分类计数原理与分步计数原理PPT优秀课件5
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第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
数为A45＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)． 答案：1 080
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
分类计数原理与分步计数原理-课件
提供一些实际应用的例子， 让大家亲自尝试使用分步 计数原理解决问题，加深 理解和掌握。
相互排斥原理与相互独立原理
相互排斥原理
通过相互排斥原理，我们可以解决一些带有条 件限制的计数问题，有效地减少计数。
相互独立原理
相互独立原理用于解决同时发生多个独立事件 的计数问题，了解如何将问题分解为独立的部 分进行计数。
鼓励学生运用所学知 识，解决更多实际问 题，提高计数能力。
分类计数原理与分步计数 原理-PPT课件
欢迎来到本次演示，我们将一起探索分类计数原理和分步计数原理的奥秘， 了解它们在数学中的应用以及相互之间的联系。
分类计数原理
1 了解基本概念
2 掌握应用技巧
3 举例说明
分类计数原理是一种 用于计算和统计的基 本原理，可以帮助我 们解决各种实际问题。
学习分类计数原理的 技巧和方法，掌握如 何将问题分解和分类， 有效地解决复杂的计 数问题。
通过实际案例，展示 分类计数原理在实际 问题中的应用，帮助 大家更好地理解和掌 握。
分步计数原理
原理解析
分步计数原理通过将一个 复杂的计数问题分解为多 个简单的步骤，逐步求解， 从而得到最终结果。
流程示例
通过一个实际问题的例子， 详细展示分步计数原理的 具体流程和解题步骤，帮 助大家理解和掌握。
应用实践
排列与组合的关系
1
组合
2
深入掌握组合的原理和计算方法，
探索组合与排列的不同之处，以及
它们在实际问题中的应用。
3
排列
学习排列的概念和计算方法，了解 排列与组合的关系及其应用。
综合运用
通过实际问题，综合运用排列和组 合的知识，解决更复杂的计数问题。
应用实例
相互排斥原理与相互独立原理
相互排斥原理
通过相互排斥原理，我们可以解决一些带有条 件限制的计数问题，有效地减少计数。
相互独立原理
相互独立原理用于解决同时发生多个独立事件 的计数问题，了解如何将问题分解为独立的部 分进行计数。
鼓励学生运用所学知 识，解决更多实际问 题，提高计数能力。
分类计数原理与分步计数 原理-PPT课件
欢迎来到本次演示，我们将一起探索分类计数原理和分步计数原理的奥秘， 了解它们在数学中的应用以及相互之间的联系。
分类计数原理
1 了解基本概念
2 掌握应用技巧
3 举例说明
分类计数原理是一种 用于计算和统计的基 本原理，可以帮助我 们解决各种实际问题。
学习分类计数原理的 技巧和方法，掌握如 何将问题分解和分类， 有效地解决复杂的计 数问题。
通过实际案例，展示 分类计数原理在实际 问题中的应用，帮助 大家更好地理解和掌 握。
分步计数原理
原理解析
分步计数原理通过将一个 复杂的计数问题分解为多 个简单的步骤，逐步求解， 从而得到最终结果。
流程示例
通过一个实际问题的例子， 详细展示分步计数原理的 具体流程和解题步骤，帮 助大家理解和掌握。
应用实践
排列与组合的关系
1
组合
2
深入掌握组合的原理和计算方法，
探索组合与排列的不同之处，以及
它们在实际问题中的应用。
3
排列
学习排列的概念和计算方法，了解 排列与组合的关系及其应用。
综合运用
通过实际问题，综合运用排列和组 合的知识，解决更复杂的计数问题。
应用实例
分类计数原理与分步计数原理PPT教学课件
两个原理的不同之处： 分类计数用于分类，各类间独立、
互斥．各类中任何一种方法都能够独 立完成这件事．
分步计数原理用于分步，步步相扣， 缺一不可，只有各个步骤都完成了，才 算完成这件事．
讲授新课
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有 2本不同的体育书． ⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的 取法？ ⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多 少种不同的取法？
的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走
法的种数是
．
讲授新课
课堂练习 1．填空： ⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人会 用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法 完成，从中选出1人来完成这件工作，不同 选法的种数是有 9 种 ．
(分类计数原理) 5＋4=9
⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C村 的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走 法的种数是 6 种 ．
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
甲地
乙地
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
互斥．各类中任何一种方法都能够独 立完成这件事．
分步计数原理用于分步，步步相扣， 缺一不可，只有各个步骤都完成了，才 算完成这件事．
讲授新课
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有 2本不同的体育书． ⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的 取法？ ⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多 少种不同的取法？
的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走
法的种数是
．
讲授新课
课堂练习 1．填空： ⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人会 用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法 完成，从中选出1人来完成这件工作，不同 选法的种数是有 9 种 ．
(分类计数原理) 5＋4=9
⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C村 的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走 法的种数是 6 种 ．
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
甲地
乙地
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(人教版)
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
( 人教A版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 (共27张PPT)
3．商店里有上衣 15 种，裤子 18 种，某人要买一件上衣或一条裤子，共有________ 种不同的选法，要买上衣、裤子各一件，共有________种不同的选法． 解析：要买一件上衣或一条裤子只有 15＋18＝33 种；要买上衣、裤子各一件共有 15×18＝270 种． 答案：33 270
探究一 分类加法计数原理
分类讨论思想解决排数问题 [典例] 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字且比 2 015 大的四位偶数？ [解析] 解法一 按末位是 0,2,4 分为三类： 第一类，末位是 0 的有 4×4×3＝48 个； 第二类，末位是 2 的有 3×4×3＝36 个； 第三类，末位是 4 的有 3×4×3＝36 个． 其中 2 014 不合题意，应去除， 由分类加法计数原理，得 N＝48＋36＋36－1＝119 个．
[双基自测] 1．一个科技小组有 3 名男同学，5 名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，不同 的选派方法共有________种． 解析：任选一名同学参加学科竞赛不同的选派方法有 3＋5＝8 种． 答案：8
2．2016 年猴年春节晚会上，某一舞蹈节目共有 6 名男演员，6 名女演员．现选一男 演员，一女演员作为领舞演员，不同的选法种数为________． 解析：共有 6×6＝36 种． 答案：36
选法；第 2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同选法．故共有 4×3＝
12 种不同的配法．
答案：B
3．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的
坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18
B．17
应用分类加法计数原理的关键： 用分类加法计数原理计数，关键在于根据问题的特点确定一个适合它的分类标准在这 个分类标准下，完成这件事的任何一种方法只属于某一类，并且分别属于不同种类的 两种方法是不同的．
人教A版选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
2×2×2×2×2×2×2×2=28=256 个不同的字符； （2）由（1）知，用一个字节能表示 256 个字符， ∵256<6763，一个字节不够；根据分步乘法计数原理， 2 个字节可以表示 256×256=65536 个不同的字符， ∵65536>6763，所以每个汉字至少要用 2 个字节表示.
典例解析
例6. 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易 控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进 制.为了使计算机能够辨认字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字 节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位 构成.问： （1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些 汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
区分 完成一件事共有n类办法,关 完成一件事共有n个步骤,关键
一 键词是“分类”
词是“分步”
每类办法中的每种方法都能 除最后一步外,其他每步得到的
区分
独立地完成这件事,它是独立 的、一次的且每种方法得到
二 的都是最后结果,只需一种方
只是中间结果,任何一步都不能 独立完成这件事,缺少任何一步 也不能完成这件事,只有各个步
法就可完成这件事
骤都完成了,才能完成这件事
区分 各类办法之间是互斥的、并 三 列的、独立的
各步之间是关联的、独立的,“ 关联”确保不遗漏,“独立”确保 不重复
典例解析
例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置， 问共有多少种不同的挂法？
分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上” ，可以分步完成.
典例解析
例6. 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易 控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进 制.为了使计算机能够辨认字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字 节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位 构成.问： （1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些 汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
区分 完成一件事共有n类办法,关 完成一件事共有n个步骤,关键
一 键词是“分类”
词是“分步”
每类办法中的每种方法都能 除最后一步外,其他每步得到的
区分
独立地完成这件事,它是独立 的、一次的且每种方法得到
二 的都是最后结果,只需一种方
只是中间结果,任何一步都不能 独立完成这件事,缺少任何一步 也不能完成这件事,只有各个步
法就可完成这件事
骤都完成了,才能完成这件事
区分 各类办法之间是互斥的、并 三 列的、独立的
各步之间是关联的、独立的,“ 关联”确保不遗漏,“独立”确保 不重复
典例解析
例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置， 问共有多少种不同的挂法？
分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上” ，可以分步完成.
分类计数原理与分步计数原理课件
决策分析
在决策分析中，分步计数原理可以帮助我们分析问题并制定最优策略。例如，在制定一个 计划或方案时，可以将整个任务分解成若干个步骤，然后根据分步计数原理计算每一步的 成本和效益，最终确定最优方案。
分步计数原理的实例解析
例子1
工厂生产线上有3个工人分别负责3个不同的工序，每个工人完成自己的工序需要1小时。求完成整条生产线需要 多少小时？根据分步计数原理，最终需要的时间是每个工人完成工序所需时间的乘积，即1小时 × 1小时 × 1小 时 = 1小时。
在软件测试中，分类计数原理可以 用于确定不同测试用例的数量和覆 盖范围。
在物理学中的应用
粒子运动
在研究粒子在封闭容器内的运动 时，分步计数原理可以用于计算 粒子在不同状态下的数量和分布
情况。
原子结构
在研究原子结构时，分类计数原 理可以用于确定不同电子层和亚
层的电子数量和分布情况。
量子力学
在量子力学中，分类计数原理和 分步计数原理可以用于描述微观
在某些情况下，分类计数原理和 分步计数原理可以相互转化。
两者都基于组合数学的基本思想， 即从n个不同元素中取出m个元
素的所有组合方式。
原理之间的区别
分类计数原理
考虑的是完成一件事情的不同类的方式，各类方式之间是相 互独立的，即不论采取哪一类方式，都能独立完成这件事情 。计算方法是各类方式数之和。
分步计数原理
04
分类计数原理与分步计数原理的实际
应用
在日常生活中的应用
购物选择
在超市购物时，我们常常面临多种品 牌和种类的选择。分类计数原理可以 帮助我们快速计算出不同品牌和种类 商品的数量。
旅行计划
社交活动
在组织社交活动时，我们可以使用分 类计数原理来安排不同类型的人员参 与活动，以满足不同的需求和期望。
在决策分析中，分步计数原理可以帮助我们分析问题并制定最优策略。例如，在制定一个 计划或方案时，可以将整个任务分解成若干个步骤，然后根据分步计数原理计算每一步的 成本和效益，最终确定最优方案。
分步计数原理的实例解析
例子1
工厂生产线上有3个工人分别负责3个不同的工序，每个工人完成自己的工序需要1小时。求完成整条生产线需要 多少小时？根据分步计数原理，最终需要的时间是每个工人完成工序所需时间的乘积，即1小时 × 1小时 × 1小 时 = 1小时。
在软件测试中，分类计数原理可以 用于确定不同测试用例的数量和覆 盖范围。
在物理学中的应用
粒子运动
在研究粒子在封闭容器内的运动 时，分步计数原理可以用于计算 粒子在不同状态下的数量和分布
情况。
原子结构
在研究原子结构时，分类计数原 理可以用于确定不同电子层和亚
层的电子数量和分布情况。
量子力学
在量子力学中，分类计数原理和 分步计数原理可以用于描述微观
在某些情况下，分类计数原理和 分步计数原理可以相互转化。
两者都基于组合数学的基本思想， 即从n个不同元素中取出m个元
素的所有组合方式。
原理之间的区别
分类计数原理
考虑的是完成一件事情的不同类的方式，各类方式之间是相 互独立的，即不论采取哪一类方式，都能独立完成这件事情 。计算方法是各类方式数之和。
分步计数原理
04
分类计数原理与分步计数原理的实际
应用
在日常生活中的应用
购物选择
在超市购物时，我们常常面临多种品 牌和种类的选择。分类计数原理可以 帮助我们快速计算出不同品牌和种类 商品的数量。
旅行计划
社交活动
在组织社交活动时，我们可以使用分 类计数原理来安排不同类型的人员参 与活动，以满足不同的需求和期望。
第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
主，难度将会变小．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
高中第二册(下A)数学分类计数原理与分步计数原理(ppt)
m
1
A
m2 …… m
B A
m1 m2 …... mn
B
分类计数原理与分步计数原理应用
例1、 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数 字，这4个拨号盘可以组成多少个 四位数字的号码？
练习： 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？ 首位数字是0的密码数又是多少？ 分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二 位、第三位, 需分为三步完成; 第一步,m1 = 10;第二步,m2 = 10;第三步,m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 1000 种三位数的密码。 答:首位数字不为0的密码数是N =9×10×10 = 900 种, 首位数字是0的密码数是N = 1×10×10 = 100 种 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字 是0的密码数之和等于密码总数
问题3.从甲地到乙地，要从甲地先乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙 地。一天中，火车有3 班， 汽车有2班 。那么两天中，从甲地到乙地共有多少 种不同的走法? 问题4.一个书架共有三层，第1层放有 4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书。从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
火车2——汽车2
火车3——汽车1
火车3——汽车2
问题4.一个书架共有三层，第1层放有 4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书。从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
分析：分三步： 第一步：从第1层取，有4种方法； 第二步：从第2层取，有3种方法； 第三步：从第3层取，有2种方法。 所以从书架的第1、2、3层各取1本 书，共有4×3× 2 =24 种不同的取法
1
A
m2 …… m
B A
m1 m2 …... mn
B
分类计数原理与分步计数原理应用
例1、 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数 字，这4个拨号盘可以组成多少个 四位数字的号码？
练习： 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？ 首位数字是0的密码数又是多少？ 分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二 位、第三位, 需分为三步完成; 第一步,m1 = 10;第二步,m2 = 10;第三步,m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 1000 种三位数的密码。 答:首位数字不为0的密码数是N =9×10×10 = 900 种, 首位数字是0的密码数是N = 1×10×10 = 100 种 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字 是0的密码数之和等于密码总数
问题3.从甲地到乙地，要从甲地先乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙 地。一天中，火车有3 班， 汽车有2班 。那么两天中，从甲地到乙地共有多少 种不同的走法? 问题4.一个书架共有三层，第1层放有 4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书。从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
火车2——汽车2
火车3——汽车1
火车3——汽车2
问题4.一个书架共有三层，第1层放有 4本不同的计算机书，第2层放有3本 不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书。从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
分析：分三步： 第一步：从第1层取，有4种方法； 第二步：从第2层取，有3种方法； 第三步：从第3层取，有2种方法。 所以从书架的第1、2、3层各取1本 书，共有4×3× 2 =24 种不同的取法
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个计数原理。
结束
2）在实际测试中，程序 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱，即通过只考 察是否执行了正确的子模 块的方式来测试整个模块。18条子执模行块路1 径 这样，他可以先分别单独 测试5个模块，以考察每 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为：
开始
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
完成：第1步是从开
始执行到A点；第2步 是从A点执行到结束。
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
而第步可由子模块1
A
或子模块2或子模块3
来完成；第二步可由
子模块4或子模块5来 完成。因此，分析一
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
条指令在整个模块的
执行路径需要用到两
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、
C、G、U中任选一个来占据。
第1位 第2位 第3位
第100位
……
4种
4种
4种
4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U
中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
4 4 4 4＝4100种不同的RNA分子.
例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增 长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母 和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现， ３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照?
例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人 限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争 夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多 少种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 4 5 种 .
区别2
每类办法都能独立地完成 每一步得到的只是中间结果，
这件事情，它是独立的、 任何一步都不能独立完成这件
一次的、且每次得到的是 事，缺少任何一步也不能完成
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×５×５×５= 5 4 种 .
例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9， 问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
事共有 N m 1 m 2 m n 种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关。
分类计数原理
分步计数原理
区别1
完成一件事，共有n类 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
18+45+28+38+43=172。 再测试各个模块之间的信
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
息交流是否正常，需要测 试的次数为：3*2=6。 如果每个子模块都正常工 作，并且各个子模块之间 的信息交流也正常，那么 整个程序模块就正常。
结束
这样，测试整个模块的次数就变为 172+6=178（次）
10个 04
例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计 算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位，每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个 汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用 多少个字节表示？
1.1.2分类计数原理
与 分步计数原理(二)
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m 1 m 2 m n 种不同的方 法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件
测试数据。一般的，一个
A
程序模块又许多子模块组
成，它的一个具有许多执
行路径的程序模块。问： 这个程序模块有多少条执
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
行路径？另外为了减少测
试时间，程序员需要设法
减少测试次数，你能帮助
程序员设计一个测试方式，
结束Βιβλιοθήκη 以减少测试次数吗？分析：整个模块的任
开始
意一条路径都分两步
如00000000，10000000， 11111111.
第1位
第2位
第3位
第8位
……
2种
2种
2种
2种
例5.计算机编程人员在编
开始
写好程序以后要对程序进
行测试。程序员需要知道
到底有多少条执行路（即 子模块1 程序从开始到结束的线），18条执行路径 以便知道需要提供多少个
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径