2021年高考数学考点第四章导数及其应用导数的概念及运算理

导数的概念及运算1．导数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．简称导数，记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．概念方法微思考1．根据f ′(x )的几何意义思考一下，|f ′(x )|增大，曲线f (x )的形状有何变化？ 提示 |f ′(x )|越大，曲线f (x )的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．1．（2020•新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为( ) A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B【解析】由43()2f x x x =-，得32()46f x x x '=-， f ∴'（1）462=-=-，又f （1）121=-=-，∴函数43()2f x x x =-的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)2(1)y x --=--，即21y x =-+． 故选B ．2．（2020•新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为( )A ．21y x =+B ．122y x =+C ．112y x =+ D ．1122y x =+ 【答案】D【解析】直线l 与圆2215x y +=相切，那么圆心(0,0)，四个选项中，只有A ，D 满足题意；对于A 选项：21y x =+与y =联立，可得210x -=，此时无解；对于D 选项：1122y x =+与y =联立，可得11022x =，此时解得1x =；∴直线l 与曲线y 2215x y +=都相切，方程为1122y x =+， 故选D ．3．（2019•新课标Ⅱ）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A ．10x y π---= B ．2210x y π---= C ．2210x y π+-+= D ．10x y π+-+=【答案】C【解析】由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-， |2cos sin 2x y πππ=∴'=-=-，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为12()y x π+=--，即2210x y π+-+=． 故选C ．4．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则( ) A ．a e =，1b =- B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-【答案】D【解析】x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++， 由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+， 可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-， 故选D ．5．（2018•全国）若函数2()1f x ax =+图象上点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+，则(a =) A ．1- B ．0C ．14D ．1【答案】D【解析】函数2()1f x ax =+的导数为()2f x ax '=， 可得点(1，f （1）)处的切线斜率为2a ， 由点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+， 可得22a =， 解得1a =， 故选D ．6．（2018•新课标Ⅰ）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D【解析】函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，323232(1)((1))(1)x a x ax x a x ax x a x ax -+--=-+-+=----．所以：22(1)(1)a x a x -=--可得1a =，所以函数3()f x x x =+，可得2()31f x x '=+， 曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为：1， 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为：y x =． 故选D ．7．（2016•山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．sin y x = B ．y lnx =C ．x y e =D ．3y x =【答案】A【解析】函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数()y f x =的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1-， 当sin y x =时，cos y x '=，满足条件； 当y lnx =时，10y x'=>恒成立，不满足条件； 当x y e =时，0x y e '=>恒成立，不满足条件； 当3y x =时，230y x '=>恒成立，不满足条件； 故选A ．8．（2016•四川）设直线1l ，2l 分别是函数,01(),1lnx x f x lnx x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,)+∞ D ．(1,)+∞【答案】A【解析】设11(P x ，1)y ，22(P x ，212)(01)y x x <<<， 当01x <<时，1()f x x '=-，当1x >时，1()f x x'=，1l ∴的斜率111k x =-，2l 的斜率221k x =，1l 与2l 垂直，且210x x >>，∴1212111k k x x =-=-，即121x x =． 直线11111:()l y x x lnx x =---，22221:()l y x x lnx x =-+． 取0x =分别得到1(0,1)A lnx -，2(0,1)B lnx -+，121212|||1(1)||2()||2|2AB lnx lnx lnx lnx lnx x =---+=-+=-=．联立两直线方程可得交点P 的横坐标为12122x x x x x =+， ∴1212121121122||||2122PAB P x x S AB x x x x x x x ∆==⨯⨯==+++． 函数1y x x=+在(0,1)上为减函数，且101x <<， ∴111112x x +>+=，则1111012x x <<+， ∴112011x x <<+．PAB ∴∆的面积的取值范围是(0,1)．故选A ．9．（2020•新课标Ⅲ）设函数()x e f x x a =+，若f '（1）4e=，则a =__________．【答案】1【解析】函数()x e f x x a=+，2(1)()()xx a e f x x a +-∴'=+，若f '（1）2(1)4ae e a ==+，∴21(1)4a a =+，则1a =， 故答案为：1．10．（2019•全国）若函数()(1)ax f x e ln x =++，(0)4f '=，则a =__________． 【答案】3【解析】由()(1)ax f x e ln x =++，得1()1ax f x ae x '=++， (0)4f '=，(0)14f a '∴=+=， 3a ∴=．故答案为：3．11．（2018•天津）已知函数()x f x e lnx =，()f x '为()f x 的导函数，则f '（1）的值为__________． 【答案】e【解析】函数()x f x e lnx =， 则1()x xf x e lnx e x'=+； f ∴'（1）11e ln e e =+=．故答案为：e ．12．（2016•天津）已知函数()(21)x f x x e =+，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________． 【答案】3 【解析】()(21)x f x x e =+，()2(21)x x f x e x e ∴'=++，00(0)2(201)213f e e ∴'=+⨯+=+=．故答案为：3．13．（2020•上海）已知函数3()f x x =，1()f x -是()f x 的反函数，则1()f x -=__________．【解析】由3()y f x x ==，得x =，把x 与y 互换，可得3()f x x =的反函数为1()f x -14．（2020•新课标Ⅰ）曲线1y lnx x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________． 【答案】2y x =【解析】1y lnx x =++的导数为11y x'=+， 设切点为(,)m n ，可得112k m=+=， 解得1m =，即有切点(1,2)，则切线的方程为22(1)y x -=-，即2y x =， 故答案为：2y x =． 15．（2019•天津）曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________．【答案】220x y +-= 【解析】由题意，可知： 1sin 2y x '=--， 011|sin 022x y ='=--=-． 曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程：112y x -=-， 整理，得：220x y +-=． 故答案为：220x y +-=．16．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是__________． 【答案】(,1)e【解析】设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1y x'=， ∴001|x x y x ='=，则该曲线在点A 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-， 切线经过点(,1)e --，∴0011elnx x --=--， 即00elnx x =，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ．故答案为：(,1)e ．17．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________． 【答案】4【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +，由20411x -=-，解得000)x x =>． ∴曲线4(0)y x x x =+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=．故答案为：4．18．（2019•新课标Ⅰ）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】3y x = 【解析】23()x y x x e =+，23(31)x y e x x '∴=++，∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =，∴切线方程为：3y x =．故答案为：3y x =．19．（2018•新课标Ⅱ）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为__________． 【答案】22y x =- 【解析】2y lnx =，2y x∴'=， 当1x =时，2y '=∴曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为22y x =-．故答案为：22y x =-．20．（2018•新课标Ⅲ）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =__________． 【答案】3-【解析】曲线(1)x y ax e =+，可得(1)x x y ae ax e '=++， 曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-， 可得：12a +=-，解得3a =-． 故答案为：3-．21．（2018•新课标Ⅱ）曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】2y x = 【解析】2(1)y ln x =+，21y x ∴'=+， 当0x =时，2y '=，∴曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为2y x =．故答案为：2y x =． 22．（2017•全国）若曲线1(1)1y x x x =+>-的切线l 与直线34y x =平行，则l 的方程为__________．【答案】3450x y -+= 【解析】设切点为(,)m n ， 可得11m n m +=-， 1(1)1y x x x =+>-的导数为211(1)y x '=--， 由切线l 与直线34y x =平行，可得2131(1)4m -=-，解得3m =， 即有切点为7(3,)2，可得切线的方程为73(3)24y x -=-， 即为3450x y -+=． 故答案为：3450x y -+=．23．（2017•天津）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__________．【答案】1【解析】函数()f x ax lnx =-，可得1()f x a x'=-，切线的斜率为：k f ='（1）1a =-， 切点坐标(1,)a ，切线方程l 为：(1)(1)y a a x -=--， l 在y 轴上的截距为：(1)(1)1a a +--=．故答案为：1．24．（2017•新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为__________． 【答案】10x y -+= 【解析】曲线21y x x =+，可得212y x x'=-， 切线的斜率为：211k =-=．切线方程为：21y x -=-，即：10x y -+=． 故答案为：10x y -+=．25．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是__________． 【答案】210x y ++=【解析】()f x 为偶函数，可得()()f x f x -=， 当0x <时，()()3f x ln x x =-+，即有 0x >时，()3f x lnx x =-，1()3f x x'=-， 可得f （1）133ln =-=-，f '（1）132=-=-，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程为(3)2(1)y x --=--， 即为210x y ++=． 故答案为：210x y ++=．26．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是__________． 【答案】2y x =【解析】已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-， 设0x >，则0x -<，1()()x f x f x e x -∴=-=+，则1()1x f x e -'=+， f '（1）012e =+=．∴曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是22(1)y x -=-．即2y x =． 故答案为：2y x =．27．（2016•新课标Ⅱ）若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则b =__________． 【答案】12ln -【解析】设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，2)kx b +； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+ 再由切点也在各自的曲线上，可得11222(1)kx b lnx kx b ln x +=+⎧⎨+=+⎩联立上述式子解得1221212k x x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩；从而112kx b lnx +=+得出12b ln =-．故答案为：12ln -．28．（2018•江苏）记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()f xg x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()g x lnx =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，()xbe g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 【解析】（1）证明：()1f x '=，()22g x x '=+，则由定义得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，得方程无解，则()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）()2f x ax '=，1()g x x'=，0x >， 由()()f x g x '='得12ax x=，得x =11222f g lna =-==-，得2ea =； （3）()2f x x '=-，2(1)()x be x g x x -'=，(0)x ≠，由00()()f x g x '='，假设0b >，得0300201x x be x =->-，得001x <<， 由00()()f x g x =，得022000021x x be x a x x -+==--，得2200021x a x x =--， 令232223()11x x x ax ah x x a x x-++-=--=--，(0,01)a x ><<， 设32()3m x x x ax a =-++-，(0,01)a x ><<，则(0)0m a =-<，m （1）20=>，得(0)m m （1）0<， 又()m x 的图象在(0,1)上不间断， 则()m x 在(0,1)上有零点，则()h x 在(0,1)上有零点，则存在0b >，使()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S ”点． 29．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()(1)(1)f x x lnx a x =+--．（Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围． 【解析】()I 当4a =时，()(1)4(1)f x x lnx x =+--． f （1）0=，即点为(1,0)，函数的导数1()(1)4f x lnx x x'=++-， 则f '（1）124242ln =+-=-=-， 即函数的切线斜率k f ='（1）2=-，则曲线()y f x =在(1,0)处的切线方程为2(1)22y x x =--=-+； ()()(1)(1)II f x x lnx a x =+--，1()1f x lnx a x∴'=++-， 21()x f x x -∴''=， 1x >，()0f x ∴''>，()f x ∴'在(1,)+∞上单调递增， ()f x f ∴'>'（1）2a =-．①2a ，()f x f '>'（1）0， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递增， ()f x f ∴>（1）0=，满足题意；②2a >，存在0(1,)x ∈+∞，0()0f x '=，函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增， 由f （1）0=，可得存在0(1,)x ∈+∞，0()0f x <，不合题意． 综上所述，2a ．另解：若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >， 可得(1)(1)0x lnx a x +-->， 即为(1)1x lnxa x +<-， 由(1)1x lnxy x +=-的导数为212(1)x lnx x y x --'=-，由12y x lnx x=--的导数为22212(1)10x y x x x -'=+-=>， 函数y 在1x >递增，可得2120(1)x lnx x x -->-， 则函数(1)1x lnxy x +=-在1x >递增， 则1111(1)lim lim211x x lnx x lnxx x →→+++==-，可得(1)21x lnxx +>-恒成立， 即有2a ．30．（2020•北京）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(t ，())f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ()t ，求()S t 的最小值．【解析】（Ⅰ）2()12f x x =-的导数()2f x x '=-， 令切点为(,)m n ，可得切线的斜率为22m -=-， 1m ∴=，12111n ∴=-=，∴切线的方程为213y x =-+；（Ⅱ）曲线()y f x =在点(t ，())f t 处的切线的斜率为2k t =-， 切线方程为2(12)2()y t t x t --=--，令0x =，可得212y t =+，令0y =，可得162x t t =+，S ∴2116()||(12)22t t t t=++， 由()()S t S t -=，可知()S t 为偶函数， 不妨设0t >，则2112()()(12)4S t t t t=++，2222211443(4)(12)()(324)44t t S t t t t -+∴'=+-=，由()0S t '=，得2t =，当2t >时，()0S t '>，()S t 递增；当02t <<时，()0S t '<，()S t 递减， 则()S t 在2t =和2-处取得极小值，且为最小值32，所以()S t 的最小值为32．31．（2020•新课标Ⅲ）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点1(2，1())2f 处的切线与y 轴垂直．（1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【解析】（1）由3()f x x bx c =++，得2()3f x x b '=+， 211()3()022f b ∴'=⨯+=，即34b =-；（2）证明：设0x 为()f x 的一个零点，根据题意，30003()04f x x x c =-+=，且0||1x ，则30034c x x =-+，且0||1x ，令33()(11)4c x x x x =-+-，2311()33()()422c x x x x ∴'=-+=-+-， 当(1x ∈-，11)(22-⋃，1)时，()0c x '<，当1(2x ∈-，1)2时，()0c x '>可知()c x 在1(1,)2--，1(2，1)上单调递减，在1(2-，1)2上单调递增．又1(1)4c -=，c （1）14=-，11()24c -=-，11()24c =， ∴1144c-． 设1x 为()f x 的零点，则必有31113()04f x x x c =-+=，即311131444c x x -=-+， ∴321111321111431(1)(21)0431(1)(21)0x x x x x x x x ⎧--=-+⎪⎨-+=+-⎪⎩，得111x -， 即1||1x ．()f x ∴所有零点的绝对值都不大于1．32．（2016•北京）设函数32()f x x ax bx c =+++． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （3）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．【解析】（1）函数32()f x x ax bx c =+++的导数为2()32f x x ax b '=++， 可得()y f x =在点(0，(0))f 处的切线斜率为(0)k f b ='=， 切点为(0,)c ，可得切线的方程为y bx c =+； （2）设4a b ==，即有32()44f x x x x c =+++， 由()0f x =，可得3244c x x x -=++，由32()44g x x x x =++的导数2()384(2)(32)g x x x x x '=++=++， 当23x >-或2x <-时，()0g x '>，()g x 递增；当223x -<<-时，()0g x '<，()g x 递减．即有()g x 在2x =-处取得极大值，且为0； ()g x 在23x =-处取得极小值，且为3227-．由函数()f x 有三个不同零点，可得32027c -<-<， 解得32027c <<， 则c 的取值范围是32(0,)27； （3）证明：若()f x 有三个不同零点，令()0f x =， 可得()f x 的图象与x 轴有三个不同的交点． 即有()f x 有3个单调区间，即为导数2()32f x x ax b '=++的图象与x 轴有两个交点， 可得△0>，即24120a b ->，即为230a b ->；若230a b ->，即有导数2()32f x x ax b '=++的图象与x 轴有两个交点， 当0c =，4a b ==时，满足230a b ->，即有2()(2)f x x x =+，图象与x 轴交于(0,0)，(2,0)-，则()f x 的零点为2个． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．1．（2019•西湖区校级模拟）已知某函数的导数为y ′()121x =-，则这个函数可能是（ ）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝ln （1﹣x ）D ．y ＝ln11x - 【答案】A【解析】对选项求导．A 、（=()121x =-，符合；对于B ，∵y =-()1'21y x =--，不符合；对于C ，()11'1'11y x x x=⋅-=---，不符合； 对于D ，∵y ＝﹣ln （x ﹣1）∴1'1y x =--，不符合；故选A ．2．（2020•重庆模拟）函数f （x ）＝ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）在点（1，f （1））处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．【答案】B【解析】由f （x ）＝ax 2+bx ，得f ′（x ）＝2ax +b ，又f （x ）＝ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）在点（1，f （1））处的切线斜率为2， 所以f ′（1）＝2a +b ＝2，即12ba +=．则88181855922a b b a b a ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 当且仅当2282a b a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时“＝”成立． 所以8a bab+的最小值是9． 故选B ．3．（2019•西湖区校级模拟）函数f （x ）＝cos x （sin x +1）的导数是（ ） A ．cos2x +sin x B ．cos2x ﹣sin x C ．cos2x +cos x D ．cos2x ﹣cos x【答案】B【解析】f ′（x ）＝﹣sin x （sin x +1）+cos x •cos x ＝cos 2x ﹣sin 2x ﹣sin x ＝cos2x ﹣sin x ． 故选B ．4．（2019•西湖区校级模拟）函数f （x ）＝cos x +sin x ，则π'3f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） ABCD． 【答案】C【解析】f ′（x ）＝cos x ﹣sin x ，∴πππ1'cos sin 3332f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 故选C ．5．（2019•西湖区校级模拟）下列运算正确的是（ ） A ．（3x）′＝3xln xB ．'2sin cos sin ()x x x xx x +=C ．'211()1x x x-=-D ．（log 2x ）′1ln2x =【答案】D【解析】（3x ）′＝3xln3，2sin cos sin 'x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211'1x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()21'ln2log x x =． 故选D ．6．（2019•新疆模拟）已知f （x ）＝x 3﹣x 2f '（﹣1）﹣1，则f '（﹣1）＝（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3【答案】A【解析】f （x ）＝x 3﹣x 2f '（﹣1）﹣1，则f '（x ）＝3x 2﹣2xf '（﹣1）， 则f '（﹣1）＝3+2f '（﹣1）， 解得f '（﹣1）＝﹣3 故选A ．7．（2019•怀化三模）已知函数f （x ）及其导数f '（x ），若存在x 0使得f （x 0）＝f '（x 0），则称x 0是f （x ）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f （x ）＝x 2，②f （x ）＝e ﹣x，③f （x ）＝ln x ，④f （x ）＝tan x ，其中有“巧值点”的函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】根据题意，依次分析所给的函数：①、若f （x ）＝x 2；则f ′（x ）＝2x ，由x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f （x ）＝e ﹣x；则f ′（x ）＝﹣e ﹣x，即e ﹣x＝﹣e ﹣x，此方程无解，②不符合要求； ③、f （x ）＝ln x ，则f ′（x ）1x =，若ln x 1x =，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f （x ）＝tan x ，则f ′（x ）＝（sin cos x x ）′21cos x=，即sin x cos x ＝1，变形可sin2x ＝2，无解，④不符合要求； 故选B ．8．（2020•滨州三模）函数y ＝ln x 的图象在点x ＝e （e 为自然对数的底数）处的切线方程为（ ） A ．x +ey ﹣1+e ＝0 B ．x ﹣ey +1﹣e ＝0C ．x +ey ＝0D ．x ﹣ey ＝0【答案】D【解析】y＝ln x的导数为y′1x =，可得函数y＝ln x的图象在点x＝e处的切线斜率为k1e =，且切点为（e，1），则切线的方程为y﹣11e=（x﹣e），化为x﹣ey＝0．故选D．9．（2020•镜湖区校级模拟）若曲线y＝e x在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x+2b的切线，则实数b＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．e【答案】B【解析】曲线y＝e x的导数为y′＝e x，可得在x＝0处的切线斜率为k＝1，切点为（0，1），则切线的方程为y＝x+1，设直线y＝x+1与y＝ln x+2b相切的切点为（m，2b+ln m），由y＝ln x+2b的导数为y′1x=，可得切线的斜率为1m，则1m=1，2b+ln m＝m+1，解得m＝1，b＝1，故选B．10．（2020•香坊区校级一模）过直线y＝x上一点P可以作曲线f（x）＝x﹣ln x两条切线，则点P 横坐标t的取值范围为（）A．t＜1 B．t＜0 C．0＜t＜1 D．11 et＜＜【答案】C【解析】设切点为（m，m﹣ln m），m＞0，由f（x）＝x﹣ln x的导数为f′（x）＝11x -，可得切线的斜率为11m -，又P（t，t），可得lnm m tm t--=-11m-，化为t＝m﹣m ln m，设g（x）＝x﹣x ln x，可得g′（x）＝1﹣（1+ln x）＝﹣ln x，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x＝1处取得最大值1，g（x）的图象如右图，由题意可得当0＜t＜1时，方程t＝m﹣m ln m有两解，故选C．11．（2020•南岗区校级四模）曲线f（x）＝f′（1）e x﹣（e﹣1）x在点（0，f（0））处的切线的斜率为（）A．2﹣e B．12eC．1 D．4﹣2e【答案】A【解析】f（x）＝f′（1）e x﹣（e﹣1）x的导数为f′（x）＝f′（1）e x﹣（e﹣1），可得f′（1）＝f′（1）e﹣（e﹣1），解得f′（1）＝1，所以f（x）＝e x﹣（e﹣1）x，f′（x）＝e x﹣（e﹣1），则在点（0，f（0））处的切线的斜率为k＝f′（0）＝e0﹣（e﹣1）＝2﹣e，故选A．12．（2020•汉阳区校级模拟）已知函数f（x）＝sin x在x＝0处的切线与y＝ae x相切，则a的值为（）A．1 B．e C．1eD．e2【答案】C【解析】函数f（x）＝sin x的导数为f′（x）＝cos x，可得函数f（x）＝sin x在x＝0处的切线斜率为k＝1，由切点（0，0），可得切线的方程为y＝x，又切线与y＝ae x相切，设此时的切点为（m，ae m），y ＝ae x 的导数为y ′＝ae x ，可得ae m＝m ＝1， 解得a 1e=， 故选C ．13．（2020•来宾模拟）设函数f （x ）＝a ln x +bx 2（a ＞0，b ＞0），若函数f （x ）的图象在x ＝1处的切线与直线x +y ﹣2e ＝0垂直，则11a b+的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．3﹣D ．【答案】D【解析】函数f （x ）＝a ln x +bx 2的导数为f ′（x ）ax=+2bx ， 可得函数f （x ）的图象在x ＝1处的切线斜率为a +2b ，由切线与直线x +y ﹣2e ＝0垂直，可得a +2b ＝1，（a ＞0，b ＞0）， 则11a b +=（a +2b ）（11a b +）＝1+22a bb a++≥=， 当且仅当2a bb a=即a ==1时，取得等号， 则11a b+的最小值为， 故选D ．14．（2020•鼓楼区校级模拟）已知曲线ex xy =在x ＝x 1处的切线为l 1，曲线y ＝ln x 在x ＝x 2处的切线为l 2，且l 1⊥l 2，则x 2﹣x 1的取值范围是（ ） A ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．（﹣∞，﹣1） C ．（﹣∞，0）D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【答案】B【解析】由ex xy =，得2e e 1'e e x x xx x x y --==， 则1111el x x k -=， 由y ＝ln x ，得y ′1x=， 则221l k x =，∵l 1⊥l 2，∴12112111e l l x x k k x -⋅=⋅=-，即1121e x x x -=． ∵x 2＞0，∴x 1＞1， 又112111e x x x x x --=-，令h （x ）1exx x -=-，x ＞1． 则h ′（x ）22e 1e e xx xx x ---=-=．当x ∈（1，+∞）时，y ＝2﹣x ﹣e x为减函数，故2﹣x ﹣e x＜2﹣1﹣e ＜0． ∴h ′（x ）＜0在（1，+∞）上恒成立，故h （x ）在（1，+∞）上为减函数，则h （x ）＜h （1）＝﹣1． 又当x ＞1时，11111e e e e x x x x x x --⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭＜， ∴h （x ）的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 即x 2﹣x 1的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选B ．15．（2020•吉林模拟）已知函数()()220af x x a x =+＞在（0，+∞）上的最小值为3，直线l 在y 轴上的截距为﹣1，则下列结论正确个数是（ ） ①实数a ＝1；②直线l 的斜率为1时，l 是曲线y ＝f （x ）的切线； ③曲线y ＝f （x ）与直线l 有且仅有一个交点． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】因为f （x ）＝2x 2a x +的导数为f ′（x ）＝2()33322x aa x x--=， 当0＜x f ′（x ）＜0，f （x ）递减；x f ′（x ）＞0，f （x ）递增．可得f为最小值，且为3， 即=3，解得a ＝1，故①正确； 设切点A 为（m ，2m 21m +），又因为f ′（x ）＝232x-，所以232m -=1，解得m =由切线方程y ＝x ﹣11），代入f （x ）＝2x 21x+不成立， 所以直线l 不是曲线y ＝f （x ）的切线，故②错误；又设直线l ：y ＝kx ﹣1，则曲线y ＝f （x ）与直线l 的交点个数等价为方程2x 21x +=kx ﹣1的根的个数．由2x 21x +=kx ﹣1可得k ＝2311x x ++， 令t 1x=，可得k ＝t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，设h （t ）＝t 3+t +2，t ∈R ，h ′（t ）＝3t 2+1＞0，所以h （t ）在R 上递增，且h （t ）∈R ， 而方程k ＝t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，所以当k ＝h （0）＝2时，k ＝t 3+t +2无实数根；当k ≠2时，k ＝t 3+t +2有且只有一个根． 故k ＝2时，曲线y ＝f （x ）与直线l 没有交点；而当k ≠2时，曲线y ＝f （x ）与直线l 有且只有一个交点．故③错误． 故选B ．16．（2020•来宾模拟）曲线y ＝x 3+x +3上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．πππ3π4224⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⋃，， D ．π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】A【解析】y ＝x 3+x +3的导数为y ′＝3x 2+1，可得曲线y ＝x 3+x +3上任意一点处的切线的斜率k ≥1， 设倾斜角为θ，可得tanθ≥1， 可得锐角θ满足π4≤θπ2＜， 故选A ．17．（2020•榆林四模）若函数f （x ）1x=-3ax 的图象在x ＝1处的切线与直线x +4y ＝0垂直，则a ＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．712-D ．53-【答案】D 【解析】f （x ）1x =-3ax 的导数为f ′（x ）21x=--3a ， 可得f （x ）的图象在x ＝1处的切线斜率为﹣1﹣3a ，由切线与直线x +4y ＝0垂直，可得﹣1﹣3a ＝4， 解得a 53=-． 故选D ．18．（2020•碑林区校级模拟）已知函数f （x ）＝x 2﹣2m ，g （x ）＝3ln x ﹣x ，若y ＝f （x ）与y ＝g （x ）在公共点处的切线相同，则m ＝（ ） A ．﹣3 B ．1C ．2D ．5【答案】B【解析】设两曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的公共点（a ，b ）（a ＞0），f （x ）＝x 2﹣2m ，其导数f ′（x ）＝2x ，则切线的斜率k ＝f ′（a ）＝2a ，g （x ）＝3ln x ﹣x ，其导数g ′（x ）31x =-，则切线的斜率k ＝g ′（a ）31a=-， 则有2a 31a =-，解可得a ＝1或32-（舍）， 则b ＝3ln1﹣1＝﹣1，则公共点为（1，﹣1），则有﹣1＝1﹣2m ，解得m ＝1． 故选B ．19．（2020•河南模拟）曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（ ） A ．3x +2y ﹣1＝0 B ．3x +2y +1＝0C ．6x +4y ﹣5＝0D ．12x +8y ﹣7＝0【答案】D 【解析】()21ln 22y x x =-的导数为y ′＝x 1x-， 设切点为（m ，n ），m ＞0， 可得切线的斜率为m 132m -=-， 解得m 12=（﹣2舍去）， 可得切点为（12，18），则切线的方程为y 1382-=-（x 12-），化为12x +8y ﹣7＝0． 故选D ．20．（2020•福州三模）曲线y ＝（1﹣x ）e x在x ＝1处的切线方程为（ ）A ．ex ﹣y ﹣e ＝0B ．ex +y ﹣e ＝0C ．x +ey ﹣1＝0D ．x ﹣ey ﹣1＝0【答案】B【解析】由已知：y |x ＝1＝0，y ′＝e x （1﹣x ﹣1）＝﹣xe x． 所以k ＝﹣e ，故切线为y ＝﹣e （x ﹣1），即ex +y ﹣e ＝0． 故选B ．21．（2020•桃城区校级模拟）设曲线sin 1cos x y x =-在点π12⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与直线2x +ay +1＝0垂直，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．12-C ．12D ．2【答案】A【解析】由题意得()()221cos cos sin 1'cos 11cos x x x y x x --==--， 所以曲线在点π12⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率k 1＝﹣1， 又直线2x +ay +1＝0的斜率22k a=-， 由k 1k 2＝﹣1，解得a ＝﹣2， 故选A ．22．（2020•让胡路区校级三模）曲线y =1，2）处的切线方程为（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝2xC ．y ＝3x ﹣1D ．1322y x =+ 【答案】A【解析】设()y f x ==()'f x=所以f '（1）＝1，所以切线方程为y ﹣2＝x ﹣1， 即y ＝x +1． 故选A ．23．（2020•临汾模拟）已知曲线f （x ）＝ln x +ax +b 在x ＝1处的切线是x 轴，若方程f （x ）＝m （m ∈R ）有两个不等实根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围是（ ） A ．（0，12） B ．（0，1） C ．（2，+∞） D ．（4，+∞）【答案】C【解析】易知，切点为（1，0），切线斜率为0，而()1'f x a x=+． ∴010a b a +=⎧⎨+=⎩，解得a ＝﹣1，b ＝1．∴f （x ）＝ln x ﹣x +1（x ＞0）． ∵()11'1xf x x x-=-=，易知f ′（1）＝0， 且当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0；x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0． ∴f （x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数， 故若方程f （x ）＝m （m ∈R ）有两个不等实根x 1＜x 2， 则必有0＜x 1＜1＜x 2，则2﹣x 1＞1．∵f （x 1）＝f （x 2），∴f （x 2）﹣f （2﹣x 1）＝f （x 1）﹣f （2﹣x 1）， 令g （x ）＝f （x ）﹣f （2﹣x ）＝ln x ﹣x ﹣1﹣[ln （2﹣x ）﹣（2﹣x ）﹣1] ＝ln x ﹣ln （2﹣x ）﹣2x +2，x ∈（0，1），∵()()2112(1)'2022x g x x x x x -=+-=--＞（0＜x ＜1）， ∴g （x ）在（0，1）上单调递增，而g （1）＝0，故g （x ）＜0在（0，1）上恒成立，∴f （x 2）﹣f （2﹣x 1）＜0恒成立，即f （x 2）＜f （2﹣x 1）恒成立 而此时x 2，2﹣x 1∈（1，+∞），且f （x ）在（1，+∞）上是减函数， ∴x 2＞2﹣x 1，即x 1+x 2＞2． 故选C ．24．（2020•河南模拟）设点P 是函数f （x ）＝2e x﹣f ′（0）x +f ′（1）图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．3π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．π3π0π24⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭⋃，，C ．π3π24⎛⎫⎪⎝⎭， D ．π3π0π24⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭⋃，， 【答案】B【解析】函数f （x ）＝2e x﹣f ′（0）x +f ′（1）的导数为f ′（x ）＝2e x﹣f ′（0），令x ＝0，可得f ′（0）＝2e 0﹣f ′（0），解得f ′（0）＝1， 则f （x ）＝2e x﹣x +f ′（1），f ′（x ）＝2e x﹣1， 设P （m ，n ），可得k ＝2e m﹣1＞﹣1，则tanα＞﹣1，即﹣1＜tanα＜0或tanα≥0，由0≤απ2＜或π2＜α＜π， 可得倾斜角α满足：3π4＜α＜π或0≤απ2＜，故选B ．25．（2020•黑龙江二模）若曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线也是y ＝e x+b 的切线，则b ＝（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．2 D ．﹣e【答案】B【解析】由y ＝ln x 得1'y x=，故y ′|x ＝1＝1，切点坐标为A （1，0）， 故切线方程为y ＝x ﹣1．设y ＝e x+b 的切点为B （m ，e m+b ），∵y ′＝e x，∴e m＝1，所以m ＝0，将m ＝0代入切线方程得B （0，﹣1）， 将B （0，﹣1）代入y ＝e m+b 得：﹣1＝e 0+b ，得b ＝﹣2． 故选B ．26．（2020•河南模拟）过原点引y ＝e x+t 的切线，若切线斜率为1e，则t ＝（ ） A ．﹣e B ．1eC ．2eD ．2e-【答案】D【解析】设切点坐标为（x 0，y 0）， 则001'e e 1ex x y x =⇒=⇒=-， 又()010001e 2e e ex y t t t x x -+===-+⇒=-． 故选D ．27．（2020•福建模拟）函数f （x ）＝x ax+在x ＝1处的切线方程为2x ﹣y +b ＝0，则a +b ＝（ ） A ．﹣3 B ．﹣1C ．0D ．1【答案】A【解析】函数f（x）＝xax+的导数为f′（x）＝12ax-，可得函数f（x）＝xax+在x＝1处的切线的斜率为k＝1﹣a，由切线方程为2x﹣y+b＝0，可得1﹣a＝2，即a＝﹣1，则f（x）＝x1x-，可得切点为（1，0），可得2﹣0+b＝0，即b＝﹣2，则a+b＝﹣3，故选A．28．（2020•河南模拟）已知：过点M（m，0）可作函数f（x）＝x2﹣2x+t图象的两条切线l1，l2，且l1⊥l2，则t＝（）A．1 B．54C．32D．2【答案】B【解析】设切点为（n，n2﹣2n+t），∵f′（x）＝2x﹣2，故切线斜率为2n﹣2．所以切线方程：y﹣（n2﹣2n+t）＝（2n﹣2）（x﹣n），将（m，0）代入整理得：n2﹣2mn+2m﹣t＝0，设l1，l2的切点横坐标分别为n1，n2，则：n1+n2＝2m，n1n2＝2m﹣t．因为l1⊥l2，所以f′（n1）f′（n2）＝（2n1﹣2）（2n2﹣2）＝4n1n2﹣4（n1+n2）+4＝﹣1①．结合韦达定理得4×（2m﹣t）﹣4×2m+4＝﹣1，解得54t=．故选B．29．（2020•益阳模拟）已知函数f（x）＝x2ln x+1﹣f'（1）x，则函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为（）A．12B．12-C．12-3e D．3e12-【答案】A【解析】函数f（x）＝x2ln x+1﹣f'（1）x的导数为f′（x）＝2x ln x+x﹣f′（1），令x＝1，则f′（1）＝0+1﹣f′（1），可得f′（1）12 =，则函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为12，故选A．30．（2020•三模拟）函数f（x）＝3sin x+4cos x的图象在点T（0，f（0））处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（）A．43B．53C．73D．83【答案】D【解析】由f（x）＝3sin x+4cos x，得f'（x）＝3cos x﹣4sin x，∴f'（0）＝3，又f（0）＝4，∴切线l的方程为3x﹣y+4＝0，取x＝0，解得切线l在y轴上的截距b＝4，取y＝0，解得切线l在x轴上的截距43a=-，∴直线l与坐标轴围成的三角形面积12S=|a||b|83=．故选D．31．（2020•陕西模拟）曲线f（x）＝f′（1）e x﹣x2+2在点（0，f（0））处的切线的斜率等于（）A．2eB．2e1-C．2ee1-D．42ee1--【答案】B【解析】f（x）＝f′（1）e x﹣x2+2，可得f′（x）＝f′（1）e x﹣2x，可令x＝1，可得f′（1）＝f′（1）e﹣2，解得f′（1）2e1 =-，则f′（x）2e1=-e x﹣2x，可得曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为f′（0）2e1 =-，故选B．32．（2020•赤峰模拟）设函数f（x）＝e x﹣x，直线y＝ax+b是曲线y＝f（x）的切线，则a+b的最大值是（）A．11e-B．1 C．e﹣1 D．e2﹣2【答案】C【解析】由题得f′（x）＝e x﹣1，设切点（t，f（t）），则f（t）＝e t x，f′（t）＝e t﹣1；则切线方程为：y﹣（e t﹣t）＝（e t﹣1）（x﹣t），即y＝（e t﹣1）x+e t（1﹣t），又因为y＝ax+b，所以a ＝e t ﹣1，b ＝e t（1﹣t ）， 则a +b ＝﹣1+2e t﹣te t，令g （t ）＝﹣1+2e t﹣te t，则g ′（t ）＝（1﹣t ）e t， 则有t ＞1，g ′（t ）＜0；t ＜1，g ′（t ）＞0， 所以t ＝1时，g （x ）取最大值，所以a +b 的最大值为g （1）＝﹣1+2e ﹣e ＝e ﹣1． 故选C ．33．（2020•四川模拟）曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．32D ．1【答案】A【解析】由x ＞0，f （x ）13=x 3+2ln x 的导数()()22211'30f x x x x x x x =+=++≥=＞， 当且仅当x ＝1时等号成立， 可得曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3． 故选A ．34．（2018•南开区二模）函数y ＝x cos x 在x π3=处的导数值是__________．【答案】12-【解析】y ′＝x ′cos x +x （cos x ）′＝cos x ﹣x sin x所以y ＝x cos x 在π3x =处的导数值是πππ1cos sin 3332-=故答案为126-． 35．（2020•沙坪坝区校级模拟）函数()1πcos '32f x x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则π'2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 【答案】32-【解析】∵()1π'sin '32f x x f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∴π1π'1'232f f ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得π3'22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 故答案为：32-． 36．（2020•香坊区校级二模）已知函数()π'cos sin 3f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 【答案】1【解析】由已知()π''sin cos 3f x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∴ππ1''332f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴π'23f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴()(2cos sin f x x x =+．∴(π12132f ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭． 故答案为：1．37．（2020•河南模拟）已知函数f （x ）＝2e x﹣f ′（0）sin x ，则f '（0）＝__________． 【答案】1【解析】f ′（x ）＝2e x﹣f ′（0）cos x ， ∴f ′（0）＝2﹣f ′（0），解得f ′（0）＝1． 故答案为：1．38．（2020•荔湾区校级模拟）设函数f （x ）的导数为f '（x ），且满足f （x ）＝f ′（1）x 3﹣2x，则f （1）＝__________．【答案】ln2﹣2【解析】根据题意，f （x ）＝f ′（1）x 3﹣2x ，则f ′（x ）＝3f ′（1）x 2﹣2xln2， 当x ＝1时，有f ′（1）＝3f ′（1）﹣2ln2， 解可得f ′（1）＝ln2，则f （x ）＝ln2×x 3﹣2x，故f （1）＝ln2﹣2； 故答案为：ln2﹣2．39．（2020•遂宁模拟）已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）＝3xf ′（2）+ln x ，则f （1）的值等于__________．【答案】3 4 -【解析】根据题意，f（x）＝3xf′（2）+ln x，其导数f′（x）＝3f′（2）1x +，令x＝2可得：f′（2）＝3f′（2）12 +，解可得f′（2）14 =-，故f（x）34=-x+ln x，则f（1）34=-，故答案为：34 -．40．（2020•邯山区校级模拟）已知函数f（x）＝x sin x+2x﹣1，则f'（π）＝__________．【答案】2﹣π【解析】∵f′（x）＝sin x+x cos x+2；∴f′（π）＝0﹣π+2＝2﹣π．故答案为：2﹣π．41．（2020•遂宁模拟）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）＝3xf'（2）+ln x，则f'（1）的值等于__________．【答案】1 4【解析】根据题意，f（x）＝3xf'（2）+ln x，则其导数f′（x）＝3f'（2）1x +，当x＝2时，有f′（2）＝3f'（2）12+，解可得f′（2）14=-，则f′（x）314x =-+，则f′（1）34=-+114=，故答案为：14．42．（2020•乐山模拟）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝ 2 ；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝__________．。