一轮复习配套讲义：选修4-2 矩阵与变换.pdf
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选修4－2 矩阵与变换A
[最新考纲]
1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．
2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．
3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．
5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.
知 识 梳 理
1．矩阵的乘法规则
(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤
x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则
①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .
(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为
A
－
1＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤d
ad －bc
－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧
ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n
的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
m n ， 其中A －
1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤d
ad －bc
－b ad －bc
－c ad －bc
a ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念
设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧
ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎨⎧
(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢
⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
00(*)
则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a
b c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算
如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2
－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．
解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解
⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧
x ＝x 2，y ＝y 2
，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.
则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c
d 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 诊 断 自 测
1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
57＝________.
解析 ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
5－7.