高中数学教案：一元二次不等式(完美版)

一元二次不等式

【教学目标】

知识目标：掌握一元二次不等式及其解法．

能力目标：通过一元二次不等式的学习，提高计算技能和观察能力．

情感目标：经历利用“图像法”解一元二次不等式的探究过程，体验“数形结合”的探

究方法，享受成功的喜悦.

【教学重点】一元二次不等式的图像解法． 【教学难点】教材上表2-2的正确使用． 【教学过程】

一、动手探索 感受新知 问题

已知二次函数y =x 2-x -6，问： 1.怎样画这个二次函数的草图？

2.根据二次函数的图像，能求出抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点吗？其交点将x 轴分成几段？

3.观察抛物线找出纵坐标y =0、y >0、y <0的点．

4.观察图像上纵坐标y =0、y >0、y <0的那些点所对应的横坐标x 的取值范围？ 解决

解方程260x x --=得122,3x x =-=．观察图像可以看到，方程260x x --=的解，恰

好分别为函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像，所对应的自变量x 的取值范围，即{|23}x x x <->或内的值，使得260y x x =-->；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，即{|23}x x -<<内的值，使得260y x x =--<． 二、动脑思考 探索新知 解法

利用一元二次函数2y ax bx c

=++()0a >的图像可以解不等式20

ax bx c ++>或

20ax bx c ++<．

（1）当240b ac ∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数解1x 和2x 12()x x <，

一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点1(,0)x ，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是()12,x x ，不等式20a x bx c ++>的解集是

12(,)

(,)x x -∞+∞；

（1） （2） （3）

（2）当240b ac ∆=-=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数解0x ，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴只有一个交点0(,0)x （如图（2）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是00(,)

(,)x x -∞+∞．

（3）当240b ac ∆=-<时，方程20ax bx c ++=没有实数解，一元二次函数

2y ax bx c =++的图像与x 轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的

解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是R ． 三、理论升华 整体建构

当0a >时，一元二次不等式的解集如下表所示：

方程或不等式

解集

0∆>

0∆=

0∆<

20ax bx c ++=

{}12,x x {}0x

∅

20ax bx c ++> 12(,)(,)x x -∞+∞ 00(,)(,)x x -∞+∞

R 20ax bx c

+

+

(][)12,,x x -∞+∞ R

R

20ax bx c ++< 12(,)x x

∅ ∅ 20ax bx c

+

+

[]12,x x {}0x

∅

表中2124,b ac x x ∆=-<． 四、巩固知识 典型例题

例1 解下列各一元二次不等式：

（1）260x x -->； （2）29x <；

（3）25320x x -->；（4）2243

0x x -+-．

分析 首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．

解 （1）因为二次项系数为10>，且方程260x x --=的解集为{2,3}-，故不等式260x x -->的解集为(,2)

(3,)-∞-+∞．

（2）29x <可化为290x -<，因为二次项系数为10>，且方程290x -=的解集为

2021

{3,3}-，故29x <的解集为()3,3-．

（3）25320x x -->中，二次项系数为30-<，将不等式两边同乘1-，得23520x x -+<．由于方程23520x x -+=的解集为2

{,1}3．故不等式23520x x -+<的解集

为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，即25320x x -->的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭

． （4）因为二次项系数为20-<，将不等式两边同乘1-，得2243

0x x -+．由于判别

式()2

442380∆=--⨯⨯=-<，故方程22430x x -+=没有实数解．所以不等式2243

0x x -+的解集为R ，即2243

0x x -+-的解集为R ．

例2 x 解 根据题意需要解不等式 232

0x x --．解方程2320x x --=得122

,13

x x =-=．由于

二次项系数为30>，所以不等式的解集为[)2,1,3⎛

⎤-∞-+∞ ⎥

⎝

⎦．

即当[)2,1,3x ⎛

⎤∈-∞-+∞ ⎥

⎝

⎦

五、运用知识 强化练习 教材练习2.3

解下列各一元二次不等式：

（1）22420x x -+>；（2）23100x x -++．

六、作业探究

(1)寻找不等式的生活应用．