2.1.2 数列的递推公式(选学)ppt课件
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高中数学人教B版必修五课件2.1.2 数列的递推公式(选学)ppt版本
2.1.2 数列的递推公式(选学)
29
再见
2019/11/21
9
跟踪演练 1
a1＝1n＝1， 设数列{an}满足an＝1＋an1－1n≥2.
列的前 5 项.
解 由题意可知 a1＝1，a2＝1＋a11＝1＋11＝2，
a3＝1＋a12＝1＋12＝32，a4＝1＋a13＝1＋23＝53，
a5＝1＋a14＝1＋35＝85.
2.1.2 数列的递推公式(选学)
2.1.2 数列的递推公式(选学)
17
解 ∵f(x)＝log2x－lo2g2x，又∵f( 2an )＝2nm， ∴log22an－log222an＝2n，即 an－a2n＝2n. 整理得 an 2－2nan－2＝0，∴an＝n± n2＋2. 又0<x<1，故0< 2an <1，于是an<0， ∴an＝n－ n2＋2(n∈N＋).
2.数列的表示方法 数列的表示方法有列举法 、通项公式法 、图象法 、列表法 、 递推公式法 .
2.1.2 数列的递推公式(选学)
5
预习导学
挑战自我，点点落实
要点一 由递推公式写出数列的项 例1 已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并 归纳出数列的一个通项公式. (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
故它的一个通项公式为an＝n＋2 1. 规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各 部分的关系，依次代入计算即可. (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后 面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后 面的项表示前面的项的形式.
2.1.2 数列的递推公式(选学)
2.1.2 数列的递推公式(选学)
高中数学 2.1.2 数列的递推公式课件 新人教A版必修5
不同点 通项 公式 递推 公式 可根据某项的序号,直接用代入法求出该项 可根据第 1 项或前几项的值,通过一次或多 次赋值逐项求出数列的项,直至求出所需的 项 相同点 都可确定一个数列,都 可求出数列的任何一 项
-7-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
题型一
递推公式的应用
a3=1+ a2=1+ × = , a4=1+ a3=1+ × = a5=1+ a5=1+ ×
15 8 15 , 8 31 . 16 3 2 7 4 15 8 31 16
=
∴ 这个数列的前 5 项是 a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,a5= .
-9-
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典型考题
随堂练习
题型 一
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高中数学课件
-
第2课时
数列的递推公式
-3-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
1.知道递推公式是给出数列的一种形式. 2.能够根据递推公式写出数列的前几项.
-4-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
递推公式 如果已知数列 {an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式. 用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
-15-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
递推公式中往往含有 a n+m,其意义是数列中的第 n+m 项,通常与 an+m 不相等.
-7-
目标引航
自主预习
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典型考题
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题型 一
题型 二
题型 三
题型一
递推公式的应用
a3=1+ a2=1+ × = , a4=1+ a3=1+ × = a5=1+ a5=1+ ×
15 8 15 , 8 31 . 16 3 2 7 4 15 8 31 16
=
∴ 这个数列的前 5 项是 a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,a5= .
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题型 一
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第2课时
数列的递推公式
-3-
目标引航
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典型考题
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1.知道递推公式是给出数列的一种形式. 2.能够根据递推公式写出数列的前几项.
-4-
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递推公式 如果已知数列 {an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式. 用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
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典型考题
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题型 一
题型 二
题型 三
递推公式中往往含有 a n+m,其意义是数列中的第 n+m 项,通常与 an+m 不相等.
2019_2020版高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式课件新人教A版必修
2.数列作为特殊的函数,也具有单调性,对于递减数列
1 ������
,显然满足
a1>a2>…>an>an+1>…,反之,若数列满足 an>an+1,数列一定是递减数 列吗?若数列满足 an<an+1,数列一定是递增数列吗?
提示一定是;一定是.
3.填空: (1)数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义 域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应 的一列函数值如图所示.
10 11
������-1
,
(������ + 1)
10 11
������
≥ (������ + 2)
10 11
������ +1
,
整理,得
10������ + 11������ +
10 11
≥ ≥
11������, 10������ +
20,得
9≤k≤10,
所以 k=9 或 k=10.又 a1=2101<a9=a10,即数列{an}中的最大项为
第2课时 数列的递推公式
课标阐释
思维脉络
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列 增减性的方法. 2.理解数列递推公式的含义,会用递推 公式解决有关问题. 3.掌握求数列中最大(小)项的方法.
数列的函数特性 数列的递推公式 数列单调性的判断
数列的递推公式 数列中的最大(小)项
一二
一、数列与函数的关系
A.15
B.255
C.16
D.63
解析因为 a1=0,所以 a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
2.1.2数列的递推公式(选学) 课件(人教B版必修5)
菜 单
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
RB ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1 1 已知数列 {an}中，a1＝1， － ＝ ，求数列 {an}的通 an＋1 an 2 项公式．
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
【自主解答】 由 a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， „ 猜想 an＝2n(n∈N*)．
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
由 a1＝3，a2＝7，a3＝15，a4＝31，a5＝63，a6＝127， 可以看出，如果给每一项均加上 1，就变成了 a1＋1＝22，a2＋1＝23，a3＋1＝24， a4＋1＝25，a5＋1＝26，a6＋1＝27， ∴可猜想出：an＋1＝2 ∴an＝2n 1－1.
解得 8<n<9. 又因为 n∈N*，所以 n 不存在， 故数列{an}中没有最大项．
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
RB ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
【错因分析】 若 an 最大，则 an 与 an－1 或 an＋1 可能同时 最大，上面解题错在认为数列中的项都不相等，因此列出的 不等式组未含“等号”．
课 时 作 业
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1 1 已知数列 {an}中，a1＝1， － ＝ ，求数列 {an}的通 an＋1 an 2 项公式．
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
【自主解答】 由 a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， „ 猜想 an＝2n(n∈N*)．
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
由 a1＝3，a2＝7，a3＝15，a4＝31，a5＝63，a6＝127， 可以看出，如果给每一项均加上 1，就变成了 a1＋1＝22，a2＋1＝23，a3＋1＝24， a4＋1＝25，a5＋1＝26，a6＋1＝27， ∴可猜想出：an＋1＝2 ∴an＝2n 1－1.
解得 8<n<9. 又因为 n∈N*，所以 n 不存在， 故数列{an}中没有最大项．
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
【错因分析】 若 an 最大，则 an 与 an－1 或 an＋1 可能同时 最大，上面解题错在认为数列中的项都不相等，因此列出的 不等式组未含“等号”．
课件8：2.1.2 数列的递推公式（选学）
2.1.2 数列的递推公式（选学）
学习目标
核心素养
1.理解递推公式的含义．(重点) 1．通过数列递推公式的学习，
2.掌握递推公式的应用．(难点) 培养学生的逻辑推理的素养．
3.会求数列中的最大(小)项．(易 2．通过递推公式的应用学习，
错点)
提升学生的数据分析的素养.
新知初探 1．数列递推公式 (1)两个条件：①已知数列的第__1_项__(_或__前__几__项__)_； ②从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的_递__推__ 公式．
4．要注意通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映 an 和 n 之间的关系，即 an 是 n 的函数， 知道任意一个具体的 n 值，就可以求出该项的值 an；而递 推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多 个)相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出 an.
课堂检测 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( )
2．已知非零数列{an}的递推公式为 a1＝1， an＝n－n 1·an－1(n≥2)，则 a4＝________. 【解析】依次对递推公式中的 n 赋值， 当 n＝2 时，a2＝2；当 n＝3 时，a3＝32a2＝3； 当 n＝4 时，a4＝43a3＝4. 【答案】4
3．已知数列{an}中，a1＝－21，an＋1＝1－a1n，则 a5＝____. 【解析】因为 a1＝－12，an＋1＝1－a1n， 所以 a2＝1－a11＝1＋2＝3， a3＝1－13＝23，a4＝1－23＝－12，a5＝1＋2＝3. 【答案】3
学习目标
核心素养
1.理解递推公式的含义．(重点) 1．通过数列递推公式的学习，
2.掌握递推公式的应用．(难点) 培养学生的逻辑推理的素养．
3.会求数列中的最大(小)项．(易 2．通过递推公式的应用学习，
错点)
提升学生的数据分析的素养.
新知初探 1．数列递推公式 (1)两个条件：①已知数列的第__1_项__(_或__前__几__项__)_； ②从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的_递__推__ 公式．
4．要注意通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映 an 和 n 之间的关系，即 an 是 n 的函数， 知道任意一个具体的 n 值，就可以求出该项的值 an；而递 推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多 个)相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出 an.
课堂检测 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( )
2．已知非零数列{an}的递推公式为 a1＝1， an＝n－n 1·an－1(n≥2)，则 a4＝________. 【解析】依次对递推公式中的 n 赋值， 当 n＝2 时，a2＝2；当 n＝3 时，a3＝32a2＝3； 当 n＝4 时，a4＝43a3＝4. 【答案】4
3．已知数列{an}中，a1＝－21，an＋1＝1－a1n，则 a5＝____. 【解析】因为 a1＝－12，an＋1＝1－a1n， 所以 a2＝1－a11＝1＋2＝3， a3＝1－13＝23，a4＝1－23＝－12，a5＝1＋2＝3. 【答案】3
课件4：2.1.2 数列的递推公式（选学）
【解析】∵f(1)＝2，f(n＋1)＝fn2＋1(n∈N*)， 5
∴f(2)＝f12＋1＝32，f(3)＝f22＋1＝22＝54， f(4)＝f32＋1＝54＋2 1＝98.
【答案】98
4．已知数列{an}，a1＝1，an·an－1＝n－1(n≥2)，则aa86＝________. 【解析】解法一：∵a1＝1，an·an－1＝n－1(n≥2)， ∴a2＝a11＝1，a3＝a22＝2，a4＝a33＝32，a5＝a44＝83， a6＝a55＝185，a7＝a66＝156，a8＝a77＝3156. ∴aa68＝185·1365＝67.
2.1.2 数列的递推公式（选学）
情境引入导学
某餐厅供应 1 000 名学生用餐，每星期一有 A、B 两种菜可供 选择，调查资料显示星期一选 A 菜的学生中有 20%在下周一选 B 菜，而选 B 菜的学生中有 30%在下周一选 A 菜．用 An、Bn 分别表 示在第 n 个星期一选 A 菜、B 菜的学生数，试写出 An 与 An－1 的关 系及 Bn 与 Bn－1 的关系．
解：∵4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)， ∴an＋1(4－an)＋2an＝9. ∴an＋1(4－an)＝9－2an. ∴an＋1＝94－－2aann.
∴a2＝94－－2aa11＝9－4－2×1 1＝73，a3＝94－－2aa22＝9－4－2×73 73＝153， a4＝94－－2aa33＝9－4－2×153153＝179. 故这个数列的前 4 项为 1，73，153，179， 可归纳出通项公式 an＝62nn－－51.
命题方向2：递推公式在实际问题中的应用
例 2：某人上一段 11 级的楼梯，如果一步可上一级，也可上 两级，则他共有多少种不同的上楼梯的方法？
∴f(2)＝f12＋1＝32，f(3)＝f22＋1＝22＝54， f(4)＝f32＋1＝54＋2 1＝98.
【答案】98
4．已知数列{an}，a1＝1，an·an－1＝n－1(n≥2)，则aa86＝________. 【解析】解法一：∵a1＝1，an·an－1＝n－1(n≥2)， ∴a2＝a11＝1，a3＝a22＝2，a4＝a33＝32，a5＝a44＝83， a6＝a55＝185，a7＝a66＝156，a8＝a77＝3156. ∴aa68＝185·1365＝67.
2.1.2 数列的递推公式（选学）
情境引入导学
某餐厅供应 1 000 名学生用餐，每星期一有 A、B 两种菜可供 选择，调查资料显示星期一选 A 菜的学生中有 20%在下周一选 B 菜，而选 B 菜的学生中有 30%在下周一选 A 菜．用 An、Bn 分别表 示在第 n 个星期一选 A 菜、B 菜的学生数，试写出 An 与 An－1 的关 系及 Bn 与 Bn－1 的关系．
解：∵4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)， ∴an＋1(4－an)＋2an＝9. ∴an＋1(4－an)＝9－2an. ∴an＋1＝94－－2aann.
∴a2＝94－－2aa11＝9－4－2×1 1＝73，a3＝94－－2aa22＝9－4－2×73 73＝153， a4＝94－－2aa33＝9－4－2×153153＝179. 故这个数列的前 4 项为 1，73，153，179， 可归纳出通项公式 an＝62nn－－51.
命题方向2：递推公式在实际问题中的应用
例 2：某人上一段 11 级的楼梯，如果一步可上一级，也可上 两级，则他共有多少种不同的上楼梯的方法？
高中数学 2.1.2 数列的递推公式(选学)课件 新人教B版
导 学
它的前 5 项又可写成1＋2 1，2＋2 1，3＋2 1，4＋2 1，5＋2 1，
作 业
课
堂
互 动 探
故它的一个通项公式为 an＝n＋2 1.
究
教 师 备 课 资 源
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RB ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学 方 案
1．在递推公式中令 n＝1,2,3,4,5，…，结合 a1 的值即可
当 堂 双 基
计
达
课 的前 5 项，并归纳出数列的一个通项公式．
标
前
自 主
【思路探究】
(1)已知 a1，怎样求 a2？进而怎样求 a3，
课 时
导
学 a4，a5?
作 业
课 堂
(2)由通项写出的 5 项，怎样归纳{an}的通项公式？
互
动
探
究
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教
学 教 法 分
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学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方 案
●重点难点
堂 双
设
基
计
重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项．
达 标
课
前
自
难点：理解递推公式与通项公式的关系.
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
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课件6：2.1.2 数列的递推公式（选学）
答： ①③④正确．数列可以用列表法表示，故②错误．
2.向日葵花盘上的小花是螺旋排列的，这些排列的数字组成 一个数列，分别是 1,2,3,5,8,13,21，……，其中，每一个数都是前 面两个数字之和，那么向日葵花盘第十圈的小花数目是多少？
答：递推式，an＝an－1＋an－2(n≥3)， ∴a8＝13＋21＝34，a9＝34＋21＝55，a10＝55＋34＝89， 即第十圈的小花数为 89.
思考题 3 (1)已知数列{an}，a1＝2，an＝2an－1(n≥2)，求 数列的通项公式 an.
(2)已知 a1＝1，an＋1＝an2＋an2，求通项公式 an.
【解】(1)∵a1＝2，an＝2an－1，∴aan－n 1＝2. ∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa23·aa21·a1
探究 1 判断数列是递增数列或递减数列，关键就是比较相 邻两项 an＋1，an 的大小．
思考题 1 已知函数 f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足 f(log2an) ＝－2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性．
【解】 (1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
(2)∵a1＝1，an＋1＝2＋2aan n， ∴a2＝2＋2aa1 1＝23，a3＝22＋a2a2＝12， a4＝2＋2aa3 3＝25，a5＝22＋a4a4＝13.
∴它的前 5 项依次是 1，23，12，25，13. 它的前 5 项又可写成1＋2 1，2＋2 1，3＋2 1，4＋2 1，5＋2 1. 故它的一个通项公式为 an＝n＋2 1.
【解析】因为{an}为递增数列，所以 an＋1>an.即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2 ＋λn.∴λ>－2n－1.故 λ>－3，故实数 λ>－3.
2.向日葵花盘上的小花是螺旋排列的，这些排列的数字组成 一个数列，分别是 1,2,3,5,8,13,21，……，其中，每一个数都是前 面两个数字之和，那么向日葵花盘第十圈的小花数目是多少？
答：递推式，an＝an－1＋an－2(n≥3)， ∴a8＝13＋21＝34，a9＝34＋21＝55，a10＝55＋34＝89， 即第十圈的小花数为 89.
思考题 3 (1)已知数列{an}，a1＝2，an＝2an－1(n≥2)，求 数列的通项公式 an.
(2)已知 a1＝1，an＋1＝an2＋an2，求通项公式 an.
【解】(1)∵a1＝2，an＝2an－1，∴aan－n 1＝2. ∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa23·aa21·a1
探究 1 判断数列是递增数列或递减数列，关键就是比较相 邻两项 an＋1，an 的大小．
思考题 1 已知函数 f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足 f(log2an) ＝－2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性．
【解】 (1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
(2)∵a1＝1，an＋1＝2＋2aan n， ∴a2＝2＋2aa1 1＝23，a3＝22＋a2a2＝12， a4＝2＋2aa3 3＝25，a5＝22＋a4a4＝13.
∴它的前 5 项依次是 1，23，12，25，13. 它的前 5 项又可写成1＋2 1，2＋2 1，3＋2 1，4＋2 1，5＋2 1. 故它的一个通项公式为 an＝n＋2 1.
【解析】因为{an}为递增数列，所以 an＋1>an.即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2 ＋λn.∴λ>－2n－1.故 λ>－3，故实数 λ>－3.
原创1：2.1.2 数列的递推公式
5
10 15 20 25
34
4
5
知识链接
（3）图象法：
新知探究
（一）数列的表示方法
问题1. 数列是特殊的函数，根据函数的表示方法，推理数列的
表示方法有哪些？
答：解析法，列表法，图象法.
例1. 对于数列 5，10，15，20， ⋯ ，你能否用上述几种方法表
示出来？
答：（1）解析法： = 5， ∈ N ∗ ；
项公式可以看成是数列的函数解析式，我们可以根据数列的通
项公式写出数列或数列的项.
新知探究
（二）数列的通项公式
例2. 已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为 = (−1) ， =
cos，请分别写出这两个数列，并指出它们是否表示同一个
数列？
【解析】数列{an}为：−1，1，−1，1，…，(−1) ，… ；
且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为 =
(−1)+1
新知探究
（二）数列的通项公式
（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数
项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1.
【解题反思】如何由数列的若干项写出其通项公式？
答：求数列的通项公式，即寻找数列中的项an与相应的项数
之间的对应关系式，因而只需观察并分析数列中的项关于 的
构成规律，然后将项表示为项数的函数关系式即可．
（二）数列的通项公式
新知探究
变式3. 分别写出下面两个数列的一个通项公式，数列的前4项
已给出．
(1)
1
2
1
6
，− ，
1
，
12
−
1
，⋯
课件7：2.1.2 数列的递推公式（选学）
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)， 且 a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8， ∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝aan＋n 1，且 a1＝1，a2＝2，a3＝3， a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. ∴b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
D．an＝2n1－1
【解析】当 n＝1 时，a2＝1＋1 1＝12，排除 A，B，D， 故选 C. 【答案】C
4．已知
f(1)
＝
2
，
f(n
＋
1)
＝
fn＋1 2
(n
∈
N
＋
)
，
则
f(4)＝
________. 【解析】f(2)＝f12＋1＝2＋2 1＝23，
f(3)＝23＋2 1＝45，f(4)＝54＋2 1＝98.
类型 3 递推公式的综合应用
例 3 已知数列{an}满足 an＋1＝1－1an，若 a1＝12，
则 a2 018＝( )
A．2
B．－2
C．－1
D．12
【解析】 a1＝21，∴a2＝1－1 12＝2， a3＝1－1 2＝－1，a4＝1＋1 1＝12，a5＝2，…， ∴数列an具有周期性，且 T＝3， ∴a2 018＝a672×3＋2＝a2＝2，故选 A. 【答案】 A
变式训练 2-1 在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，若 an＋2＝
2an＋1－an＋2，则 an＝( )
A．15n2－25n＋65
B．n3－5n2＋9n－4
高中数学(福建)人教A版必修5课件：2.1.2 数列的递推公式
1 2 1 1 a3=1 + ������2=1 + × 2 2 1 1 a4=1 + ������3=1 + × 2 2 1 1 a5=1 + ������4=1 + × 2 2
1
又 a1=1,∴a2=1 + ������1=1 + × 1 = ,
3 7 = , 2 4 7 15 = , 4 8 15 31 = . 8 16
M 目标导航
题型一 题型二 题型三
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
������������+1 ������������
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练 2】 (1)已知在数列{an}中,a1=1, 的通项公式是( A.an=2n C.an=
1 2
= , 则数列{an}
2������
解:∵a1=1,an+1 =
∴a2 = ������
a3 = a4 =
2������1 1 +2
= ,
2× 3
2 3+2 1 2× 2 1 2+2 2 2× 5 2 +2 5
2 3
2������������ , ������������ +2
2������2 ������2 +2 2������3 ������3 +2 2������
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
解:a1=1,
a2=a1 + 2×1 = 1 + 2 = 2, a3=a2 + 3×2 = 2 + 6 = 3,
1
又 a1=1,∴a2=1 + ������1=1 + × 1 = ,
3 7 = , 2 4 7 15 = , 4 8 15 31 = . 8 16
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UBIAODAOHANG
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������������+1 ������������
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D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练 2】 (1)已知在数列{an}中,a1=1, 的通项公式是( A.an=2n C.an=
1 2
= , 则数列{an}
2������
解:∵a1=1,an+1 =
∴a2 = ������
a3 = a4 =
2������1 1 +2
= ,
2× 3
2 3+2 1 2× 2 1 2+2 2 2× 5 2 +2 5
2 3
2������������ , ������������ +2
2������2 ������2 +2 2������3 ������3 +2 2������
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解:a1=1,
a2=a1 + 2×1 = 1 + 2 = 2, a3=a2 + 3×2 = 2 + 6 = 3,
人教B版必修5高二数学2.1.2数列的递推公式教学课件
5.设数列{an}：a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9。 求通项an.
解：把已知式子变形为
an+1
=
2an - 9 an - 4
，令an= bn+t
an+1
=
bn+1
+
t
=
2(bn + t) - 9 bn + t - 4
从而
bn+1
=
(2
-
t)bn - (t2 - 6t bn + t - 4
解：1= 1 ，点Qn+1与Pn的纵坐标相同，都 是an，2同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等，
点Pn+1在曲线c：y
=
(
1 2
)x
上，
由横坐标得它的纵坐标为 ( 1 )an 2
即
an+1
=
( 1 )an 2
这就是数列{an}的递推公式。
例3.已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有
a5
25 16
a3
a5
9 4
25 16
61 16
解法2：（1）因为 a1 a2 an n2
所以a1a2 4 解得a2=4，
又 a1a2a3 9
解得
a3
9 4
同理可得
a4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
9 4
25 16
61 16
（2） 256 225
是此数列中的项吗？
解：（2）令
256 225
知识回顾
1、数列：按一定顺序排列的一列数叫数列。
高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式课件 a必修5a高二必修5数学课件
求通项.
-1
(2)累乘法:当 =g(n)时,常用 an=
· ·
…·2·
a 求通项.
-1
-1 -2
1 1
12/8/2021
第十页，共二十二页。
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探究
(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.数列{an}中,a1=-1,an+1=an-3,则 a3 等于(
A.-7
B.-4
C.-1
解析:a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.
答案:A
12/8/2021
第十六页，共二十二页。
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
)
D.2
2
3
4
5
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S 随堂练习
第2课时(kèshí) 数列的递推公式
12/8/2021
第一页，共二十二页。
-1-
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J 基础知识 Z 重点难点
课程目标
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列增减性
的方法.
2.知道递推公式是给出数列的一种形式.
3.能够根据递推公式写出数列的前几项.
12/8/2021
第二页，共二十二页。
ICHU ZHISHI
1
,可利用累加法求解;
(+1)
思路分析:(1)an+1-an=
(2)原式转化为
-1
(3)原式转化为
1
1
−
=1(n≥2),可利用累加法求解.
-1
(2)累乘法:当 =g(n)时,常用 an=
· ·
…·2·
a 求通项.
-1
-1 -2
1 1
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一
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(tànjiū)
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1
1.数列{an}中,a1=-1,an+1=an-3,则 a3 等于(
A.-7
B.-4
C.-1
解析:a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.
答案:A
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)
D.2
2
3
4
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课程目标
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列增减性
的方法.
2.知道递推公式是给出数列的一种形式.
3.能够根据递推公式写出数列的前几项.
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1
,可利用累加法求解;
(+1)
思路分析:(1)an+1-an=
(2)原式转化为
-1
(3)原式转化为
1
1
−
=1(n≥2),可利用累加法求解.
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第二章 数 列
栏目导引
1．叠加法
已知数列 {an} 中， a1 ＝ 1 ，以后各项由 an ＝ an － 1 ＋ 1 (n≥2)给出，求{an}的通项公式． n－1n＋1
【思路点拨】 用叠加法结合裂项相消法求解
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第二章 数 列
栏目导引
【解析】
1 ∵a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)， n－1n＋1
该数列的前4项．
【思路点拨】 由首项及递推公式逐项求解．
【解析】 ∵a1＝10，∴3a2＝a1＋2＝12，∴a2＝4， ∵3a3＝a2＋2＝6，∴a3＝2. 4 ∵3a4＝a3＋2＝4，∴a4＝3.
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第二章 数 列
栏目导引
由递推公式求数列中的某一项时，必须将其前面的项依次
一一求出，不能间断，更不能直接求得所求的项．
相邻两项的差an－an －1＝an－1－an－2＝…a3 －a2＝a2 － a1＝2，却
无法确定这个数列；若又已知 a1 ＝ 1 ，则可以确定这个数列为 1,3,5,7，…，2n－1，….
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第二章 数 列
栏目导引
已知数例 {an} 满足 a1 ＝ 10,3an ＋ 1 ＝ an ＋ 2(n∈N*) ，写出
2．1.2
数列的递推公式(选学)
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第二章 数 列
栏目导引
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第二章 数 列
栏目导引
8 15 24 1．数列－1，5，－ 7 ， 9 ，…的一个通项公式 2 n ＋ 1 －1 n (－1) · 2n＋1 . 是 2．若 f(x＋1)＝2f(x)＋1，且 f(1)＝1，则 f(2)＝ 3 ，f(3) ＝ 7 . 3．数列 3,6,9,12，…的一个通项公式是 an＝
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第二章 数 列
栏目导引
1 1.已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)求 nn－1 出该数列第五项及它的一个通项公式．
【解析】 (1)由递推公式an＋1＝2an＋1及a1＝1，
得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.
∴数列的前五项分别为1,3,7,15,31.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝2n－1－n＋1＋n－2－n＋…＋2－4＋1－3 ＋1 1 1 1 1 ＝2－n＋1－n＋2＋1 ＋1
3n
.那 .
么，an＋1＝ 3n＋3 .an＋1 与 an 的关系是 an＋1＝ an＋3
工式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开 始的任一项an与 它前一项an－1(或前几项) 间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 递推 公式．
用通项公式a100＝f(100)更快捷，而用递推公式时，
必须依次递推求得 a1 ，a2 ，a3 ， …， a99 才能得到 a100 ，递推的过
程不能间断．
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第二章 数 列
栏目导引
2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)能否确
定式个数列？若又已知a1＝1呢？
【提示】 仅由数列 {an} 的关系式 an ＝ an － 1 ＋ 2 ，只能知道
1 1 1 1 1 1 1 ＝n－1－n＋n－2－n－1＋…＋2－3＋1－2＋1
1 1 2n－1 ＝－ ＋1＋1＝2－ ＝ (n∈N＋)． n n n 10－1 9 ∴a5＝ 5 ＝5.
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第二章 数 列
栏目导引
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第二章 数 列
栏目导引
1 (2)由递推公式 an＝an－1＋ 及 a1＝1， nn－1 1 3 3 1 5 得 a2＝1＋ ＝ ，a ＝ ＋ ＝ ， 2×1 2 3 2 3×2 3 5 1 7 7 1 9 a4＝3＋ ＝ ，a ＝ ＋ ＝ . 4×3 4 5 4 5×4 5 9 ∴数列的第五项为5. 由 a1，a2，a3，a4，a5 可以归纳出数列{an}的通项公式为 2n－1 1 an＝ ＝2－ . n n
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第二章 数 列
栏目导引
如果递推关系可以变形为an＋1＝g(n)·an的形式，且g(n)能够 求积，则可用累乘法求数列的通项公式．
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第二章 数 列
栏目导引
2．通项公式与递推公式的区别与联系
区别 通项公式 递推公式 项an是 序号n 已知a1及 的函数an＝f(n)
联系 可以确 定数列
相邻项间 的关系式
工具
第二章 数 列
栏目导引
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第二章 数 列
栏目导引
1．若分别用通项公式与递推公式求{an}中的第100项，哪一 个更快捷？ 【提示】
2．累乘法
已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)·an＝n·an＋1，求{an}
的通项公式．
【思路点拨】
法) ．
先将递推公式变形，再用累乘法 ( 或迭代
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第二章 数 列
栏目导引
【解析】
an＋1 n＋1 由已知可得 a ＝ n ， n
a2 2 a3 3 a4 4 an n ∴a ＝1，a ＝2，a ＝3，…， ＝ . a n － 1 － 1 2 3 n 1 各式两边分别相乘，得 a2 a3 a4 an 2 3 4 n ··… ＝ ··· …· ， a1 a2 a3 an－1 1 2 3 n－1 an 即a ＝n，又 a1＝1，∴an＝n. 1
7n2＋3n－2 ＝ (n∈N＋)． 4n2＋4n
工具
第二章 数 列
栏目导引
由递推关系求通项公式时，若能将递推关系转化成形如an＋1
＝an＋f(n)的形式，且f(n)可求和，则可用本例的叠加法求通项公
式．
工具
第二章 数 列
栏目导引
2.仿照本例将例1的变式训练改为先求通项公式，再求第五
项．
1 1 【解析】 由 an＝an－1＋ 得 an－an－1＝ (n≥2)， nn－1 nn－1 ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＋1 nn－1 n－1n－2 3×2 2×1