流体力学第7章不可压缩流体动力学基础
流体力学 第8章 不可压缩流体动力学基础
∂ 2 −2
∂ =(2 +2 )2
k(xdx+ydy)=0
x2+y2=0
为圆周簇。
∂ 2 − 2
, ∂ =(2 +2 )2
ωz=0, ωy=ωx=0
2 − 2
εxy=(2 +2)2, εzy=εzx=0
2
2
εxx=(2 +2)2, εyy=-(2 +2 )2 , εzz=0
2 ∂
2 ∂
2 ∂
2 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
ux=uxo+εxxdx-ωzdy+εxydy+ωydz+εxzdz
点M的速度可以表达为
= − d + d + d + d + d
= − d + d + d + d + d
1.流体微团运动的分析
从理论力学知道,刚体的任何运动都可以看作平移和旋转两种基
本运动的合成。流体运动要比刚体运动复杂得多,流体微团基本运
动形式有平移运动、旋转运动还有变形运动,而变形运动又包括线
变形和角变形两种。
流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。为了便于
讨论,先研究二元流动的情况。设有一方形流体微团,中心点M的流
= − d + d + d + d + d
10
流体微团运动的分析
【例】已知流速分布:
(1) ux=-ky,uy=kx,uz=0; (2)ux=-2 +2,uy=2 +2,uz=0。
求旋转角速度、线变形速度和角变形速度。
流体动力学基础
流体动力学基础流体动力学是研究流体的运动规律和性质的科学，它是流体力学的分支之一，广泛应用于航空、航天、水力、能源等领域。
本文将介绍流体动力学的基础概念、基本方程以及常用方法。
一、流体动力学的基本概念1. 流体力学与流体静力学的区别流体力学研究流体在运动中的行为，包括流体的流动速度、压力、密度等参数的分布规律；而流体静力学则研究流体在静止状态下的平衡规律，主要关注流体的静压力和浮力等性质。
2. 流体的本构关系流体的本构关系描述了流体的应力与变形速率之间的关系。
常见的本构关系有牛顿黏性流体、非牛顿流体以及理想流体等。
3. 流体的运动描述流体的运动可以通过流体速度场来描述，流体速度场是空间中的矢量函数，它描述了流体的速度分布。
流体速度场的描述可以使用欧拉描述方法或者拉格朗日描述方法。
二、流体动力学的基本方程1. 连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原理，即单位时间内通过某一截面的质量是恒定的。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，连续性方程可表示为流体密度与速度之积在空间中的量级是恒定的。
2. 动量方程动量方程是描述质点运动定律的基本方程，对流体来说，动量方程体现了运动流体的动力学行为。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，动量方程可表示为流体的密度乘以速度与压力梯度的叠加等于外力的结果。
3. 能量方程能量方程描述了热力学系统的能量守恒原则，对于流体来说，能量方程考虑了流体的流动对能量转移的影响，以及热源、做功所导致的能量变化。
三、流体动力学的常用方法1. 数值模拟方法数值模拟是流体动力学研究的重要工具，通过在计算机上建立流体动力学方程的数值解，可以模拟复杂流动现象，如湍流、多相流等。
2. 实验方法实验方法是流体动力学研究的另一重要手段，通过搭建实验平台，测量流体的压力、速度等参数，从而验证理论和数值模拟结果的准确性。
3. 理论分析方法理论分析方法是流体动力学研究中的基础，通过建立假设和推导数学表达式，可以得到流体动力学问题的解析解，为实验和数值模拟提供参考。
不可压缩流体名词解释
不可压缩流体名词解释
不可压缩流体是指在流动过程中，其体积或密度不发生显著变化的流体。
这类流体在平衡状态下，任何微小变化（如温度或压力的变化），都不会影响其深度、形状或体积等物理性质。
在工程和科学领域，不可压缩流体通常用来描述流体动力学中的一类理想化现象。
例如，一般假设在低速流动中，气体可以视为不可压缩的。
然而，当速度接近或超过音速时，气体的压缩效应就变得重要起来。
不可压缩流体的概念非常重要，因为在许多实际问题中，流体的性质足够接近不可压缩的性质，可以忽略其小的压缩性，从而简化对流体动力学进行的研究和计算。
例如，在研究和设计飞机、船舶、管道、水轮机等的流体力学问题时，常常
假设工作介质为不可压缩流体，以便于使用更简单的方程进行分析。
不可压缩流体理论在流体力学中占据重要位置。
流体运动的基本规律——质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律在不可压缩流体中的表现形式，成为流体力学的基础方程。
这些基础方程是研究流体运动最重要的工具，也是解决实际流
体力学问题的基础。
在模拟和解析实际问题时，不可压缩流体假设为工程师和科研人员提供了实用的工具。
这些工具不仅帮助他们理解和解决复杂的流体动力学问题，而且帮助他
们设计和优化了许多工程系统，例如管道输送系统、液压系统、制冷系统等等。
然而，需要注意的是，不可压缩流体模型只是一个理想化的模型，它不一定能完全描述所有类型的流体动力学现象。
例如，对于高速流、音速流或者强烈震动和振动的流，压缩效应可能不能忽略，需要使用其他更复杂的模型来描述其物理行为。
因此，使用不可压缩流体模型时，必须清楚它的适用范围和局限性，以避免误导设计和决策。
流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础概要
x
y
u x u z z x
y
涡量场
z
x 2 x, y, z, t
z
u y
u x y
2、涡量连续性微分方程
u ( u ) 0
x y z 0 x y z
三、亥姆霍兹速度分解定理 （了解） 设流体微团内某点M0(x,y,z),速度为u 、 u y0 x0 则邻边M0的另一点M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度为
uz0 、
，
u x u x 0 dux u y u y 0 duy
uz0 u x0
M0
M
u z u z 0 duz 展开 dux …….，变换整理得
u y0
ux ux0 z dy y dz x dx z dy y dz u y u y 0 x dz z dx y dy x dz z dx uz uz 0 y dx x dy z dz y dx x dy
s x y z
u z u y u y u x u x u z dydz dxdy dzdx A y z z x x y
dA dA dA dA
线变形、
变形运动 角变形 B A E D dx uy M ux F C dy
二、运动分析
以二元流动的情况为例，研究几种 基本运动形式的速度表达式。 如图，方形流动微团
各侧边中点A、B、C、D的流速分量分别为 M
ux
流体力学第七章(旋转流体动力学)
特征长度尺度：
L
特征速度尺度：
U
特征时间尺度：
T
重力加速度特征量：
g
密度特征量：
0
旋转参考系的自转角速度特征量：
.
17
特征压力差可以取两种不同的尺度：
0U2、02L2
考虑到讨论 U/L 1的极限情形，通常选取最大 有效尺度 02L2 作为压力差的尺度。
.
18
二、旋转流体运动的无量纲方程
d d V trg r 1 p 2V r2 k rV r
d a V radV r r r r rV r r r r
d t
d t
da V radV r2 r V r r( rr r) dt dt
.
10
da V radV r2 r V r r( rr r)
dt dt
r ( r r r ) r ( r R r ) 2 R r
R
R e特 特征 征粘 惯 U U 性 性 2/L /2L 力 力 U L
Ek R 0 Re
.
23
3.旋转流体的弗雷德数
F r旋重 转力 惯 ( L 性 g )2/L力 g 2L
反映了旋转流体中旋转作用和重力作用的相对重要性
第七章 旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的，并没有 考虑地球的旋转效应。
地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应，将会对地 球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影响。
假设考虑流体运动的参考系，本身是以一定的角速度绕轴 转动的；那么，这种参考系称为旋转参考系，而相对于旋转参 考系的流体运动则称之为旋转流体运动。大多数的地球物理流 体力学所关心的大量问题均属于旋转流体动力学问题。
第七章不可压缩流体动力学基础
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z
fy
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
流体力学第7章
h p y u max h2 2 8μ L
缝隙宽度为B，则流量
Q 2 μL
Bh 3 p 12 μL
2 Q p 2 平均流速 v h u max 3 Bh 12 μL
3.上平板运动速度u0 ，p1> p2 为1和2两种流动的叠加 h p1
y
u0 p2 x
流速
压差剪切流
u0 Δp 2 u (hy y ) y (0 y h ) 2 μL h
流量
u0 h3 Q udA B（ p h) 12 μL 2
当压差流和剪切流的方向相同时用“+”号，相反则用“-”号
§7.2
一、同心环形缝隙流
将环形展开可视为平面 B=πd =2πr0 流量 3 πdh0 Q p h0 R0 r0 12 μL 教材另一公式（7.2-6）
环形缝隙流
r p1 x L p2 h0 r0 R0
Q
dh3
16 μL
p
（两种流量式的差别）
d 平均直径，d R0 r0 2r
二、偏心环形缝隙流
D
h( ) BC OC OB e cos R0 r0
C
h0 e cos h0 (1 cos )
p z y x 由于τ 只沿y方向变化，所以
u
p1
p
dy
dy y p p dx
x
dx
p2 h x
y
τ
L
dp p1 p 2 p d L L y dy dx
du 将τ μ 代入上式 dy
d 2u Δp 2 （ 1 ） dy μL
e 偏心率 ε R0 r0
流体力学基础讲解PPT课件
05
流体流动的湍流与噪声
湍流的定义与特性
湍流定义
湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。 在湍流中，流体的各种物理参数，如速度、压力、温度等都 随时间与空间发生随机的变化。
湍流特性
湍流具有随机性、不规则性、非线性和非稳定性等特性。在 湍流中，流体的速度、方向和压力等都随时间和空间发生变 化，形成复杂的涡旋结构。
环境流体流动与环境保护
要点一
环境流体流动
环境中的流体流动对环境保护具有重要影响。例如，大气 中的气流会影响污染物的扩散和迁移，水流会影响水体中 的污染物迁移和沉积等。
要点二
环境保护
通过对环境中的流体流动进行研究和模拟，可以更好地了 解污染物扩散和迁移规律，为环境保护提供科学依据。同 时，通过合理规划和设计流体流动系统，可以有效降低污 染物对环境的影响，保护生态环境。
04
流体流动的能量转换
能量的定义与分类
总结词
能量是物体做功的能力，可以分为机械能、热能、电能等。在流体力学中，主要关注的是机械能中的 动能和势能。
详细描述
能量是物体做功的能力，它有多种表现形式，如机械能、热能、电能等。在流体力学中，我们主要关 注的是机械能，它包括动能和势能两种形式。动能是流体运动所具有的能量，与流体的速度和质量有 关；势能则是由于流体所处位置而具有的能量。
流体流动噪声
流体流动过程中产生的噪声主要包括 机械噪声和流体动力噪声。机械噪声 主要由机械振动和摩擦引起，而流体 动力噪声主要由湍流和流体动力振动 引起。
噪声控制
为了减小流体流动产生的噪声，研究 者们提出了各种噪声控制方法，如改 变管道结构、添加消音器和改变流体 动力特性等。这些方法可以有效降低 流体流动产生的噪声。
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在询面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的 观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等 流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的容介绍流体运动的基本 规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移 和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则 是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
(b)谥.A n(d)一. 平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成(c)A B(a)A了液体基体的单纯位移，其移动速度为心、®、“,。
基体在运动中可能沿直线也 可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不 变）。
二、 线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比 A 点和D 点大了竺如 而比就代表〃y = l 时液体基体运动时，在单位时间沿勿dyy 轴方向的伸长率。
du x °"、. du : dxdydz三、 角变形（角变形速度）—BIA ■ dp -------------------------------- Jda-0 = dp + 00 =J"些+些k dz. dx四、旋转（旋转角速度）1O = —0 =—21勿du vdx—dx角变形:血 A那么，代入欧拉加速度表达式，得：du r du Tdu r八 八5=说=古叫 云+"卑+"0+-叭巴加、6仇 du Ya v = ----- = — + u v ---------- + U.0, +ii t a ）. -iLCoydt dt dy “'2 …加.du diL q 。
流体力学第7章黏性流体动力学
影响层流向湍流过渡的因素包括流体的物理性质（如黏度、密度等）、流动通道的几何形 状、流动速度以及外部扰动等。这些因素共同作用，决定了层流向湍流过渡的条件和过程 。
04
管道内黏性流体流动规律 探讨
管道内充分发展层流流动规律
速度分布
在管道截面上，黏性流体的速度分布呈现抛物线形，最大速度出 现在管道中心，沿径向逐渐减小至管壁处为零。
生成。漩涡会不断从流体中吸收能量并逐渐扩大，对物体产生阻力和升
力作用。
03
尾迹形成
随着漩涡的脱落和扩散，流体会在物体后方形成一个尾迹区。尾迹中的
流动速度较低，压力较高，对物体的阻力和升力产生影响。
黏性流体绕运动物体流动现象描述
边界层变化
当黏性流体绕过运动物体时，由于相对速度的变化，物体表面的边界层会发生变化。在顺流方向，边界层厚度逐渐增 加；在逆流方向，边界层厚度逐渐减小。
05
黏性流体绕物体流动现象 研究
黏性流体绕静止物体流动现象描述
01
流动分离
当黏性流体绕过静止物体时，由于黏性作用，流体会在物体表面形成一
层附面层。随着流体向下游流动，附面层厚度逐渐增加，流动速度逐渐
减小，直至流动分离发生。
02
漩涡生成
在流动分离后，流体会在物体后方形成一个低压区，导致流体中的漩涡
流量与压力降关系
层流流动时，管道内流量与压力降成正比，符合泊肃叶定律。
ห้องสมุดไป่ตู้流动稳定性
层流流动相对稳定，不易受到扰动影响。
管道内充分发展湍流流动规律
速度分布
湍流流动时，速度分布在管道截面上呈现不规则变化，存在涡旋和 脉动。
流量与压力降关系
湍流流动时，管道内流量与压力降的关系不再符合泊肃叶定律，而 是呈现更为复杂的非线性关系。
《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础分解
通常涡通量是利用速度环量这个概念来计算 的。
在流场中任取一封闭曲线s,则流速沿曲线s 的积分称为曲线s上的速度环量。
F B
F’
B’
B
F
B’ B’’ F’ F’’ C’’
C’’
A
M
A’’
C= A
A’
C’
MC
+ A’
A’’
D’’
C’
yE E’’
D
D’’
(a)
D
E
D’
E’
(b)
D’ E’’ E’
(c)
0
x
图7-2 流体徽团的旋转运动和变形运动
对于三元流动,可得流体微团旋转角速度分量为:
X
1 (uz 2 y
uy ) z
第七章 不可压缩流体动力学基础
许多实际流体的流动差不多都是空间的 流动。
流体的三元流动。
本章的主要内容是有关流体运动的基本 概念和基本原理，以及描述不可压缩流 体流动的基本方程和定解条件。
第一节 流体微团运动的分析
刚体的运动： 平移和旋转
流体的运动： 平移、旋转、变形（线变 A 形和角变形）
uds
s
s uxdx uydy uzdz
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
汤姆逊定理
s J A
在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
流体力学教学资料 3
V2 V1
V3
V4
设 ds =dxi+dyj+dzk 为流线上 A 点的一微元弧长
V = ui+vj+wk 为流体质点在 A 点的流速。
V A ds
速度矢量 V 与微元弧长 ds 相平行，所以
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
对应分量成比例
相续通过流场同一空间点的流体质点所连成的曲线又 称为脉线。
在实验中经常通过在水流中的一些特定点连续注入染 色液体或者在气流中的特定点连续施放烟气的方式来演示 流场，染色液体或者烟气所形成的曲线是脉线。
在定常流动中，通过同一空间点的所有流体质点具有 相同的运动轨迹，而且它们沿着流线行进，所以染色线或 者烟线同时也是流线和迹线。在非定常流动中，脉线与流 线和迹线都不重合，所以此时不能把染色线或烟线当成流 线和迹线。
(8,6)
x
解: u=Vcos=3 x2 y2
=3x
x2 y2
x
v=3y
ax=u/t+uu/x+vu/y=0+3x·3+3y·0=9x=72m/s2 ay= v/t+uv/x+vv/y=0+3y·0+3y·3=9y=54m/s2
a ax2 ay2 722 542 90m / s2
例
rr
3．积分形式的连续性方程
对控制体内的质量变化和通过控制面的质量流量用积分表 达，这样就得到积分形式的连续性方程：
ρ t
dτ
dx dy xt yt
dz 0
积分后得到：
ln x t ln y t ln C1
z C2
（完整版）流体力学选择题精选题库
（完整版）流体力学选择题精选题库《流体力学》选择题库第一章绪论1．与牛顿内摩擦定律有关的因素是：A、压强、速度和粘度；B、流体的粘度、切应力与角变形率；C、切应力、温度、粘度和速度；D、压强、粘度和角变形。
2．在研究流体运动时，按照是否考虑流体的粘性，可将流体分为：A、牛顿流体及非牛顿流体；B、可压缩流体与不可压缩流体；C、均质流体与非均质流体；D、理想流体与实际流体。
3．下面四种有关流体的质量和重量的说法，正确而严格的说法是。
A、流体的质量和重量不随位置而变化；B、流体的质量和重量随位置而变化；C、流体的质量随位置变化，而重量不变；D、流体的质量不随位置变化，而重量随位置变化。
4．流体是一种物质。
A、不断膨胀直到充满容器的；B、实际上是不可压缩的；C、不能承受剪切力的；D、在任一剪切力的作用下不能保持静止的。
5．流体的切应力。
A、当流体处于静止状态时不会产生；B、当流体处于静止状态时，由于内聚力，可以产生；C、仅仅取决于分子的动量交换；D、仅仅取决于内聚力。
6．A、静止液体的动力粘度为0；B、静止液体的运动粘度为0；C、静止液体受到的切应力为0；D、静止液体受到的压应力为0。
7．理想液体的特征是A、粘度为常数B、无粘性C、不可压缩D、符合RT=。
pρ8．水力学中，单位质量力是指作用在单位_____液体上的质量力。
A、面积B、体积C、质量D、重量9．单位质量力的量纲是A、L*T-2B、M*L2*TC、M*L*T(-2)D、L(-1)*T10.单位体积液体的重量称为液体的______，其单位。
A、容重N/m2B、容重N/M3C、密度kg/m3D、密度N/m311.不同的液体其粘滞性_____，同一种液体的粘滞性具有随温度______而降低的特性。
A、相同降低B、相同升高C、不同降低D、不同升高12.液体黏度随温度的升高而____，气体黏度随温度的升高而_____。
B、增大，减小；C、减小，不变；D、减小，减小13.运动粘滞系数的量纲是：A、L/T2B、L/T3C、L2/TD、L3/T14.动力粘滞系数的单位是：A、N*s/mB、N*s/m2C、m2/sD、m/s15.下列说法正确的是：A、液体不能承受拉力，也不能承受压力。
流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础讲解
的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。
三、亥姆霍兹速度分解定理 （了解）
设流体微团内某点M0(x,y,z),速度为ux0 、u y0 、uz0 ，
则邻边M0的另一点M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度为
ux ux0 dux uy uy0 duy
uz uz0 duz
了。
四、 N-S方程
把（7-5-1）式和（7-5-6）式代入（7-4-1）式，消去应力
ux
对不可压缩流体有 x
uy y
uz z
0
代入得
X
1
p x
(
2u x x 2
2u x y 2
2u x z 2
)
dux dt
Y
1
p y
(
2u y x 2
3 xx
yy
zz
(7-5-4)
（3）
p
1 3
(
pxx
pyy
pzz )
pt
2 3
( ux
x
u y y
uz z
)
(7-5-5)
式中， pxx 、 pyy 、 pzz表示法向应力，
p 表示压强，
pt 表示理想流体压强。
代入（7-5-4）
（4）
p xx
p
2
u x x
（2）
ur
2r
cos 2
1 r
u 2r sin 2
解： ur
《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础
例7-6
第六节
纳维—斯托克斯方程
不可压缩粘性流体的运动微分方 程 2u x 2u x 2u x du x 1 p X ( 2 ) 2 2 x x y z dt
uy uy uy du y 1 p Y ( ) 2 2 2 y x y z dt
u d s ux dx u y dy uz dz
s s
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s 的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
s J A
汤姆逊定理 在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
圆柱坐标系的纳维—斯托克斯方程:
Fr .F . Fz.r. .z.ur .u .u z
例7-7:利用N-S方程求圆管层流运动流速分布.
解：由于流动轴对称,采用柱坐标系如图，已知：
u z u(r , , z ), u ur 0
1 p u z 1 u z 1 u z u z Fz ( 2 2 2 ) 2 z r r r r z u z u z u u z u z ur uz t r r z
A
A
n
有旋运动的一个重要运动学性 质是：在同一瞬间，通过同一 涡管的各截面的涡通量相等。
A2
A3 A1
A1
n dA n dA
A2
1 A1 2 A2 对于微元涡管，可以近似认为各截 面上各点的涡量为常数，因此： 1 A1 2 A2
由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所 以涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在 流体内部开始或终止,而只能在流体中自行封 闭成涡环,或者终止于和开始于边界面。
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y
ux z
uz x
z
u y x
ux y
哈米尔顿算子 是一个矢性微分算子
i
i
k
x
uz y
u y z
u x y z
ux uy
uz
y
ux z
uz x
z
u y x
ux y
( uz uy )i ( ux uz ) j ( uy ux )k
y z
z x
x y
也可以表示为： ndA
涡通量的符号： J
J
dA
A
A ndA
A (xdydz ydzdx zdxdy)
有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管各 截面的涡量相等，及涡通量为常数，则
A1 ndA A2 ndA
1A1 2 A2
或 1A1 2 A2
（7-2-9）
式（7-2-9）表明，涡管截面积愈小，流体的旋转
四、涡通量 J
(1)涡量 2 x i y j z k (2)涡通量 ndA
涡通量
J
dA
A
A ndA
A (xdydz ydzdx zdxdy)
根据有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管 各截面的涡量相等，即涡通量为常数。
1A1 2 A2 1 A1 2 A2
五、速度环量
u ds
s
s(uxdx uydy uzdz)
（一）斯托克斯定理
s J A
（二）汤姆逊定理 汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力
具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封
闭曲线的速度环量不随时间变化。 d 0 dt
六、不可压缩流体连续性微分方程
ux uy uz 0 x y z
t
dxdydzdt
(u
x
x
)
( u y
y
)
(uz
z
)
dxdydzdt
可压缩流体非恒定流的连续性微分方程
t
(ux
x
)
(uy )
y
(uz
z
)
0
对于不可压缩流体： const
ux uy uz 0 x y z
不可压缩均质流体的连续微分方程 diV u 0
物理意义：体积守恒（质量守恒）
角速的愈大。
有旋流：流体的流场是涡量场，也是速度场，涡线、
涡管、涡通量，与流速场的流线、流管、流量对应。
五、速度环量 在流体力学中也常用速度环量，来表征涡流的强
弱。
u ——速度矢量
S ——封闭周线
——流速矢与切线的夹角
速度环量即
n
u cos ds
1
速度环量的和数的极限，即沿封闭曲线的积分。
速度环量符号：
uz x
)
z
1 2
( uy x
ux y
)
流体质点运动表达式
ux ux0 xdx zdy ydz zdy ydz uy uy0 ydy xdz zdx xdz zdx uz uz0 zdz ydx xdy ydx xdy
式中，①项——平移速度分量； ③、④项——旋转运动所引起的速度分量； ②、⑤、⑥项——角变形、线变形所引起的 速度分量。 亥姆霍兹速度分解定理
第四节 理想流体运动方程及其积分
思路：理想流体
实际流体
1.理想流体特征
0
（1） 理想流体不具有粘滞性：
（2） 理想流体动水压强的特性:（同实际流体）
（3）作用在理想流体上的表面力：仅有正压力
无切向力。
2. 理想流体运动微分方程的建立
中心点压强
P(x, y, z)
沿x方向的表面力
（前）( p 1 p dx)dydz （后）( p 1 p dx)dydz
所以 ux u y y x
z
u z y
u x z
u y z
u z x
x 0,y 0,z 0
u y
x
ux y
式成立，一定存在一个势函数 ，所以，
无旋流又称为势流。
三从表、几征有何涡这旋 意 流些流 义 的概（ 上 强念与有 描 弱流涡述，线流，有雷）有涡同涡通。线量、（涡漩xy 束涡1212强、((度涡uuyzzx）管 、等uuzxy概速z )) 念度00。环
实际流体元流的能量方程
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hl'
本章重点 一、流体微团运动：平移 、线变形、角变形、旋转变形。 二、有旋流与无旋流
（1）无旋流（势流）存在函数 称为流速势函数
（2）有旋流（有涡流） 三、描述有涡流的概念：涡线、涡束、涡管
表征涡流的强弱：涡通量（漩涡强度）、速度 环量。
为有旋流，则总是有旋流。 如果某一时刻为无旋流，则永远是无旋流。
即流体的涡旋具有不生、不灭的性质。
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
1. 流体运动的连续性微分方程的建立
中心点流速
uA u(x, y, z)
前面：
ux
ux x
dx 2
密度： dx
x 2
后面：ux
ux x
dx 2
dx
x 2
n
lim u cos ds su cosds su cos(u, ds) ds 1
ห้องสมุดไป่ตู้
u ds
s
(u
s
x
dx
u
y
dy
u
z
dz)
切向速度与所周线绕行方向相同，速度环量为正 值，反之为负。
（一）斯托克斯定理 斯托克斯公式：
u ds s
(u
s
x
dx
u
y
dy
uzdz)
A
(
uz y
量。 （一）涡线
定义，某一瞬时，z 在12涡(（ux流y ） 场uy中x )， 有0 一
条几何曲线，在这条曲线上，各点处的质点（微团）的旋转
角速度的矢量都与该曲线相切。
与微小流束相似，涡线为光滑曲线，不是折线、两条涡
线不相交。
（二）涡束、涡管：在涡流场中，取一微小面积，
围绕这个微小面积作出的一束涡线——微小涡束。
第二节 一、定义
有旋流动与无旋流动
物理特征：流体微团（质点）绕自身轴旋转，
称为有旋（涡）流动，反之，为无旋（涡）流动。
数学表达，
有旋流 x 0,y 0,z 0
无旋流 x 0,y 0,z 0
二、无旋流（无涡流）
x
1 2
( u z y
u y z
)
0
y
1 2
( ux z
uz x
)
0
z
1 (uy 2 x
与 2 xi y j z k 对照。
u
（2）涡量的连续性方程 由数学分析知
(u) 0
上式表明，涡量 的散度等于0，
即 x y z 0 x y z
（ 7-2-5）
式（7-2-5）为涡量的连续性方程。
（3）涡线微分方程 对于一条涡线，流体质点的旋转角速度矢量与 涡线相切，即旋转角速度矢量与涡线方向一致。
dt时段从后面流入的流体质量为
(
x )(ux
ux x
dx )dydzdt 2
dt时段从前面流出的流体质量为
(
x )(ux
ux x
dx )dydzdt 2
规定流入为正，流出为负， dt时段从前后面流入 流出的质量差为
(ux
x
ux x
)dxdydzdt
(ux )
x
dxdydzdt
同理，在另外两个对应面流入流出的质量差为
取一微分段 ds ，微分段在空间坐标上的分
量与旋转角速度矢量在空间坐标上的分量成正比。
即 dx dy dz
x y z
式（7-2-6）为涡线微分方程。
（7-2-6）
（四）涡通量
微小涡束上各点处的旋转角速度可认为是相等的,
若微小涡束，其横断面积 dA ，旋转角速度为
微小涡束的涡通量（漩涡强度）为 dA 。
伯努利积分在以下具体条件下积分
（1）恒定流
ux uy uz p 0 t t t t
p dx p dy p dz dp x y z
（2）流体为均质不可压缩， const
（3）质量力为有势力 X W
W (x, y, z)
x
Y W y
Z W z
（4）沿流线积分
dx dt
ux
dy dt
u y z
)dydz (ux z
uz x
)dzdx (ux y
u y x
)dxdy
或写为：
u ds s
A (xdAx ydAy zdAz )
A n dA
即
s J A
（二）汤姆逊定理 对于无涡流，存在流速势函数，当流速势为单值
时，在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量都等 于0。
ux y
)
0
uz y
u y z
ux z
uz x
u y
x
ux y
有分析数学可知
数 (x, y, z,t)
式成立，流场中一定存在一个函
x
ux
y
uy
z
uz
函数 称为流速势函数。
流速势函数的二阶偏导，即流速的偏导
ux uy
y xy x yx
0 因为函数的导数值与微分次序无关，
个未知量，应该可解，但是------
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z