北京理工大学概率论16讲

1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
即
P 1 n Xi n i 1
辛钦
辛钦大数定律为寻找随机变量的期 望值提供了一条实际可行的途径.
定理3（贝努里大数定律） 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数， p 是一次试验中事件A发生的概率，则对任给 的 ε> 0，
不少于40000的概率是多少？
第i个参保人生病 1, Xi , i 1,...,10000 0， 第i个参保人没有生病
EX i 0.006, DX i 0.006 0.994 0.005964
求
P( X i 80)
i 1 10000
第i个参保人生病 1, Xi , i 1,...,10000 0， 第i个参保人没有生病

x

1 e 2
t2 2
dt
( x)
证明: 令
1, 第i次试验A发生 Xi , i 1,..., n 0, 第i次试验A不发生
设 Yn 是 n 重贝努里试验中事件A发生的 次数，p (0<p<1)是一次试验中事件A发生的概率
1, 第i次试验A发生 Xi , i 1,..., n 0, 第i次试验A不发生
i
10000 0.006
120 60 1 （ ） 59.64
1 （7.769） 0
某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加某种
医疗保险. 已知该类人在一年内生该种病的概率为 0.006。每个参加保险的人在年初付12元保险费，而 在生病时可从公司领得1000元。问在此项业务活动 中（2）保险公司获得利润（暂不计管理费）
n
X
k 1
n
k
n
n
n ) n
n n ( ) ( ) n n
利用该定理, 可以得到如下近似分布:
(1) 利用该定理，当 n 较大时
X
k 1
n
k

nZ n n
近似服从正态分布 N(n , n 2)
(2) 特别地, 当 n 较大时,
则有 X 1 ,..., X n 且
独立同分布
n i 1
EX i p, i 1,2...n , Sn X i
由辛钦大数定律，有
Sn 1 lim P{| X i p | } lim P{| p | } 1 n n n i 1 n
n
Sn 1 lim P{| X i p | } lim P{| p | } 1 n n n i 1 n
（2）保险公司获得利润（暂不计管理费）
不少于40000的概率是多少？ 解： 令
第i个参保人生病 1, Xi , i 1,...,10000 0， 第i个参保人没有生病
则 EX 0.006, DX 0.006 0.994 0.005964 i i
某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加某种
当 n 很大时，X1, …, Xn 的算术平均值在概率 意义下接近于它们公共的均值
设 Y1, Y2, … Yn …随机变量序列，a 是一个常数。若对任意的 0，有
lim P{| Yn a | } 1
n
则称序列Y1, Y2, … Yn… 以概率收敛于常数 a 记为
Yn a
医疗保险. 已知该类人在一年内生该种病的概率为 0.006。每个参加保险的人在年初付12元保险费，而 在生病时可从公司领得1000元。问在此项业务活动 中（1）保险公司破产的概率是多少？
第i个参保人生病 1, Xi , i 1,2,...,10000 0， 第i个参保人没有生病
由棣莫佛－拉普拉斯定理，有
1 n X Xk n k 1
近似服从正态分布 N( , 2/n)
定理2 (棣莫佛－拉普拉斯定理）
设 Yn 是 n 重贝努里试验中事件A发生的 次 数，p (0<p<1)是一次试验中事件A发生的概率， 则对任意 x，有
Yn np lim P{ x} n np(1 p)
们是由大量的相互独立的随机因素的综
合影响所形成的. 而其中每一个别因素在
总的影响中所起的作用都是微小的。
这种随机变量往往近似地服从正态分布。
该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.
例如：考虑炮弹的射击误差。设靶心为坐标 原点，弹着点的坐标为( X, Y )， X, Y 分别表 示弹着点与靶心的横向和纵向误差。我们来 看造成误差的原因是什么？
炮身在每次射击后，因震动而造成的微小偏差 每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不 同，由此出现的误差 每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差 异而引起的误差.
炮弹在前进时遇到的空气气流的微小扰动 而造成的误差 等等许多原因，每种原因引起一个微小的 误差，有的为正，有的为负，都是随机的 而误差X（或Y）是这许多彼此间相互独立 的随机小误差的总和，即
证明：
1 n 1 n 1 E[ X i ] EX i n n i 1 n i 1 n
1 n 1 n 1 E[ X i ] EX i n n i 1 n i 1 n
1 n P{| X i | } 1 n i 1 1 n D( X i ) n i 1
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在
相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现
出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必
然的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:
Yn np np(1 p)
近似于标准正态分布 N(0, 1). 于是，当 n 较大，0<p<1时，可以用正态分布 N(np, np(1-p)) 近似 Yn 的分布，即二项分布B(n, p).
例3 某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加
某种医疗保险. 已知该类人在一年内生该种病的概 率为0.006。每个参加保险的人在年初付12元保险费 ，而在生病时可从公司领得1000元。问在此项业务 活动中（1）保险公司破产的概率是多少？
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
切比雪夫大数定律表明，当n充分大时，
1 Xi n i 1
n
与 偏差很小的概率接近于1.
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
考虑
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D( X k )
k 1
取值的概率.
可以证明，满足一定的条件时，上述 和的分布函数的极限是标准正态分布.
定理1（列维一林德伯格Levy－Lindberg） 设X1, X2 , …是独立同分布的随机变量序列， 且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 >0 ，i=1,2,…，则
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
1 n X i 以概率收敛于 .该收敛可表示为 即 n i 1 P 1 n Xi n i 1
定理2（辛钦大数定律） 设X1, X2, …是独立同分布的随 机变量序列，且E(Xi)= ，i=1, 2,…, 则对任给 >0,
EX i 0.006, DX i 0.006 0.994 0.005964
P( X i 80)
i 1
10000
10000
P(
X
i 1
80 60 ) 10000 0.005964 59.64
n
Sn P p n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分 大时，事件A发生的频率 Sn/n 与事件A的概率 p 有 较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件 概率的方法.
例1：设X1, X2, …独立同分布，且 Xi 的k阶矩mk=E(Xi k) 存在，则有
1 n k P X i mk n i 1
大数定律 与 中心极限定理
定理1 切比雪夫大数定律的特殊情况 设 X1, X2, …是相互独立的随机变量 序列，它们具有相同的数学期望和方差， 即 E(Xi)= ， D(Xi)= 2 ，i=1,2, …
切比雪夫
则对任意的 0，有
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
X Xk
一般认为它服从正态分布。
k 1
n
以下我们从数学上来研究这种随机变量 之和的分布 例2. 设X1,…,Xn 是n个独立同分布的随机变量, 其共同分布为U(0, 1)，求 X1+X2 ，X1+X2+X3， 的分布 。
f g h
x
0
1
2
3
几个(0,1)上均匀分布的和的分布 X1 ~f(x)，E(X1)=0.5, 2(X1)=0.2887 X1 +X2+X3~ h(x) E(X1 +X2+X3)=1.5, 2(X1 +X2+X3)=30.2887 X1 +X2~g(x), E(X1+X2)=1, 2(X1+X2)=20.2887
lim P{ i 1
n
X
n
i
n x}
n

x
-
1 -t 2 2 e dt 2
( x)
当 n 较大时
Zn
X
k 1
n
k
n
n 2
近似服从正态分布 N(0, 1) 利用该定理, 可以进行如下计算:
n P( X k ) P( k 1 n
则 且
Yn X i
i 1
n
E ( X i ) p, D( X i ) pq
lim P{ i 1
n
X
n
i
n x}
故由列维一林德伯格定理，有
( x)
n
Yn np lim P{ x} ( x) n np(1 p)
定理表明，当 n 较大，0<p<1时，
10000
P( X i 120) P(
i 1
10000
X
i 1
120 60 ) 10000 0.005964 59.64
i
10000 0.006
P( X i 120)
i 1
10000
10000
P(
X
i 1
120 60 ) 10000 0.005964 59.64
证明：令 Yi X ik , i 1,2,... 则有 Y1, Y2, …独立同分布
且 EYi EX ik mk , i 1,2,...
P 1 n 所以由辛钦大数定律 Yi E (Y1 ) n i 1 也即 1 n k P X i mk n i 1
中心极限定理的客观背景 在客观实际中有许多随机变量，它
P
以概率收敛于有以下性质 若
X n a,
P
Baidu Nhomakorabea
Yn b
P
又 g(x, y) 设在点 (a, b) 连续，则
g ( X n , Yn ) g (a, b)
P
定理1 设 X1, X2, …是相互独立的随机变量序 列，它们具有相同的数学期望和方差，且 E(Xi)= ， D(Xi)= 2 ，i=1,2, … 则对任意的 0，有
2
2 1 n 1 n 1 又 D( X i ) 2 D( X i ) 2 n 2 n i 1 n i 1 n n
1 n 2 1 P{| X i | } 1 2 n i 1 n 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
或
Sn lim P{| p | } 1 n n
Sn P p n
证明：设
1, 第i次试验A发生 Xi , i 1,..., n 0, 第i次试验A不发生
设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p 是一 次试验中事件A发生的概率
1, 第i次试验A发生 Xi , i 1,..., n 0, 第i次试验A不发生