2.1.2 数列的递推公式(选学)ppt课件

该数列的前4项．
【思路点拨】 由首项及递推公式逐项求解．
【解析】 ∵a1＝10，∴3a2＝a1＋2＝12，∴a2＝4， ∵3a3＝a2＋2＝6，∴a3＝2. 4 ∵3a4＝a3＋2＝4，∴a4＝3.
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第二章 数 列
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由递推公式求数列中的某一项时，必须将其前面的项依次
一一求出，不能间断，更不能直接求得所求的项．
1 1 1 1 1 1 1 ＝n－1－n＋n－2－n－1＋…＋2－3＋1－2＋1
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1 1 2n－1 ＝－ ＋1＋1＝2－ ＝ (n∈N＋)． n n n 10－1 9 ∴a5＝ 5 ＝5.
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第二章 数 列
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相邻两项的差an－an －1＝an－1－an－2＝…a3 －a2＝a2 － a1＝2，却
无法确定这个数列；若又已知 a1 ＝ 1 ，则可以确定这个数列为 1,3,5,7，…，2n－1，….
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已知数例 {an} 满足 a1 ＝ 10,3an ＋ 1 ＝ an ＋ 2(n∈N*) ，写出
用通项公式a100＝f(100)更快捷，而用递推公式时，
必须依次递推求得 a1 ，a2 ，a3 ， …， a99 才能得到 a100 ，递推的过
程不能间断．
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2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)能否确
定式个数列？若又已知a1＝1呢？
【提示】 仅由数列 {an} 的关系式 an ＝ an － 1 ＋ 2 ，只能知道
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1 (2)由递推公式 an＝an－1＋ 及 a1＝1， nn－1 1 3 3 1 5 得 a2＝1＋ ＝ ，a ＝ ＋ ＝ ， 2×1 2 3 2 3×2 3 5 1 7 7 1 9 a4＝3＋ ＝ ，a ＝ ＋ ＝ . 4×3 4 5 4 5×4 5 9 ∴数列的第五项为5. 由 a1，a2，a3，a4，a5 可以归纳出数列{an}的通项公式为 2n－1 1 an＝ ＝2－ . n n
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝2n－1－n＋1＋n－2－n＋…＋2－4＋1－3 ＋1 1 1 1 1 ＝2－n＋1－n＋2＋1 ＋1
2．累乘法
已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)·an＝n·an＋1，求{an}
的通项公式．
【思路点拨】
法) ．
先将递推公式变形，再用累乘法 ( 或迭代
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【解析】
an＋1 n＋1 由已知可得 a ＝ n ， n
a2 2 a3 3 a4 4 an n ∴a ＝1，a ＝2，a ＝3，…， ＝ . a n － 1 － 1 2 3 n 1 各式两边分别相乘，得 a2 a3 a4 an 2 3 4 n ··… ＝ ··· …· ， a1 a2 a3 an－1 1 2 3 n－1 an 即a ＝n，又 a1＝1，∴an＝n. 1
2．1.2
数列的递推公式(选学)
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8 15 24 1．数列－1，5，－ 7 ， 9 ，…的一个通项公式 2 n ＋ 1 －1 n (－1) · 2n＋1 . 是 2．若 f(x＋1)＝2f(x)＋1，且 f(1)＝1，则 f(2)＝ 3 ，f(3) ＝ 7 . 3．数列 3,6,9,12，…的一个通项公式是 an＝
3n
.那 .
么，an＋1＝ 3n＋3 .an＋1 与 an 的关系是 an＋1＝ an＋3
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1．数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开 始的任一项an与 它前一项an－1(或前几项) 间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 递推 公式．
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2．通项公式与递推公式的区别与联系
区别 通项公式 递推公式 项an是 序号n 已知a1及 的函数an＝f(n)
联系 可以确 定数列
相邻项间 的关系式
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1．若分别用通项公式与递推公式求{an}中的第100项，哪一 个更快捷？ 【提示】
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1．叠加法
已知数列 {an} 中， a1 ＝ 1 ，以后各项由 an ＝ an － 1 ＋ 1 (n≥2)给出，求{an}的通项公式． n－1n＋1
【思路点拨】 用叠加法结合裂项相消法求解
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【解析】
1 ∵a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)， n－1n＋1
7n2＋3n－2 ＝ (n∈N＋)． 4n2＋4n
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由递推关系求通项公式时，若能将递推关系转化成形如an＋1
＝an＋f(n)的形式，且f(n)可求和，则可用本例的叠加法求通项公
式．
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2.仿照本例将例1的变式训练改为先求通项公式，再求第五
项．
1 1 【解析】 由 an＝an－1＋ 得 an－an－1＝ (n≥2)， nn－1 nn－1 ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＋1 nn－1 n－1n－2 3×2 2×1
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1 1.已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)求 nn－1 出该数列第五项及它的一个通项公式．
【解析】 (1)由递推公式an＋1＝2an＋1及a1＝1，
得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.
∴数列的前五项分别为1,3,7,15,31.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
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如果递推关系可以变形为an＋1＝g(n)·an的形式，且g(n)能够 求积，则可用累乘法求数列的通项公式．