流体力学第7章不可压缩流体动力学基础

ux y
)
0
uz y
u y z
ux z
uz x
u y
x
ux y
有分析数学可知
数 (x, y, z,t)
式成立，流场中一定存在一个函
x
ux
y
uy
z
uz
函数 称为流速势函数。
流速势函数的二阶偏导，即流速的偏导
ux uy
y xy x yx
0 因为函数的导数值与微分次序无关，
第四节 理想流体运动方程及其积分
思路：理想流体
实际流体
1.理想流体特征
0
（1） 理想流体不具有粘滞性：
（2） 理想流体动水压强的特性:（同实际流体）
（3）作用在理想流体上的表面力：仅有正压力
无切向力。
2. 理想流体运动微分方程的建立
中心点压强
P(x, y, z)
沿x方向的表面力
（前）( p 1 p dx)dydz （后）( p 1 p dx)dydz
u y z
)dydz (ux z
uz x
)dzdx (ux y
u y x
)dxdy
或写为：
u ds s
A (xdAx ydAy zdAz )
A n dA
即
s J A
（二）汤姆逊定理 对于无涡流，存在流速势函数，当流速势为单值
时，在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量都等 于0。
dx ux
dy uy
dz uz
涡线： dx
涡线方程：x
dy
y
dz
z
连续性微分方程
ux uy uz 0 x y z
流量
v1A1 v2 A2
x y z 0 x y z
涡通量
1A1 2 A2
汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量 力具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的 封闭曲线的速度环量不随时间变化。
d 0 dt
结论：利用速度环量也可以判断有涡流与无涡流。
推论： 根据斯托克斯定理，沿曲线的速度环量等于
以该曲线为成都曲面的涡通量。 速度环量不随时间变化意味着涡通量也不随
时间变化。 具有单值势函数的理想流体，如果某一时刻
也可以表示为： ndA
涡通量的符号： J
J
dA
A
A ndA
A (xdydz ydzdx zdxdy)
有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管各 截面的涡量相等，及涡通量为常数，则
A1 ndA A2 ndA
1A1 2 A2
或 1A1 2 A2
（7-2-9）
式（7-2-9）表明，涡管截面积愈小，流体的旋转
与 2 xi y j z k 对照。
u
（2）涡量的连续性方程 由数学分析知
(u) 0
上式表明，涡量 的散度等于0，
即 x y z 0 x y z
（ 7-2-5）
式（7-2-5）为涡量的连续性方程。
（3）涡线微分方程 对于一条涡线，流体质点的旋转角速度矢量与 涡线相切，即旋转角速度矢量与涡线方向一致。
角速的愈大。
有旋流：流体的流场是涡量场，也是速度场，涡线、
涡管、涡通量，与流速场的流线、流管、流量对应。
五、速度环量 在流体力学中也常用速度环量，来表征涡流的强
弱。
u ——速度矢量
S ——封闭周线
——流速矢与切线的夹角
速度环量即
n
u cos ds
1
速度环量的和数的极限，即沿封闭曲线的积分。
速度环量符号：
为有旋流，则总是有旋流。 如果某一时刻为无旋流，则永远是无旋流。
即流体的涡旋具有不生、不灭的性质。
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
1. 流体运动的连续性微分方程的建立
中心点流速
uA u(x, y, z)
前面：
ux
ux x
dx 2
密度： dx
x 2
后面：ux
ux x
dx 2
dx
x 2
uz x
)
z
1 2
( uy x
ux y
)
流体质点运动表达式
ux ux0 xdx zdy ydz zdy ydz uy uy0 ydy xdz zdx xdz zdx uz uz0 zdz ydx xdy ydx xdy
式中，①项——平移速度分量； ③、④项——旋转运动所引起的速度分量； ②、⑤、⑥项——角变形、线变形所引起的 速度分量。 亥姆霍兹速度分解定理
(7-6-3)
式中 2u 为粘性项. 2 为拉普拉斯算子
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
4.理想流体运动微分方程的积分
对于理想流体运动微分方程，一般质量力已知，
密度已知，所以该方程有4个未知量， p,ux , uy ,uz 与连续性微分方程 ux uy uz 0 联立，4个方程，4
x y z
uy
dz dt
uz
积分
X
1
p x
dux dt
dx
Y
1
p y
duy dt
dy
Z
1
p z
duz dt
dz
积分得： W p u2 C
2
当质量力只有重力时，
Z g dW gdz 代入上式
gz p u2 c
2
p u2 z C
g 2g
z p u2 c
2g
上式为理想流体元流的能量方程(伯努利方程)
dt时段从后面流入的流体质量为
(
x )(ux
ux x
dx )dydzdt 2
dt时段从前面流出的流体质量为
(
x )(ux
ux x
dx )dydzdt 2
规定流入为正，流出为负， dt时段从前后面流入 流出的质量差为
(ux
x
ux x
)dxdydzdt
(ux )
x
dxdydzdt
同理，在另外两个对应面流入流出的质量差为
第二节 一、定义
有旋流动与无旋流动
物理特征：流体微团（质点）绕自身轴旋转，
称为有旋（涡）流动，反之，为无旋（涡）流动。
数学表达，
有旋流 x 0,y 0,z 0
无旋流 x 0,y 0,z 0
二、无旋流（无涡流）
x
1 2
( u z y
u y z
)
0
y
1 2
( ux z
uz x
)
0
z
1 (uy 2 x
七、理想流体的运动微分方程
X 1 p dux
x dt
Y 1 p duy
y dt
Z 1 p duz
z dt
X
1
p x
2ux
dux dt
Y
1
p y
2u y
duy dt
z
1
p z
2uz
duz dt
八、实际流体的运动微分方程(N-S方程)
九、流场与涡量场对应关系
流线：
流线方程：
伯努利积分在以下具体条件下积分
（1）恒定流
ux uy uz p 0 t t t t
p dx p dy p dz dp x y z
（2）流体为均质不可压缩， const
（3）质量力为有势力 X W
W (x, y, z)
x
Y W y
Z W z
（4）沿流线积分
dx dt
ux
dy dt
u ds
s
s(uxdx uydy uzdz)
（一）斯托克斯定理
s J A
（二）汤姆逊定理 汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力
具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封
闭曲线的速度环量不随时间变化。 d 0 dt
六、不可压缩流体连续性微分方程
ux uy uz 0 x y z
量。 （一）涡线
定义，某一瞬时，z 在12涡(（ux流y ） 场uy中x )， 有0 一
条几何曲线，在这条曲线上，各点处的质点（微团）的旋转
角速度的矢量都与该曲线相切。
与微小流束相似，涡线为光滑曲线，不是折线、两条涡
线不相交。
（二）涡束、涡管：在涡流场中，取一微小面积，
围绕这个微小面积作出的一束涡线——微小涡束。
n
lim u cos ds su cosds su cos(u, ds) ds 1
u ds
s
(u
s
x
dx
u
y
dy
u
z
dz)
切向速度与所周线绕行方向相同，速度环量为正 值，反之为负。
（一）斯托克斯定理 斯托克斯公式：
u ds s
(u
s
x
dx
u
y
dy
uzdz)
A
(
uz y
四、涡通量 J
(1)涡量 2 x i y j z k (2)涡通量 ndA
涡通量
J
dA
A
A ndA
A (xdydz ydzdx zdxdy)
根据有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管 各截面的涡量相等，即涡通量为常数。
1A1 2 A2 1 A1 2 A2
五、速度环量
2 x
2 x
沿x方向的质量力:
Xdxdydz
欧拉运动微分方程（推导）
X 1 p dux x dt
Y 1 p duy
y dt
Z 1 p duz
z dt
3.实际流体的运动微分方程(N-S方程)
X
1
p x
2ux
dux dt
Y
1
p y
2u y
duy dt
z
1
p z
2uz
duz dt
取一微分段 ds ，微分段在空间坐标上的分
量与旋转角速度矢量在空间坐标上的分量成正比。
即 dx dy dz
x y z
式（7-2-6）为涡线微分方程。
（7-2-6）
（四）涡通量
微小涡束上各点处的旋转角速度可认为是相等的,
若微小涡束，其横断面积 dA ，旋转角速度为
微小涡束的涡通量（漩涡强度）为 dA 。
Y向：
(uy ) dxdydzdt
y
Z向：
(uz ) dxdydzdt
z
Dt时段内，从微分六面体各个面流入流出质量差为
(ux
x
)
(u
y
y
)
(uz
z
)
dxdtdzdt
Dt时段内，微分六面体内质量的变化
( dt)dxdydz dxdydzdt dxdydzdt
t
t
同一时段内，流入流出六面体总的流体质量的差值= 六面体内因密度变化所引起的质量变化。
所以 ux u y y x
z
u z y
u x z
u y z
u z x
x 0,y 0,z 0
u y
x
ux y
式成立，一定存在一个势函数 ，所以，
无旋流又称为势流。
三从表、几征有何涡这旋 意 流些流 义 的概（ 上 强念与有 描 弱流涡述，线流，有雷）有涡同涡通。线量、（涡漩xy 束涡1212强、((度涡uuyzzx）管 、等uuzxy概速z )) 念度00。环
个未知量，应该可解，但是------
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
至今仍未找到它的通解，在特殊情况下有特解。有的讲义 用葛罗米柯（Громеко ）积分，葛罗米柯将理想流体运动微 分方程进行了变换，得到了葛罗米柯方程。葛罗米柯方程也只 能在质量力是有势的条件下才能积分。工程流体力学一般用伯 努利(D.Bernoulli)积分 .
y
ux z
uz x
z
u y x
ux y
哈米尔顿算子 是一个矢性微分算子
i
i
k
x
uz y
u y z
u x y z
ux uy
uz
y
ux z
uz x
z
u y x
ux y
( uz uy )i ( ux uz ) j ( uy ux )k
y z
z x
x y
实际流体元流的能量方程
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hl'
本章重点 一、流体微团运动：平移 、线变形、角变形、旋转变形。 二、有旋流与无旋流
（1）无旋流（势流）存在函数 称为流速势函数
（2）有旋流（有涡流） 三、描述有涡流的概念：涡线、涡束、涡管
表征涡流的强弱：涡通量（漩涡强度）、速度 环量。
（三）涡通量
（1）涡量
定义：涡量
旋转角速度矢量 (x, y, z,t)
x
1 2
( uz y
u y z
)
y
1 (ux 2 z
uz x
)
z
1 (uy 2 x
ux y
)
2 xi y j z k
涡量是空间坐标和时间的矢性 函数，有涡流则构成一个矢量场， 也称为涡量场。
x
uz y
u y z
第七章 不可压缩流体动力学基础
一、流体微团运动
（1）平移
u u
x y
u z
（3）角变形
（2）线变形 （4）旋转变形
x
u x x
y
u y y
z
u z z
x
1 ( uz 2 y
u y z
)
y
1 2
( ux z
uz x
)
源自文库
z
1 2
( uy x
ux y
)
x
1 (uz 2 y
u y z
)
y
1 2
( ux z
t
dxdydzdt
(u
x
x
)
( u y
y
)
(uz
z
)
dxdydzdt
可压缩流体非恒定流的连续性微分方程
t
(ux
x
)
(uy )
y
(uz
z
)
0
对于不可压缩流体： const
ux uy uz 0 x y z
不可压缩均质流体的连续微分方程 diV u 0
物理意义：体积守恒（质量守恒）