最新直线与平面平行经典题目
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∴ AC1//平面CDB1；
（ ）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，
ED= AC1= ，CD= AB= ，CE= CB1=2 ，
∴ ，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值 .
●闯关训练
夯实基础
1.（07福建理）已知m、n为两条不同的直线， 为两个不同的平面，
则下列命题中正确的是
（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.
设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO= = .
由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE= .
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE= ，
记α∩γ=b，β∩γ=c，
则a∥b且a∥c，
∴b∥c.
又b α，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.
答案：C
4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线
解析：对于任意的直线 与平面 ，若 在平面α内，则存在直线m⊥ ；若 不在平面α内，
（填所选条件的序号）
●典例剖析
【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.
又NQ= BN= CM=MP，∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ，PQ 平面BCE.而MN 平面BCE，∴MN∥平面BCE.
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.
∵MG∥BC，BC 平面BCE，MG 平面BCE，∴MG∥平面BCE.
又 = = ，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.
又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN 平面MNG.∴MN∥平面BCE.
●点击双基
1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是
A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥nC.m∥n且n∥αD.α∥β且m β
答案：D
2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
【例2】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
且 ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于 ，若 不在平面α内，且 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面 内必有直线 垂直于它的射影，则 与 垂直，
综上所述，选C.
5.已知平面 和直线，给出条件：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
（i）当满足条件③⑤时，有 ；（ii）当满足条件②⑤时，有 .
C.若m ，n∥ ，则m∥nD.若m、n与 所成的角相等，则n∥m
解：对于平面 和共面的直线 、 真命题是“若 则 ”， 选C.
3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的 中点
作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )
A.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4条 B.6条 C.8条 D.12条
解：如图，过平行六面体 任意两条棱的中点
9.2 直线与平面平行
●知识梳理
1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.
2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.
（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.
∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.
又∵BN∶ND=PM∶MA，
∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.
A. ∥ ，n∥ ∥ B. ∥ ， ， m∥n
C.m⊥ ，m⊥n n∥ D. n∥m,n⊥ m⊥
解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在 内，不正确，选D
2.（06福建卷）对于平面 和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A.若m⊥ ，m⊥n，则n∥ B.若m∥ ，n∥ ，则m∥n
作直线,其中与平面 平行的直线共有12条，选D.
4.(06重庆卷)若 是平面 外一点，则下列命题正确的是
A.过 只能作一条直线与平面 相交B.过 可作无数条直线与平面 垂直
解析：（ ）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（ ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，
E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，
A.①②B.②③C.③④D.①④
解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.
答案：A
3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
A.异面B.相交C.平行D.不能确定
解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
根据余弦定理，得PE= .
在Rt△POE中，PO= ，PE= ，
∴sin∠PEO= = .
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin .
【例3】如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1；（ ）求证：AC1//平面CDB1；
（ ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
（ ）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，
ED= AC1= ，CD= AB= ，CE= CB1=2 ，
∴ ，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值 .
●闯关训练
夯实基础
1.（07福建理）已知m、n为两条不同的直线， 为两个不同的平面，
则下列命题中正确的是
（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.
设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO= = .
由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE= .
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE= ，
记α∩γ=b，β∩γ=c，
则a∥b且a∥c，
∴b∥c.
又b α，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.
答案：C
4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线
解析：对于任意的直线 与平面 ，若 在平面α内，则存在直线m⊥ ；若 不在平面α内，
（填所选条件的序号）
●典例剖析
【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.
又NQ= BN= CM=MP，∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ，PQ 平面BCE.而MN 平面BCE，∴MN∥平面BCE.
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.
∵MG∥BC，BC 平面BCE，MG 平面BCE，∴MG∥平面BCE.
又 = = ，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.
又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN 平面MNG.∴MN∥平面BCE.
●点击双基
1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是
A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥nC.m∥n且n∥αD.α∥β且m β
答案：D
2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
【例2】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
且 ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于 ，若 不在平面α内，且 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面 内必有直线 垂直于它的射影，则 与 垂直，
综上所述，选C.
5.已知平面 和直线，给出条件：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
（i）当满足条件③⑤时，有 ；（ii）当满足条件②⑤时，有 .
C.若m ，n∥ ，则m∥nD.若m、n与 所成的角相等，则n∥m
解：对于平面 和共面的直线 、 真命题是“若 则 ”， 选C.
3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的 中点
作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )
A.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4条 B.6条 C.8条 D.12条
解：如图，过平行六面体 任意两条棱的中点
9.2 直线与平面平行
●知识梳理
1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.
2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.
（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.
∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.
又∵BN∶ND=PM∶MA，
∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.
A. ∥ ，n∥ ∥ B. ∥ ， ， m∥n
C.m⊥ ，m⊥n n∥ D. n∥m,n⊥ m⊥
解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在 内，不正确，选D
2.（06福建卷）对于平面 和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A.若m⊥ ，m⊥n，则n∥ B.若m∥ ，n∥ ，则m∥n
作直线,其中与平面 平行的直线共有12条，选D.
4.(06重庆卷)若 是平面 外一点，则下列命题正确的是
A.过 只能作一条直线与平面 相交B.过 可作无数条直线与平面 垂直
解析：（ ）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（ ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，
E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，
A.①②B.②③C.③④D.①④
解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.
答案：A
3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
A.异面B.相交C.平行D.不能确定
解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
根据余弦定理，得PE= .
在Rt△POE中，PO= ，PE= ，
∴sin∠PEO= = .
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin .
【例3】如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1；（ ）求证：AC1//平面CDB1；
（ ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．