选修 矩阵与变换知识点
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念
1.了解提出矩阵概念的一些实际背景；
2.掌握矩阵行、列、元素等概念，知道零 矩阵、矩阵的相等等相关知识；
3.会用矩阵表示一些简单的实际问题。
何为矩阵?
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
5.妻子的怀疑、外人的讥讽 “其妻献疑”“河曲智叟笑而止之”
愚公面对困难的解决办法：
没有地方放置土石 “投诸渤海之尾，隐土之北” 不惧路途遥远
劳动力缺乏 “率子孙荷担者三夫”“遗男，始龀，跳往助之”
——团结一切力量
智叟的嘲讽 “虽我之死，有子存焉……子子孙孙，无穷 匮也”“山不加增，何苦而不平” ——移山的信念会永远传承下去
4.投诸渤海之北
（古：之于
今：各个，许多 ）
5.遂率子孙荷担者三夫
（古：挑
今：荷花 ）
6.曾不能毁山之一毛
（古：草木
今：毛发）
7.北山愚公长息
（古：叹气
今：休息 ）
8.虽我之死
（古：即使
今：虽然 ）
9.惧其不已也
（古：停止
今：已经 ）
四、词类活用 1.面山而居 名词作动词，向着。 2.聚室而谋 使动用法，使……聚。
细读感悟
在疏通文意的基础上，概括故事情节。
第一段： 故事背景，介绍两座山。 第二段： 开端和发展，愚公决心移山，得到全
家的支持，并排除疑难，立即行动。 第三段： 高潮，愚公驳斥智叟的观点。 第四段： 结尾，神仙帮忙移走了两座山。
朗读第一段，说说介绍了两座山的什么 内容，有何作用。
]高二数学选修4-2 矩阵与变换ppt课件
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1
0
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
22
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
23
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v2
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
X’，根据矩阵变换的性质有
15
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
16
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
高二数学选修42矩阵与变换全章指导精品PPT课件
f()= c a d b， 其A 中 =c a d b．
• 学会从几何变换的角度进行解释。
1 0 1 0 0 1 1 1 1 2
0
2
0
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1
0
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0
0
1
伸压、反射、旋转、投影、切变
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）A() Βιβλιοθήκη A；（2） A( + ) = A + A。
A( + ) = A + A。
2．3 变换的复合与矩阵乘法
• 连续施行两次变换——矩阵的乘法 ； • 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
1 0
01210
0110
0110
0
1 2
交 换 律 验 证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4 逆变换与逆矩阵（一）
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵 (变换)的逆矩阵(变换) 。
• 反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
• 伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
1 0
0
1
2
互逆 1
0
0
2
2．4 逆变换与逆矩阵（二）
• 旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
★
2．2 几种常见的平面变换；
★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵；
★★★
高中数学选修4-2：矩阵与变换
高中数学选修4-2：矩阵与变换矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。
本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
一、内容与要求1．引入二阶矩阵2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。
（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3．变换的复合--二阶方阵的乘法（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。
（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。
（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。
4．逆矩阵与二阶行列式（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。
（2）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
5．二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
6．变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
7．矩阵的应用（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题。
（2）初步了解三阶或高阶矩阵。
（3）了解矩阵的应用。
8．完成一个学习总结报告。
报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。
矩阵与变换知识点总结
矩阵与变换知识点总结
高中数学矩阵与变换知识点总结（一）一、矩阵与变换知识点汇总一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．
2．常见的平面变换
恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换．
3．逆变换与逆矩阵
(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；
(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.
4．特征值与特征向量
设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．
高中数学矩阵与变换知识点总结（二）二、例题解析
三、复习指导
1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算．
2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换．
3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩。
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
,
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
教师版-高中数学知识手册：选修4-2矩阵与变换
教师版-高中数学知识手册：选修4-2矩阵与变换- 57 -矩阵与变换1．矩阵：用A ，B ，C ，…或（ij a ）表示矩阵.(其中j i ,分别元素ij a 所在的行和列).2．零矩阵：所有元素都为0的矩阵.3．矩阵相等：对于矩阵B A ,,行数与列数分别相等，且对应位置的元素也分别相等时，B A =.4．二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0220210120110022211211y a x a y a x a y x a a a a 5．平面变换：①矩阵乘法形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x d c b a y x y x T :②坐标变换形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x y x T : （1）恒等变换矩阵(单位矩阵)：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001 E ，单位矩阵把平面上任意一点（向量）或图形变成自身. （2）伸压变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001沿着y 轴方向的伸压变换；⎥⎦⎤⎢⎣⎡100 k 沿着x 轴方向的伸压变换. （3）反射变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001 将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形. （4）旋转变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos M 绕定点作逆时针旋转θ的旋转变换. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθk k k k M k cos sin sin cos . （5）投影变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 将平面内图形投影到某条直线（或某个点）. （6）切变变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡101 k 把平面上的点),(y x P 沿x 轴方向平移||ky 个单位. 6．矩阵乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡222212212122112122121211211211112221121122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a （1）矩阵乘法MN 的几何意义：对向量连续实施的两次几何变换（先N T 后M T ）的复合变换（2）)(M n M M M M n个共⋅⋅⋅=（3）矩阵乘法的性质：① BA AB ≠(不具有交换律)；②)()(BC A C AB =(满足结合律)；③AC AB =≠＞C B =(不具有消去律)．7．逆矩阵：对于二阶矩阵，若E BA AB ==，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．（1）可逆矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A (0≠-bc ad )的逆矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d A 1． （2）可逆矩阵积的逆矩阵：111)(---=A B AB ；二阶矩阵A 可逆，且AC AB =，则C B =．8．二阶行列式： d c b a 的运算结果是个数值：bc ad d c b a A -== )det(． （1）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax 的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D y D D x yx ，其中d c b a D =，d n b m D x =，n c m a D y =． （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax ，可记作矩阵方程B AX =，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m y x d c b a ，则B A X 1-=．- 58 - 选修4-2数学知识点 选修4-2—矩阵与变换9．特征值与特征向量：设二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得αλα=A ，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一直线上．0>λ方向不变；0<λ方向相反；0=λ，特征向量就被变换成零向量．代数方法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的特征多项式：bc d a d c b a f ---=----=))(()(λλλλλ ． 例：已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量21,αα． 解：矩阵A 的特征多项式为()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+， 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-．当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩,， 取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． 10．多次变换的计算:设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量21,αα，则任一向量β可表示为：21ααβn m +=，则)()()()()(22112121αλαλααααt t t t t t n m A n A m n m A A +=+=+=．例: 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4121A ，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=47α ， (1) 求矩阵A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α 、2α ；(2) 求α 5A 的值．解：(1) 矩阵A 的特征多项式为)3)(2(654121)(2--=+-=---=λλλλλλλf ， 令0)(=λf ，得21=λ或32=λ,将21=λ代入⎩⎨⎧=-+=--0)4(02)1(y x y x λλ，得⎩⎨⎧=-=-0202y x y x ，属于特征值2的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121α ； 同理32=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112α ．(2) 由21ααα n m +=得⎩⎨⎧=+=+472n m n m ，求得3=m ，1=n ．因此 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=+=+=+=339435113122333)3(5525215125152155αλαλααααα A A A A ．。
选修4-2矩阵与变换
0.5 1 作用下，直线 l 变为 y=-2x-3,则直线 l 为 2 1
2、复合变换与二阶矩阵的乘法 （1）复合变化 复合公式与对应矩阵
（2）二阶矩阵的乘积 定义：设矩阵 A＝
a1 b1 a2 b2 ，B＝ c d ，则 A 与 B 的乘积 c1 d1 2 2 a1 b1 a2 b2 a1a2 b1c2 c d ＝ c a d c c d 1 1 2 2 1 2 1 2
a b 有： f E A a d bc 0 c d
例 8 已知矩阵 M＝
2 a 2 1
，其中 a∈R，若点 P(1，－2)在矩阵 M 的变换下得到点 P′(－
4,0)，求： (1)实数 a 的值； (2)矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．
1 2 0 1
④特别地：直线 x=a 关于 x 轴的投影变换？
【变式 1】下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换
）
D.伸缩变换
【变式 2】在切变变换 ：
1 0 作用下，直线 y=2x-1 变为 2 1
【变式 3】 在 A＝
（Ⅱ）把矩阵 M 所对应的变换作用在曲线 3 x 8 xy 6 y 1 上，求所得曲线的方程.
2 2
【点拨】本小题主要考查矩阵的解法与矩阵变换，掌握本部分的基础知识是解决本类问题 的关键。
1 1 1 【变式 1】已知矩阵 A ，向量 ．求向量 ，使得 A2 ． 2 1 2
【变式 3】P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应 的坐标公式为 【变式 4】在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
选修4-2 矩阵与变换
明 考 向
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
考什么
抓 基 础
怎么考 矩阵的运算及
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
明 考 向
矩阵变换的应用是
高考考查的重点， 都以解答题形式考 查.
(2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律． (4)理解矩阵乘法不满足消去律.
目 录
选修4-2 矩阵与变换 第一节 第二节 矩阵的性质、变换及乘法 逆变换与逆矩阵，矩阵的特征向量
数学（理）
选修4-2
矩阵与变换
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
[备考方向要明了]
抓 基 础
考什么 1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二 阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β) ＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、 旋转变换、投影变换、切变变换．
2 2 2 2 x y ∴圆 C： x2＋y2＝1 在变换 T 的作用下变成了椭圆 ＋ 4 16
提 能 力
明 考 向
0 1
0 1 ， 关于 y＝x 对称对
应的矩阵为 A＝
1 0 .
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
(3)伸缩变换：对应的二阶矩阵
抓 基 础
k1 A＝ 0
0 ，表示将每个 k2
点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍． (4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A
人教版B版高中数学选修4-2(B版)矩阵变换
图形变换的矩阵方法
要求：
1.掌握各种图形变换的变换矩阵。 2.掌握图形变换矩阵的一般形式。 3.掌握齐次坐标表示法。
一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象所处的 环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数情况下，尺寸 也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维的图形要在二维的图 纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从不同的方向去观察对象，要 求能对对象作旋转变换，放大缩小和平移变换更是经常要用的。绘图过程 中还要用窗口来规定要显示的内容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示 的位置。本章学习实现上述功能的算法。
cos sin 0 1 0 0
T1 sin
cos
0
0
1
0
0
0 1 m n 1
cos sin 0
sin
cos
0
m n 1
由于矩阵乘法不满足交换率, A B B A 级联的顺序不同,最终的图形不同
cos( ) sin( ) 0
T2 sin( ) cos( ) 0
0
0
1 19
3.图形对直线的对称变换 变成对x轴的对称变换
4.让直线绕原点逆时针旋转角， 恢复到原来的倾斜位置
1 0 0 T3 0 1 0
0 0 1
5.将直线平移回原来的位置
T T1 *T2 sin1
c os1
0
0
0 1
cos2 sin2
0
sin2 0
cos2
0
0
1
cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0
高中数学新课标人教A版高中数学选修矩阵知识点总结
高中数学选修矩阵知识点总结1、五种特殊变换旋转变换 ⎢⎣⎡a a sin cos ⎥⎦⎤-aa c o s s i n⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a y a x y a y a x x c o s s i ns i n c o s''反射变换 关于X 轴对称 ⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤-10 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y y xx ''关于Y 轴对称 ⎢⎣⎡-01 ⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧=-=y y xx ''关于Y=X 对称 ⎢⎣⎡10 ⎥⎦⎤01⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx '' 伸缩变换 纵轴伸缩 ⎢⎣⎡01⎥⎦⎤k 0 ⎪⎩⎪⎨⎧==ky y xx '' 横轴伸缩 ⎢⎣⎡0k⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧==yy kxx '' 横纵均伸缩 ⎢⎣⎡01k ⎥⎦⎤20k ⎪⎩⎪⎨⎧==yk y xk x 2'1'投影变换 关于X 轴正投影 ⎢⎣⎡00 ⎥⎦⎤01⎪⎩⎪⎨⎧==0''y xx 关于Y 轴正投影 ⎢⎣⎡00 ⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧==yy x ''关于AX+BY=0投影⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+22222B A AB B A B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤++-22222B A A B A AB ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=+-+=y B A A x B A AB y y B A ABx B A B x 22222'22222' 切变变换 沿X 轴平行方向移ky 个单位⎢⎣⎡01⎥⎦⎤1k⎪⎩⎪⎨⎧=+=y y kyx x ''沿Y 轴平行方向移kx 个单位⎢⎣⎡k1⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧+==ykx y xx '' 2.矩阵的概念：形如2341⎛⎫⎪⎝⎭、3m ⎛⎫⎪⎝⎭的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A 、B 、C …表示，或者用()ij a 表示，其中i,j 分别表示元素ij a 所在的行与列.同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
轴，定点称为反射点.
完整版课件ppt
12
M(l1l2b) l1Ml2Mb
上式表明，在矩阵M的作用下，直线
l1l2b 变成直线 l1Ml2Mb.
这种把直线变成直线的变换，通常叫做 线性变换。
(即形如
x' y'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来
完整版课件ppt
16
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
完整版课件ppt
17
建构数学 规定：矩阵乘法的法则是:
a be f aebg afbh c dg hcedg cfdh
完整版课件ppt
18
建构数学 矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续 实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
矩阵与变换
淮安市楚州中学陈军
完整版课件ppt
1
2.1 二阶矩阵与平面向量
2.1.1 矩阵的概念
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;
2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵;
2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法 1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.
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2
形
如
1 3
,
80
6
0
9 0 2
8
5
,
3
3 2
m
4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑
选修4-2矩阵与变换知识点
1．二阶矩阵的乘法
一般的，设
A=
⎡a1
⎢ ⎣
c1
b1 d1
⎤ ⎥ ⎦
，B=
⎡ ⎢ ⎣
a2 c2
b2 d2
⎤ ⎥ ⎦
，则
AB=
⎡ ⎢ ⎣
a1 c1
b1 ⎤ ⎡a2
d1
⎥ ⎦
⎢ ⎣
c2
b2 d2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a1a2 ⎢⎣c1a2
+ +
b1b2 d1c2
a1b2 + b1d2 ⎤
c1b2
+
d1 d2
⎥ ⎦
4．逆矩阵的性质 （1）性质 1 设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的． （2）性质 2 设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且（AB）-1=B-1A-1． 5．逆矩阵的判定及求法
定理：二阶矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
是可逆的，当且仅当
令 f (λ)=0，求出矩阵 A 的特征值 ξ1，ξ2 ;（3）分别就 ξ1，ξ2 列出相应的二元一次方程组， 求出对应的特征向量ξ1，ξ2 ．
阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥可逆时，那么该方程组有唯一解 ⎦
⎡x
⎢ ⎣
y
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a ⎢⎣c
b d
−1
⎤ ⎥ ⎦
⎡e
⎢ ⎣
f
⎤ ⎥
．
⎦
（ 2）推论
关于变量
x,y
的二元一次方程
组
⎧ ⎨ ⎩
ax cx
+ +
by dy
教师版-高中数学知识手册：选修4-2矩阵与变换
- 57 -选修4-2—矩阵与变换 选修4-2数学知识点矩阵与变换1．矩阵：用A ，B ，C ，…或（ij a ）表示矩阵.(其中j i ,分别元素ij a 所在的行和列).2．零矩阵：所有元素都为0的矩阵.3．矩阵相等：对于矩阵B A ,,行数与列数分别相等，且对应位置的元素也分别相等时，B A =.4．二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0220210120110022211211y a x a y a x a y x a a a a 5．平面变换：①矩阵乘法形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x d c b a y x y x T :②坐标变换形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x y x T : （1）恒等变换矩阵(单位矩阵)：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001 E ，单位矩阵把平面上任意一点（向量）或图形变成自身. （2）伸压变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001沿着y 轴方向的伸压变换；⎥⎦⎤⎢⎣⎡100 k 沿着x 轴方向的伸压变换. （3）反射变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001 将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形. （4）旋转变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos M 绕定点作逆时针旋转θ的旋转变换. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθk k k k M k cos sin sin cos . （5）投影变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 将平面内图形投影到某条直线（或某个点）. （6）切变变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡101 k 把平面上的点),(y x P 沿x 轴方向平移||ky 个单位. 6．矩阵乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡222212212122112122121211211211112221121122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a （1）矩阵乘法MN 的几何意义：对向量连续实施的两次几何变换（先N T 后M T ）的复合变换（2）)(M n M M M M n 个共⋅⋅⋅=（3）矩阵乘法的性质：① BA AB ≠(不具有交换律)；②)()(BC A C AB =(满足结合律)；③AC AB =≠＞C B =(不具有消去律)．7．逆矩阵：对于二阶矩阵，若E BA AB ==，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．（1）可逆矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A (0≠-bc ad )的逆矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d A 1． （2）可逆矩阵积的逆矩阵：111)(---=A B AB ；二阶矩阵A 可逆，且AC AB =，则C B =．8．二阶行列式： d c ba 的运算结果是个数值：bc ad dc b a A -== )det(． （1）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax 的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D y D D x yx ，其中d c b a D =，d n b m D x =，n c m a D y =． （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax ，可记作矩阵方程B AX =，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m y x d c b a ，则B A X 1-=．- 58 - 选修4-2数学知识点 选修4-2—矩阵与变换9．特征值与特征向量：设二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得λ=A ，那么λ称为A 的一个特征值，而称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一直线上．0>λ方向不变；0<λ方向相反；0=λ，特征向量就被变换成零向量．代数方法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的特征多项式：bc d a d c b a f ---=----=))(()(λλλλλ ． 例：已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量21,αα． 解：矩阵A 的特征多项式为()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+， 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-．当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩,， 取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． 10．多次变换的计算:设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量21,αα，则任一向量β可表示为：21ααβn m +=，则)()()()()(22112121αλαλααααβt t t t t t n m A n A m n m A A +=+=+=．例: 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4121A ，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=47α ， (1) 求矩阵A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α 、2α ；(2) 求α 5A 的值．解：(1) 矩阵A 的特征多项式为)3)(2(654121)(2--=+-=---=λλλλλλλf ， 令0)(=λf ，得21=λ或32=λ,将21=λ代入⎩⎨⎧=-+=--0)4(02)1(y x y x λλ，得⎩⎨⎧=-=-0202y x y x ，属于特征值2的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121α ； 同理32=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112α ．(2) 由21ααα n m +=得⎩⎨⎧=+=+472n m n m ，求得3=m ，1=n ．因此 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=+=+=+=339435113122333)3(5525215125152155αλαλααααα A A A A ．。
选修4-2矩阵与变换知识点讲解
四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：
选修4-2 矩阵与变换第一讲 线性变换与二阶矩阵
2 试写出这个旋转变换的表达式.
y P'
x r cos y r sin
P x
x r cos +30 r sin +30 y
30° θ O
x y
3 1 x y 2 2 1 3 x y 2 2
那么旋转角为30的旋转变换的坐标变换公式就可以写成
x y
§2 二阶矩阵与平面向量的乘法
x a b 定义：设A , , 规定二阶矩阵A与向量的乘积为 c d y a b x ax by 向量 .记为A或 ，即 cx dy c d y a b x ax by A = = . c d y cx dy
a1 b1 a2 b2 设 , 所对应的二阶矩阵分别为A , B . c1 d1 c2 d 2 若 =，那么它们对应的系数分别相等.这时我们也称二阶矩
阵A和B相等, 简记A B.
§2 二阶矩阵与平面向量的乘法
线性变换与二阶矩阵是一一对应的，能否直接用二阶矩阵 表示线性变换呢？
1 2 探究：设向量 , = , 利用平行四边形法则求 + , 2 1 再对 + 进行关于x轴的反射变换；或者，先对，做关于
在平面直角坐标系中，
形
平面内的点 平面内的曲线
数
有序实数对 方程
平面内的图形变换
§1.1 旋转变换
探究：将直角坐标系中所有点绕原点沿逆时针 方向旋转一个角度 .设平面内点P x, y 经过旋转 后变成点P x, y , 那么如何用P的坐标 x, y 表
选修4-2矩阵与变换.docx
第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩 乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一 的平面几何 常可以看做是伸 、反射、旋 、切 的一次或多次复合，而伸 、反射、切 等 通常叫做初等 ； 的矩 叫做初等 矩 ．(2)MN 的几何意 ： 向量x 矩 乘法α＝ 施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合 ．·(3) 当 向量 施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ， 地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩 乘法的运算性(1) 矩 乘法不 足交 律于二 矩A ，B 来 ，尽管 AB ， BA 均有意 ，但可能 AB ≠BA .(2) 矩 乘法 足 合律A ，B ，C 二 矩 ， 一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩 乘法不 足消去律．A ，B ，C 二 矩 ，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小 体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析： 因 A ＝ B ，x ＝ 8， ＋ ＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ， 它所 的 矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析： 将它写成矩 的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所 的 矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩 的乘法 着 的复合，而两个 的复合仍是一个 ，且两个 的复合 程是有序的，易 倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝ ＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算 基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝ － 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝ ，x ，y 为实数． 若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解： 由已知，得 A α＝ － 12 2 ＝ － 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以 － 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝ ，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解： 因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝ ，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝ ，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解： 设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝ ， ′ ＋′ ＝ ，y ′ ＝ ，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵， 常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ， 则 ＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法 重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解： 由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解： 绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋ －＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解： 设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝， 即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解： 设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解： 设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋ ＝ － 3 1 ， ＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解： 由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ， 即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解： 设 M ＝，由题意，得＝ ， ，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解： 设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则 － 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步： 将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝ － 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析： 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝ ，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案： － 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝ 的一个特征向量，则实数322解析： 设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆， 只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆， 如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝ 不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一： 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝ ， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二： 注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝ 是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析： 因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ， 即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案： － 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解： 设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即 － a － b 1 0则＝＝ ，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一： 待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二： 利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝ ：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－ ＝ 1≠ 0， 解：法一： 因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二： 因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页 共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得 － ＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝ ＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求 出 该 矩 阵 的 特 征 值 ， 然 后 把 特 征 值 代 入 矩 阵 A所 确 定 的 二 元 一 次 方 程 组λ－ a x － by ＝ 0， 即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值 － 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝ 是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解： 由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－ － 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1， 则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解： 设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝ ，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝ ， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝ ＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解： 矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值 ，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解： 由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解： 特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－ ＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－ － ＝ ，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝ － 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解： 令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝ － 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解： 把 λ＝－ 2 代入－λ－ ＋ ＝ ，得＝ ，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝ ，c d1 8a ＋ ＝ ，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝ ，故故c d＋ ＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点， 其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ， ＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。
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ξ
，
则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值，ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．
（2）一般地，设ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量，则对任意的非零常数 k ，
k ξ 也矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量．
（3）一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．
（4
）设矩阵
A=
= 0．
cd
注 ： 利 用矩阵 知识 解二 元一 次方 程组 的一 般步骤 是（ 先将 二元 一次 方程 组化 为
⎧ax + by ⎨⎩cx + dy
= =
e f
的 形式 ，其 次 判断 系数 矩 形
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
是 否可 逆， 若 可逆 则求
|
A|
， 代入
⎧ ⎪⎪
x
=
de |
− bf A|
（2）二阶矩阵
⎡0 ⎢⎣0
0⎤
0
⎥ ⎦
称为零矩阵，简记为
0，矩阵
⎡1 ⎢⎣0
0⎤
1
⎥ ⎦
称为二阶单位矩阵，记作
E．
（3）对于两个二阶矩阵 A，B，如果它们的对应元素分别相等，则称矩阵 A 与矩阵 B
相等，记作
A=B，设
A=
⎡a1
⎢ ⎣
c1
b1 d1
⎤ ⎥ ⎦
，B=
⎡a2
⎢ ⎣
c2
b2 d2
⎤ ⎥ ，若 ⎦
⎡cos a − sin a⎤
⎢⎣sin a
cos a
⎥ ⎦
⎪⎧x ' = x cos a − y s9;
=
x sin
a
+
y cos
a
2．反射变换
（1）关于 X 轴对称
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ − 1⎥⎦
⎪⎧x ' = x
⎨ ⎪⎩
y
'
=
−y
（2）关于 Y 轴对称
⎡− 1 0⎤ ⎪⎧x ' = −x
A=B，则
a1
=
a2 , b1
=
b2 , c1
=
c2 , d1
=
d2
．
2．线性变换的相关概念
（1）我们把形如
⎧ ⎨ ⎩
x′ y′
= =
ax cx
+ +
by dy
(∗)
的几何变换叫做线性变换，
(∗)
式叫做这个线性变换
的坐标变换公式， P′(x′, y ′) 是 P( x, y) 在这个线性变换作用下的像．
选修 4-2 矩阵与变换知识点
一、线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念
（1）由
4
个数
a,b,c,d
排成的正方形数表
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥称为二阶矩阵，数 ⎦
a,b,c,d
称为矩阵的
元素．在二阶矩阵中，横 的叫行，从上到下依次称为矩阵的 第一行、第二行 ;竖的叫列，从
左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母 A，B，C，…表示．
⎨ ⎪
y
=
−ce
+
af
求解;若 A 不可逆，当
a c
=
b d
=
e f
时，方程组有无数个解，当
a c
b =
d
≠
e f
时，
⎪⎩
|A|
方程组无解．）
三、变换的不变量与矩阵的特征向量
1．矩阵特征值、特征向量的相关概念
（ 1）定义
设矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
，如果存
在实数
λ
以及非零向量ξ
，使得
Aξ
=λ
detA=ad-bc≠0,当矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥可逆 ⎦
⎡d
时，A-1=
⎢ ⎢
det
A
⎢ −c
⎢⎣ det A
−b ⎤
det
A
⎥ ⎥．
a⎥
det A ⎥⎦
6．逆矩阵与二元一次方程
（1 ）定理
如果关于变量
x,y
的二元一次方程组（线性方程组）
⎧ax + ⎨⎩cx +
by dy
= =
e f
的系数矩
⎡k1 ⎢⎣0
0⎤
k
2
⎥ ⎦
⎪⎧x '
⎨ ⎪⎩
y
'
= =
k1x k2y
4．投影变换 （1）关于 X 轴正投影
⎡0 1⎤ ⎪⎧x ' = x
⎢⎣0
0⎥⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
0
（2）关于 Y 轴正投影
⎡0 0⎤ ⎪⎧x ' = 0
⎢⎣0
1⎥⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
y
5．切变变换
（1）沿
X
轴平行方向移
ky
个单位
⎡1 ⎢⎣0
阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥可逆时，那么该方程组有唯一解 ⎦
⎡x
⎢ ⎣
y
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a ⎢⎣c
b d
−1
⎤ ⎥ ⎦
⎡e
⎢ ⎣
f
⎤ ⎥
．
⎦
（ 2）推论
关于变量
x,y
的二元一次方程
组
⎧ ⎨ ⎩
ax cx
+ +
by dy
= =
0 0
，其中
a,b,c,d
是不全为零的
ab
常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式
令 f (λ)=0，求出矩阵 A 的特征值 ξ1，ξ2 ;（3）分别就 ξ1，ξ2 列出相应的二元一次方程组， 求出对应的特征向量ξ1，ξ2 ．
3．逆变换与逆矩阵
（1）一般地，设 ρ 是一个线性变换，如果存在线性变换 σ ，使得 σ ρ = ρ ， σ = I ，
则称变换 ρ 可逆，并且称σ 是 ρ 的逆变换．
（2）一般地，设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BA=AB=E，则称矩 阵 A 可逆，并且称 B 是 A 的逆矩阵．
（2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换．
（3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换 σ 、 ρ ，如果对平面内任意一点 P，都
有σ （P）= ρ （P），则称这个两个线性变换相等，简记为σ = ρ ，设 σ ， ρ 所对应的二阶
矩阵分别为 A，B，则 A=B．
注：1．旋转变换
⎢⎣0
1⎥⎦
⎨ ⎪⎩ y ' = y
（3）关于 Y=X 对称
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
⎪⎧x ' = x
⎨ ⎪⎩
y
'
=
y
3．伸缩变换 （1） 纵轴伸缩
⎡1 0⎤ ⎪⎧x ' = x
⎢⎣0
k
⎥ ⎦
⎨ ⎪⎩ y ' = ky
（2）横轴伸缩
⎡k 0⎤ ⎪⎧x ' = kx
⎢⎣0
1⎥⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
y
（3）横纵均伸缩
⎡ax + by⎤
⎢⎣cx
+
dy
⎥ ⎦
．
4．线性变换的基本性质
设 A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，
（1）性质 1 ①A(λα)=λAα ②A(α+β)=Aα+Aβ
（2）定理 1 A(λ1α + λ2 β ) = λ1 Aα + λ2 Aβ
（3）定理 2 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）． 二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵
对直角坐标系 xOy 内任意向量α，有 A（Bα）=（AB）α．
2．矩阵乘法的性质 （1）结合律 设 A，B，C 是任意的三个二阶矩阵，则 A（BC）=（AB）C．
（2）二阶矩阵 A 的方幂的性质 A0 = E2 , Ak Al = Ak+l , ( Ak )l = Akl (k, l ∈ N).
k ⎤ ⎪⎧x ' = x + ky
1
⎥ ⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
y
（2）沿
Y
轴平行方向移
kx
个单位
⎡1 ⎢⎣k
0⎤ ⎪⎧x' = x
1⎥⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
kx+
y
3．二阶矩阵与平面向量的乘法
设
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
，α=
⎡ ⎢ ⎣
x y
⎤ ⎥ ⎦
，则
Aα=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
⎡x
⎢ ⎣
y
⎤ ⎥= ⎦
4．逆矩阵的性质 （1）性质 1 设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的． （2）性质 2 设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且（AB）-1=B-1A-1． 5．逆矩阵的判定及求法
定理：二阶矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
是可逆的，当且仅当
特 征 值 λ1，λ2 的 特 征 向 量 ， 对 于 任 意 的 非 零 平 面 向 量 α ， 设
α = t1ξ1 + t2ξ2 (其中t1，t2这实数) ，则对任意的正整数 n，有 Anα = t1λ1nξ1 + t2 λ2nξ2 .