矩阵与变换

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题型一 二阶矩阵与平面向量 例 1 已知变换 S 把平面上的点 A(3,0)，B(2,1)分别变换为
点 A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换 S 对应的矩阵 T.
解 设 T＝ab cd， 则 T：30→xy′ ′＝ab
c d
30＝33ab＝03，解得ab＝ ＝01
；
T：21→xy′ ′＝ab
主干知识梳理
1．变换的复合与矩阵的乘法 (1)一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交 换律． (2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)． (3)矩阵的乘法不满足消去律．
2．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的逆矩阵． (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在 逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1. (3)利用行列式解二元一次方程组．
设矩阵 S 的另一个特征向量 n＝xy， 则 Sn＝64xx＋＋24yy＝2xy，即64xx＋＋24yy＝＝22xy ， 得 2x＋y＝0， 所以矩阵 S 的另一个特征值对应的另一个特征向量 n 的 坐标之间的关系是 2x＋y＝0.
探究提高 特征值与特征向量的概念是考查的重点，但 不是难点，依概念可知其特征属性，求法上具有一定的 模式，关键是要理解和掌握这两个概念．
则32
2x 1z
ωy ＝10
01，
即32xx＋＋2zz 23y＋y＋ω2ω＝10
0 1
故32xx＋＋2z＝z＝01，， 且32yy＋ ＋2ωω＝＝10，，
解得 x＝－1，z＝2，y＝2，ω＝－3，
从而 A 的逆矩阵 A－1＝－ 2 1－23.
探究提高 对于二阶矩阵，若有 AB＝BA＝E，则称 B 为 A 的逆矩阵．因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待 定系数法求解．
变式训练 2 已知矩阵 M＝21 － －31所对应的线性交换
把点 A(x，y)变成点 A′(13,5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
解 依题意得
由 M＝21
从而由21 xy＝－ －11
－ －31，得|M|＝1，故 M－1＝－ －11 32. － －31xy＝153得： 32153＝－－11××1133＋＋32××55＝－23.
① 对 于 特 征 值 λ1 ＝ － 1 ， 解 相 应 的 线 性 方 程 组
c d
21＝22ab＋ ＋cd＝1-1,解得cd＝＝1－3
，
综上可知，T＝01 －13.
探究提高 知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵， 通常用待定系数法求解．
变式训练 1 求矩阵 Q，使点 A(0,3)，B(－3,0)在矩阵 Q 对应的变换作用下分别得到点 A′(1,0)，B′(－1,1)．
故xy＝ ＝－2，3， 即 A(2，－3)为所求．
题型三 特征值与特征向量 例3 已知二阶矩阵 S 有特征值 λ＝8，其对应的一个特
征向量 m＝11，并且矩阵 S 对应的变换将点 A(－1,2)变换 成 A′(－2,4)．(1)求矩阵 S；(2)求矩阵 S 的另一个特征值 及对应的另一个特征向量 n 的坐标之间的关系．
方法二 (1)同方法一． (2)设直线 y＝3x 上的任意点(x，y)在矩阵 M 所对应的线 性变换作用下的像是点(x′，y′)， 由xy′′＝－11 －11 xy＝－x－x＋yy＝－22xx 得 y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线 y＝－x 上．由
(x，y)的任意性可知，直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线
解 (1)设矩阵 S＝ab 故ab＋ ＋cd＝＝88 ，
cd，则ab
c d
11＝811，
①
又ab
c d
－12＝－24，
则－ －ab＋ ＋22cd＝＝－4 2 ，
②
由①②得 a＝6，b＝4，c＝2，d＝4，故 S＝64 24.
(2)由(1)知，矩阵 S 的特征多项式为 f(λ)＝λ－－46 λ－－24＝(λ－2)(λ－8)， 令 f(λ)＝0，得矩阵 S 的特征值为 2 或 8. 所以另一个特征值为 λ＝2，
解 设 Q＝ba dc，
则ab
c d
03＝33dc＝10,解得dc＝＝130，.
又ab
c d
－03＝－ －33ab＝－11，解得ab＝ ＝－ 13，13.
1 1
所以 Q＝
3
1 3
3
.
0
Baidu Nhomakorabea
题型二 二阶逆矩阵 例 2 (2009·江苏)求矩阵 A＝32 21的逆矩阵．
解 设矩阵 A 的逆矩阵为xz ωy ，
(2)因为矩阵 M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)， 所以可取直线 y＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)． 由－11 －1100＝00，－11 －1113＝－22得 点(0,0)，(1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像分 别是点(0,0)，(－2,2)． 从而直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像 的方程为 y＝－x.
性变换作用下的像的方程为 y＝－x.
考题分析 本题考查了矩阵的复合与矩阵的乘法，考查 了在矩阵对应变换下的像的求法．体现了待定系数的思 想方法和坐标转移的方法的应用．考查了考生的运算能 力和解决问题的能力． 易错提醒 (1)矩阵的乘法运算法则掌握不准． (2)直线在 M 的变换下仍为直线，可取两个特殊量，不 少考生忽略了这一点． (3)计算错误．
变式训练 3
已知 a∈R，矩阵 A＝1a
2 1
，对应的线
性变换把点 P(1,1)变成点 P′(3,3)，求矩阵 A 的特征
值以及每个特征值的一个特征向量．,
解
由题意1a
2 1 1 1
＝3a+1＝33，
得 a＋1＝3，即 a＝2，矩阵 A 的特征多项式为
f(λ)＝λ－－21 λ－ －21＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令 f(λ)＝0，所以矩阵 A 的特征值为 λ1＝－1，λ2＝3.
3．特征值与特征向量 (1)设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一 个非零向量 α，使 Aα＝λα，那么 λ 称为 A 的一个特 征值，而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量． (2)从几何上看，特征向量经矩阵 A 的变换作用后， 仍与原向量共线，这时特征向量或者方向不变(λ>0)， 或者方向相反(λ<0)．特别地，当 λ＝0 时，特征向量 就变换成零向量．