第四章 三角函数、解三角形

第四章三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三

角函数

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α

＝x，tan α＝y

x(x≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.

(3)三角函数值在各象限内的符号

,

(1)终边相同的角不一定相等．

(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．

(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

α|

α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝

⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

β| β＝2k π＋7π3，k ∈Z .

当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、

正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．

[熟记常用结论]

1．象限角

2．轴线角

3．若α∈⎝⎛⎭

⎫0，π

2，则tan α＞α＞sin α. [小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )

(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )

(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) (4)三角形的内角必是第一、二象限角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题

1．下列与9π

4

的终边相同的角的表达式中正确的是( )

A ．2k π＋45°(k ∈Z)

B ．k ·360°＋9

4π(k ∈Z)

C ．k ·360°－315°(k ∈Z)

D ．k π＋

5π

4

(k ∈Z) 解析：选C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π

4＋2k π(k ∈Z)

或k ·360°＋45°(k ∈Z)，结合选项知C 正确．

2.若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角 B ．α＝⎝⎛⎭⎫360π°

C ．sin α＞0

D ．sin α＜cos α

解析：选D 对于A ，∵π

2＜α＜π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α＞0，故C 正确；对于D ，sin α＞0，cos α＜0，故D 错误．选D.

3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭

⎫

x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.3

3

D ．±33

解析：选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±1

2.

所以tan α＝y

x ＝±3.故选B.

4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π

3r ＝2π，所以r ＝6，

所以此扇形的面积为1

2×2π×6＝6π.

答案：6π

5．在0到2π范围内，与角－

4π

3

终边相同的角是________． 解析：与角－4π

3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得在0到2π范围内与角－4π3终边相同的角是2π

3

.

答案：

2π

3

考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关]

[题组练透]

1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |

x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )

A ．M ＝N

B ．M ⊆N

C ．N ⊆M

D ．M ∩N ＝∅

解析：选B 由于M 中，x ＝k

2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而

N 中，x ＝k

4

·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .

2．若角α是第二象限角，则α

2是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第一或第三象限角

D ．第二或第四象限角

解析：选C ∵α是第二象限角， ∴π

2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π

4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α

2是第一象限角；

当k 为奇数时，α

2是第三象限角．

∴α

2

是第一或第三象限角．