、（4）联立，即可求得：g m m m m a g m m m m N α

α

α

α

2

12212

12211sin sin )('sin cos ++=

+=

3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的

加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1

=μm 1

g ，f 2

=μN 2

=

μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：

②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ

①+②可求得：g m m g

m F a μμ-+-=

2

112

将a 代入①中，可求得：2

111)

2(m m g m F m T +-=

μ

3.4.7在图示的装置中，物体A,B,C 的

质量各为m 1,m 2,m 3，且两两不相等. 若物体A,B 与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑

轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离

A,B,C ，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μm 2g ，T'=2T ，由于A 的位移加B

的位移除2等于C 的位移，所以（a 1+a 2）/2=a 3.

对A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：

③

②

①2/)(221332

22111a a m T g m a m g m T a m g m T +=-=-=-μμ

f 1 N 1 m 1

g T a

F N 2

m 2g T

a N 1 f 1

f 2

T f 1 N 1 m 1g

a 1 T f 2

N 2

m 2g a

2

T' m 3g a 3 a 2

1 2f*=m 1a 2