B 知识讲解双曲线的性质
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
双曲线的性质及计算方法
双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。
双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。
1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。
其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。
这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。
（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。
（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。
焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。
常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。
（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。
（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。
二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。
2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。
通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。
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04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
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目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两1F 2F ()1222,0a F F a a >>定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线1F 2F 2a 12F F 的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.12122PF PF a F F -==P （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的()1e e >焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.e 2、双曲线的简单性质标准方程()22221,0x y a b a b -=>()22221,0y x a b a b -=>顶点坐标(),0A a ±()0,B a ±焦点坐标左焦点，右焦点()1,0F c -()2,0F c 上焦点，下焦点()10,F c ()20,F c -虚轴与虚轴实轴长、虚轴长2a 2b实轴长、虚轴长2a 2b有界性x a≥，y a ≥对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.x y 3、渐近线双曲线的渐近线为，即，或.()22221,0x y a b a b -=>22220x y a b -=0x y a b ±=by x a=±【注】①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；22221x y a b -=()22220x y a b λλ-=≠②渐近线为的双曲线方程可以设为；by x a=±()22220x y a b λλ-=≠③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点，P F 00(,)P x y ()22221,0x y a b a b -=>，为双曲线的左、右焦点，则，，其中.1(,0)F c -2(,0)F c 10||PF ex a =+20||PF ex a =-ce a=5、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，()22221,0x y a b a b -=>F A B AB 且.22b AB a=6、焦点三角形为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦P ()22221,0x y a b a b-=>1(,0)F c -2(,0)F c 12PF F ∆点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.12F PF θ∠=122cot 2F PF S b θ∆=7、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.b 8、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为()22221,0x y a b a b-=>()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则:0l Ax By C ++=Γ()22221,0x y a b a b-=>与相交；l Γ22222a A b B C ⇔->与相切；l Γ22222a A b B C ⇔-=与相离.l Γ22222a A b B C ⇔-<10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且(,)P x y ()22221,0x y a b a b-=>12,F F M 12F PF ∠，则，即动点的点的轨迹为.20F M MP ⋅=u u u u r u u u rOM a =M ()222x y a x a +=≠±12、双曲线上任意两点的坐标性质【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若()110l y k x m m =+≠、()22221,0x y a b a b -=>C D 、22l y k x =、E 为的中点，则.E CD 2122b k k a=13、中点弦的斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率l ()()000,0M x y y ≠()22221,0x y a b a b-=>,A B AM BM =l .2020ABb x k a y =14、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P ,M N 点，则定值.PM PN =2a 15、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P 两点，则定值.,M N OMPN S =Y 2ab 【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.20x y ±=10【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.22141x y k k+=+-k【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.22148x y -=【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.2222135x y m n +=2222123x y m n-=【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交221(0)x y m n m n +=>>221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 点，则_________.12PF PF ⋅=【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是2y x =-22:4C x y λ+=λ（ ）A ．B .C .D . [1,1)-{}1,0-(,1][0,1)-∞-U [1,0](1,)-+∞U 【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若2=x 14:22=-y x C B A ,P C (为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）b a +=O R b a ,,∈A .B . 222a b +≥2122≥+b a C . D .222a b +≤2212a b +≤【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积22221x y a b -=22221y x b a-=1S 为，则的最大值为_________.2S 12S S 例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则12F F 、2219y x -=P 12=0PF PF u u u r u u u u r g =_________.12PF PF +u u u r u u u u r【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.221109x y -=1F 6AB =2ABF ∆2F 【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.2211620x y -=1F 2F P 19PF =2PF =例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面12F F 、2214x y -=P 123F PF π∠=12PF F ∆积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,1y kx =+2231x y -=A B 、AB O试求的值.k 例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线1y kx =+2231x y -=A B 、k A B 、对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20x y -=k 例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜221124x y -=F F 率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线:；C 21(4)x y y x -=≤（1）画出曲线的图像；C （2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；l 1y kx =-C k （3）若，为曲线上的点，求的最小值.()0P p 、()0p >Q C PQ 【变式2】直线：与曲线：.l 10ax y --=C 2221x y -=（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；l C a（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；l C PQ =a（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.a PQ a 例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.F 221412x y -=(14)A 、P PF PA +【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则P 221916x y -=,M N ()2254x y ++=()2251x y -+=的最大值等于_________.PM PN -例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.P ()2251x y -+=()22549x y ++=P 【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是ABC ∆()50A -、()5,0B ABC ∆3x =C _________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段)F1y x =-M N 、的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.MN 23-例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.221916x y -=M例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的x C P 圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称C P y x =（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在1y mx =+C ,A B l (2,0)M -AB l 轴上的截距的取值范围.n【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.l 1y kx =-C 222x y a -=)（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，求实数的取值范围，并用表示点l A B 、AB M k k 的坐标；M （3）设点，求直线在轴上的截距的取值范围.()1,0Q -QM y 例11、已知双曲线方程为：.C 2212y x -=（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的0x y m -+=C A B 、AB 225x y +=m 值；（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点l O 222x y +=00(,)P x y 000x y ≠l C，证明的大小为定值.A B 、AOB ∠例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.12A A 、x y x =()6,6P （1）求双曲线的方程；（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段l 12A PA ∆G M N 、l G ，证明你的结论.MN 例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交1F 2F C ()01222>=-b by x 2F x x 双曲线于点，且．圆的方程是．C M ︒=∠3021F MF O 222b y x =+（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；C P 1P 2P 21PP PP ⋅（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：O ()00y ,x Q O l C A B AB M例14、已知双曲线：的一个焦点是，且．C ()222210,0x y a b a b-=>>()22,0F a b 3=（1）求双曲线的方程；C （2）设经过焦点的直线l 的一个法向量为，当直线与双曲线C 的右支相交于不同的两点时，求实2F )1,(m l B A ,数的取值范围；并证明中点在曲线上．m AB M 3)1(322=--y x（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请l C B A ,m AOB 求出的范围；若不存在，请说明理由．m。
双曲线的基本概念与性质
双曲线的基本概念与性质双曲线是数学中的一种常见曲线类型，具有独特的性质和应用。
本文将介绍双曲线的基本概念以及它所具有的一些重要性质。
1. 基本概念双曲线是由与两个固定点F1和F2的距离之差恒定的点P所构成的轨迹所形成的曲线。
这两个固定点称为焦点，用F1和F2表示；而距离之差的常数值称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还包括一条称为主轴的线段，它是与离心率的方向相垂直且通过双曲线的两个焦点的连线。
2. 方程表示双曲线的一般方程可表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/b^2) -(x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 图形特征双曲线具有以下几个重要的性质和特征：- 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于双曲线的两个分支。
渐近线是曲线逐渐趋近但永远不会到达的直线。
- 弦长公式：对于双曲线上的一条弦，其长度可以通过双曲线焦点之间的距离和与双曲线焦点的连线的夹角来计算。
- 曲率：双曲线上不同点的曲率不同，与点到双曲线焦点连线的方向有关。
4. 应用领域双曲线在数学和其他学科中具有广泛的应用。
以下是其中一些典型的应用领域：- 物理学：双曲线可用于描述光和声波的传播、电磁场的分布等现象。
- 工程学：双曲线的性质可用于设计天线、抛物面反射器等。
- 经济学：双曲线可用于描述成本和收益关系、货币供给和需求等经济现象。
- 统计学：双曲线可用于建模统计分布如正态分布、泊松分布等。
- 计算机图形学：双曲线可用于绘制和渲染曲线和物体的形状。
通过了解双曲线的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用这个有趣而重要的数学曲线类型。
无论是在纯数学研究还是实际应用中，双曲线都具有广泛而深远的影响。
双曲线的简单几何性质(1)b
B2 A1
O
A2
x
B1
应用举例:
求双曲线9y 例1.求双曲线 2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴 求双曲线 的实半轴与虚半轴 焦点坐标,离心率及渐进线方程 长,焦点坐标 离心率及渐进线方程 焦点坐标 离心率及渐进线方程.
y 2 x2 解： 原方程可化为 : 2 − 2 = 1 4 3
∴ 实半轴长 a = 4 ，虚半轴长 b = 3 .
2
y2 − 2 =1 b
y
B2 A1
O
2、对称性： 关于 轴，y轴，原点对称. 、对称性： 关于x轴 轴 ），A ， ）， ， ） 3、顶点：A1（-a，0）， 2（a，0） 、顶点： 线段A 线段B 线段 1A2叫实轴 . 线段 1B2叫虚轴 . 实轴长|A 实轴长 1A2|=2a
，虚轴
A2
x
B1
A2
x
B1
y 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明。 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明。
x − y = 1 得 y = b x 2 − a 2 ( x > a) ， 由 2 2 a a b
2
2
Q M
B2 A1
O
设M(x，y) 是双曲线上的点，则 ， 是双曲线上的点， 它到渐近线 bx − ay = 0 的距离为： 的距离为：
A2
x
B1
| bx − b x 2 − a 2 | | MQ | = = 2 2 c a +b = b | x − x2 − a2 | c
| bx − ay |
| ( x − x 2 − a 2 )( x + x 2 − a 2 ) | ba 2 1 = ⋅ = b⋅ c x + x2 − a2 c x + x2 − a2
2.6.2双曲线的几何性质教学课件高中数学人教B版选择性必修第一册
轴
y2
= 0 ，得 2 1 ，这
b
,0) ；令
轴没有交点.
与它的对称轴共有 2 个交点，即
双曲线的顶点，如图所示.
与
1 ， 2 ，这两个点都称为
线段
1
2
1 2
称为双曲线的实轴. 若记
1(0,
− )，
2 (0,
)，则称线段
为双曲线的虚轴. 显然，双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上，
而且双曲线的实轴长为 2 ，虚轴长为 2 . 于是， ，
2
2
2
2
2
10
c
15
10
10
解得 c
或c
（舍）
，所以该双曲线的离心率 e 2
.
a
3
2
2
6
2
故选 B.
x2 y 2
x2 y 2
6.双曲线 2 2 1（ a 0 ，b 0 ）的离心率为 e1 ， 2 2 1（ a 0 ，b 0 ）
a
b
a b
的离心率为 e2 ，则
b
x但
a
根据双曲线的对称性可知，双曲线①向外无限延伸时，总是在由直线 y
b
x
a
b
与直线 y x 相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并无限接近
a
于这两条直线，但永远不会与它们相交，如图所示.
直线 y
b
b
x 和 y x 都称为双曲线①的渐近线. 由此可知，作双曲线时，
解析：由双曲线的方程为
3 2
y
b
6
x
x .故选 D.
a
3
(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
高中数学选修一第2章 2.6.2 双曲线的几何性质人教B版讲义
2.6.2 双曲线的几何性质学习目标核心素养1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养．2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养．我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线 y ＝±b a xy ＝±a bx思考1：能否用a ，b 表示双曲线的离心率？ [提示] 能. e ＝c a ＝a2＋b2a＝1＋b2a2． 思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ [提示] 有影响，因为e ＝c a ＝a2＋b2a＝1＋b2a2，故当b a 的值越大，渐近线y ＝bax 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率e ＝2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为2．( )(2)双曲线y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b ax ．( )(3)离心率越大，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)√ 因为a ＝b ，所以c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2．(2)× 由y2a2－x2b2＝1，得y ＝±a b x ，所以渐近线方程为y ＝±a bx ． (3)√ 由b a ＝c2－a2a ＝e2－1(e ＞1)，所以e 越大，渐近线y ＝±ba x 斜率的绝对值越大．2．若0<k <a ，则双曲线x2a2－k2－y2b2＋k2＝1与x2a2－y2b2＝1有( ) A ．相同的实轴 B ．相同的虚轴 C ．相同的焦点D ．相同的渐近线C [∵0＜k ＜a ，∴a 2－k 2＞0． ∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2．] 3．x 2－y24＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14xA [双曲线x 2－y24＝1焦点在x 轴上且a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2，y ＝±bax ＝±2x ．]4．已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为 ．x24－y212＝1 [∵e ＝ca ＝2，c ＝4，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝12，且焦点在x 轴上，故标准方程为x24－y212＝1．]5．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为 ． 17或174 [若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，ba＝4， ∴b2a2＝16，即c2－a2a2＝16，∴e 2＝17，e ＝17． 若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，ab ＝4．∴b a ＝14，b2a2＝116，即c2－a2a2＝116． ∴e 2＝1716，故e ＝174，即双曲线的离心率是17或174．]由双曲线的标准方程求其简单的几何性质【例1】求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路探究] 要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个所求量的定义作答． [解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x ．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值. (3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.[跟进训练] 1．求双曲线x23－y24＝1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程．[解] 由题意知a 2＝3，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝3＋4＝7，解得a ＝3，b ＝2，c ＝7． 因此，双曲线的实轴长2a ＝23，虚轴长2b ＝4． 顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－7，0)，(7，0)． 离心率e ＝c a ＝73＝213，由于该双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±233x ．由双曲线的几何性质确定标准方程【例(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52；(2)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)．[思路探究] (1)(2)中焦点位置不明确，应先讨论焦点位置；再根据已知条件求解，对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解．[解] (1)依题意，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下： ①若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由e ＝52，得c2a2＝54．① 由点P (3，－2)在双曲线上，得9a2－2b2＝1． ②又a 2＋b 2＝c 2，结合①②，得a 2＝1，b 2＝14．∴双曲线的方程为x 2－y214＝1． ②若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 同理有c2a2＝54，2a2－9b2＝1，a 2＋b 2＝c 2，解得b 2＝－172(不合题意，舍去)．故双曲线的焦点只能在x 轴上， ∴所求双曲线的方程为x 2－y214＝1． (2)法一：双曲线x29－y216＝1的渐近线方程为y ＝±43x ． ①当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 设标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝43，9a2－12b2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4．∴双曲线的方程为x294－y24＝1． ②当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 设标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，12a2－9b2＝1，此方程组无解，∴所求双曲线的方程为x294－y24＝1．法二：∵所求双曲线与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线．∴设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ(λ≠0)．将点(－3,23)代入，得99－1216＝λ，即λ＝14，∴双曲线的方程为x29－y216＝14，即为x294－y24＝1．求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)．(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．[跟进训练]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝144， 故其标准方程为y225－x2144＝1．(2)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则b a ＝12．① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1．②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12．③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1． ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32． ∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1． 与双曲线有关的离心率问题[1．求离心率的突破点是什么？[提示] 通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系． 2．如何求离心率的取值范围？[提示] 利用定义结合已知条件建立不等关系求解． 【例3】已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，求E 的离心率．[解] 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，|AB |＝|BM |，∠ABM ＝120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |＝a ，|MN |＝3a ，故点M 的坐标为M (2a ，3a )，代入双曲线方程得a 2＝b 2，所以e ＝2．(变换条件)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若PF 1⊥PF 2且∠PF 1F 2＝30°，求离心率．[解] 在直角三角形PF 1F 2中，由题设可知：|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以2a ＝3c －c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1．求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．与渐进线有关的问题【例4】如图，已知F 1，F 2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．[思路探究] 根据Rt △PF 2F 1中的边角关系及双曲线的定义可得a ，b 的关系，进而可求渐近线方程．[解] 设F 2(c,0)，(c ＞0)，P (c ，y 0)， 则c2a2－y20b2＝1，解得y 0＝±b2a ． ∴|PF 2|＝b2a．在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，则|PF 1|＝2|PF 2|． ① 由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ． ②由①②，得|PF 2|＝2a ． ∵|PF 2|＝b2a ，∴2a ＝b2a，即b 2＝2a 2． ∴ba＝2． ∴渐近线方程为y ＝±2x ．1．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线为y ＝±a bx ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论．3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．[跟进训练]3．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形．求双曲线C 的渐近线方程．[解] 双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶点为120°的等腰三角形．可得c ＝3b ，所以c 2＝3b 2，即a 2＋b 2＝3b 2，a 2＝2b 2，解得b a ＝22，或a b＝2． 所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x 或y ＝±22x ．1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程． 2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A ．x225－y29＝1 B ．x225－y29＝1或y225－x29＝1 C ．x2100－y236＝1 D ．x2100－y236或y2100－x236＝1 B [实轴长为10，虚轴长为6，所以a ＝5，b ＝3．当焦点在x 轴上时，方程为x225－y29＝1；当焦点在y 轴上时，方程为y225－x29＝1．] 2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±33x ，则双曲线的离心率为( )A ．32B ．233C ．74D ．55 B [由双曲线的渐近线方程是y ＝±33x 知b a ＝33，所以b ＝33a ，所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋13a 2＝43a 2，所以e 2＝c2a2＝43，所以e ＝233．故选B ．] 3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±x 2，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是．x216－y24＝1或y 2－x24＝1 [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝4，所以此时双曲线的标准方程为x216－y24＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，则a b ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝1，所以此时双曲线的标准方程为y 2－x24＝1．综上可知：该双曲线的标准方程是x216－y24＝1或y 2－x24＝1．] 4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ． x24－34y 2＝1 [双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线x －3y ＝0， ∴1＝a 1＋3＝a 2．∴a ＝2， 又b a ＝33，∴b ＝233，∴双曲线方程为x24－34y 2＝1．] 5．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．求这两条曲线的方程．[解] 由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3．所以b ＝6，n ＝2． 所以椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1．。
2.6.2双曲线的几何性质课件高二上学期数学人教B版选择性
3
y=± x;
4
2
y=± x,且经过点(3
3
2,2).
2
(1)由题意设双曲线的标准方程为 2
a=1,b=2,故所求双曲线的标准方程为
2
− 2 =1(a>0,b>0),则
2
x2- =1.
4
2a=2
且 =2,即
2
(2)由题意设双曲线的标准方程为 2
2
故所求双曲线的标准方程为
36
(3)由题意设双曲线的方程为 y
1
b=2,半焦距
c=
2
+
2
=
1
4
=1,由此可得半实轴长 a=1,半虚轴长
5
5
5
,所以双曲线的焦点坐标为(- 2 ,0),( 2 ,0),中心坐
2
标为(0,0),顶点坐标为(-1,0),(1,0),实轴长为 2,虚轴长为 1.
4.双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?
解 双曲线的离心率e= 反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就
变式训练1[北师大版教材习题]求下列双曲线的实轴和虚轴的长、焦点坐
标、虚轴端点坐标、离心率和渐近线方程:
(1)6x2-10y2+60=0;
(2)20x2-25y2=500.
解 (1)将方程 6x2-10y2+60=0
2
所以双曲线 6
2
化为 6
2
− 10 =1 的实轴长为 2
虚轴端点坐标为(- 10,0),(
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过
2
F1 的直线 l 与双
曲线的左、右两支分别交于点 B,A,若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心
2.2.2双曲线的几何性质人教B版高中数学选修1-1
）
A. 2
B. 3
C.2
D.3
综合应用
•
例2（齐一模5）已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b
0)
的离心
率为e，若 e 3a b ，则该双曲线的渐近线方程为
（）
a
A.2x 3y 0 B.3x 2y 0 C.4x 3y 0 D.3x 4y 0
综合应用
•
例3（齐二模3）已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的一条
渐近线与过其右焦点的直线 y 2x 2 5 平行，则该双曲
线的实轴长为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
作业
• 已知双曲线C: x2 y2 1 ，直线 l 经过双曲线C的一个
3
焦点且与X轴垂直，与双曲线C的渐近线交于A、B两点，则 AB ( )
x≥a , 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0 )
y≥a , 或 y ≤a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ybx a
e c (e 1) a
ya x b
巩固练习：填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32
程
2a
82
9x 2 y 2 81 6
2b
4
18
双曲线的性质大总结
双曲线的性质大总结双曲线是二次曲线的一种，具有以下几个性质：1. 对称性：双曲线关于两条渐近线对称。
这意味着如果曲线上有一点(x, y)，那么(−x, y)，(x, −y)和(−x, −y)也在曲线上。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
渐近线是曲线的边界线，它们是曲线无法触及但可以无限靠近的直线。
这两条渐近线分别靠近于曲线的两个极限点。
双曲线的渐近线一般仅存在有限的部分，而无法延伸到整个双曲线。
3. 焦点和直角双曲线：双曲线具有焦点和直角双曲线的特性。
焦点是一个点，位于双曲线的中心，离焦点的距离决定了曲线的形状。
直角双曲线是一个特殊的双曲线，其两条渐近线之间的夹角为90度。
4. 集束：双曲线是集束，也就是说它们拥有共同的焦点和渐近线。
所有的双曲线都可以通过调整双曲线方程中的参数来改变形状，但它们都具有相同的焦点和渐近线。
5. 曲率和拐点：双曲线在任何位置的曲率都是负的，因此它们没有拐点。
这意味着双曲线在任何位置都是向外弯曲的。
6. 方程和参数：双曲线的一般方程是(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b是双曲线的常数。
通过改变a和b的值，可以改变双曲线的形状。
双曲线还可以用参数方程表示，例如x = asecθ和y = b tanθ。
7. 领域和渲染：双曲线存在于x和y的所有实数范围内，没有特定的定义域或值域。
它可以在二维平面上任意渲染，通过改变参数可以得到不同的外观。
8. 焦散和收敛：双曲线在焦点之外散开，而在焦点之内收敛。
这使得双曲线可以用于光学系统的设计和分析。
9. 应用领域：双曲线在数学和物理学的许多领域中都有广泛的应用。
例如，在椭圆方程和双曲线方程中，双曲线被用于描述行星和彗星的轨道。
在光学中，双曲线被用于描述透镜的形状。
双曲线还在电工学、航空航天学和计算机图形学等领域中发挥重要作用。
总之，双曲线是一种独特的二次曲线，具有许多特殊的性质和应用。
对于数学和科学领域的研究者和应用者来说，了解双曲线的性质是非常重要的。
【数学】2.2.2《双曲线的几何性质》课件(新人教B版选修1-1)
y
B2
图 过 y 的 如 ,经 A, A 作轴 平 O F A A F x a 过 x 行 x=± ,经 B, B 作 线 B , 条 轴 平 线 =±b 四 直 的 行 y 线 成 个 形 . − ). 围 一 矩 (图 图 . − 矩 的 条 角所 的 形 两 对 线在 x y 几 画 实 可 看 直 的 程 ± = .由 何 板 验 以 线 方 是 a b x y , 曲 到双 线 − = 的 支 处 伸 ,与 两 各 向 延 时 这 a b
. .
曲 的 单 何 质 双 线 简 几 性
比 圆 何 质 研 方 ,我 根 类 椭 几 性 的究 法 们 据 曲 的 准 程 双 线 标 方 x y − = (a> ,b> a b 研 它 几 性. 究 的 何 质
)
()
思 类 椭 几 性 的究 认 考 比 圆 何 质 研,你 ,你 为 研 双 线 应 究 曲 x y − = (a> ,b> ) 的 些 质 哪 性 ? a b 如 研 这 性? 何 究 a 所表示的区域内.
称 对 性
x y 类 研 椭 比 究 圆 + = a b (a>b> ) 对 性 方 , 称 的 法 易 到 曲 关 x 轴 容 得 ,双 线 于 、 y轴 原 都 对 的 和 点 是 称 .这 , 标 是 曲 的 时坐 轴 双 线 对 轴 点 双 线 对 称 ,原 是 曲 的 称
F1
y
B2
b O a
N Q M
A1 B1
A2
F2
x
所以 | MN |= Y − y = b x− x −a a
(
b x− x −a x+ x +a ab . = ⋅ = a x+ x +a x+ x +a b 设 | MQ | 是点M到直线y = x的距离, 则 | MQ |<| MN | . a
双曲线的性质ppt课件
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b3， 而 c2a2b 2， 3a2b 28 a3
解出 a26， b22
双 曲 线 方 程 为x2
y2
1
6 2 完整版ppt课件
18
小结
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0) c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
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7
二、导出 y2双 x2曲 1(a线 0,b0) a2 b2
的简单几何性质 y
（1）范围: ya,ya
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
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A1
A2
o a
x
它与yybx的x位置的变化:趋势
a
B1
（3）利画用出慢渐双慢近曲靠线线近可的草以图较准确的
ybx
a
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y b x a
5
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与 的实 比 e轴c,长 叫做 a
双曲线离的 心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2a2 (c)21 e21
20
备选练习:
1. 过点（1，2），且渐近线为 y 3 x 4
的双曲线方程是__1_6_y__2__.9x2 55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
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A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对
【答案】C
类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围
例4. 已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的
左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。
【解析】∵，是正三】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长,焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来. （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义 及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与 解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系.
将点代入得，
所以双曲线方程为即
（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是.
故设双曲线方程为，
∵点在双曲线上，
∴ ，解得，
∴所求双曲线方程为.
【总结升华】求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉
各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知
双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.
举一反三：
例2．方程表示双曲线，求实数m的取值范围。 【解析】由题意得或或
。 ∴实数m的取值范围为。 【总结升华】方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。 举一反三： 【变式1】求双曲线的焦距。 【答案】8 【变式2】设双曲线的渐近线方程为，则
的值为
A．4
B．3
C．2 D．1
【答案】C
类型二：双曲线的渐近线
例3. 根据下列条件，求双曲线方程。
（1) 与双曲线有共同的渐近线，且过点；
（2）一渐近线方程为，且双曲线过点
【解析】（1）解法一：
当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为
由题意，得，解得，
所以双曲线的方程为
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为
由题意，得，解得，（舍去）
综上所得，双曲线的方程为
解法二：设所求双曲线方程为（），
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延 伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a.
对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或 把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x 轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图 形，这个对称中心称为双曲线的中心。 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶 点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的 点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b）， B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和 虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫 做双曲线的虚半轴长。
，
所以∠F1PF2＝90°. 【总结升华】 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余
弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关
系． 举一反三： 【变式】已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，
并且，求的面积。 【答案】
【典型例题】 类型一：双曲线的简单几何性质 【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】 例1．求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线 方程与离心率. 【解析】 把方程化为标准方程，由此可知实半轴长，虚半轴长， ∴ ∴双曲线的实轴长，虚轴长，顶点坐标，焦点坐标， 离心率，渐近线方程为 【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另 外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示. 举一反三： 【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 ( ) A． B．－4 C．4 D. 【答案】A 【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（ ） A．－2 B．1 C．－1 D． 【答案】C
双曲线的性质 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质. 2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程. 3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题. 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点二】 要点一、双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
要点三、双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分
解即得渐近线方程。 （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴 与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。 ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记
作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，
【变式1】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦 距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．1<e<－2
B．1<e<2
C．1<e<3
D．1<e<2＋
【答案】D
【变式2】已知过双曲线右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支
有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
【答案】 (1，)
类型五：双曲线的焦点三角形
例6．若F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，点P在双曲线上， 且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
【解析】 由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5.
由双曲线的定义得，
||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
上式两边平方得， |PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100， 由余弦定理得，
【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】 要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
焦 点
焦 距
范 围
对
性 称性
质
顶
点
轴
离 心率
渐
，
，
，
，
关于x轴、y轴和原点对称
实轴长=，虚轴长=
近线 方程
要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦 点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点 在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
出即可。 （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦
点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为. 要点四、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲 线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和 半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且 c2=b2+a2。
【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线
方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【变式2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐近线的双曲线是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【变式3】设双曲线的渐近线方程为，则
的值为
A．4
B．3
C．2 D．1
【答案】C
【变式4】双曲线与有相同的（ ）
双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程 度。
③等轴双曲线，所以离心率。 渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线 y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的 方程是。
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近， 但永不相交。
求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式，从而求出
举一反三：
【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】
【变式1】
(1) 已知双曲线的离心率，
过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程.
(2) 求过点(-1,3)，且和双曲线有共同渐近线的双曲线方程.
【答案】（1） （2） 【变式2】已知双曲线=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点， 设B点坐标为(0,b)，且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【变式3】 若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_______ 【答案】 例5.已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲 线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________． 【解析】由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得： |PF2|＝，又|PF2|≥c－a， 所以，， ∴，即e的最大值为. 【总结升华】离心率的取值范围和最值问题关键是要找到双曲线几 何量的不等关系；如定义、韦达定理等；从而求出e的范围. 举一反三：