高二数学选修4-2 矩阵与变换 PPT
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高二数学选修42矩阵与变换全章指导精品PPT课件
• 特征多项式：
f()= c a d b， 其A 中 =c a d b．
• 学会从几何变换的角度进行解释。
1 0 1 0 0 1 1 1 1 2
0
2
0
1
1
0
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0
0
1
伸压、反射、旋转、投影、切变
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）A() Βιβλιοθήκη A；（2） A( + ) = A + A。
A( + ) = A + A。
2．3 变换的复合与矩阵乘法
• 连续施行两次变换——矩阵的乘法 ； • 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
1 0
01210
0110
0110
0
1 2
交 换 律 验 证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4 逆变换与逆矩阵（一）
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵 (变换)的逆矩阵(变换) 。
• 反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
• 伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
1 0
0
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2
互逆 1
0
0
2
2．4 逆变换与逆矩阵（二）
• 旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
★
2．2 几种常见的平面变换；
★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵；
★★★
f()= c a d b， 其A 中 =c a d b．
• 学会从几何变换的角度进行解释。
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伸压、反射、旋转、投影、切变
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）A() Βιβλιοθήκη A；（2） A( + ) = A + A。
A( + ) = A + A。
2．3 变换的复合与矩阵乘法
• 连续施行两次变换——矩阵的乘法 ； • 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
1 0
01210
0110
0110
0
1 2
交 换 律 验 证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4 逆变换与逆矩阵（一）
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵 (变换)的逆矩阵(变换) 。
• 反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
1 0 1 0 1 0
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• 伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
1 0
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互逆 1
0
0
2
2．4 逆变换与逆矩阵（二）
• 旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
★
2．2 几种常见的平面变换；
★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵；
★★★
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
形具有更真实的视觉效果
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
高二数学选修系列4-2矩阵与变换教学建议课件
关于技术的使用
两种不同层次的课件：一种用于揭示数学
的本质，一种用于分步演示。 前者要求——即时、透明、互动； 后者要求——清楚、流畅、简洁。
支架式教学（ Scaffolding Instruction ）
矩阵与变换
具体与抽象——通过学生熟悉的情境提出问
题，引入内容（包括数学理论、思想方 法），并在分析和解决问题过程中，加深 对数学的理解。力图通过学生熟悉的语言、 实例、图形等多种方式介绍有关数学内容， 尽量避免过度形式化。
操作与理解——系列4既不是科普读物，也
不是理论专著。应在充分的活动、操作的 基础上，使学生理解专题中的核心概念和 基本数学思想。
选修 4 - 8 —— 统筹法与图论初步
选修 4 - 9 —— 风险与决策
选修 4 - 10——开关电路与布尔代数
延伸、拓展某些中学课程内容——几何证明选 讲、不等式证明选讲、坐标系与数方程。 体现数学的应用价值——优选法与试验设计初 步、统筹法与图论初步、风险与决策。 反映重要的数学思想——矩阵与变换、数列与 差分。 体现数学的科学价值——初等数论初步、开关 电路与布尔代数。
基础与拓展 —— 从已有的内容出发，引导学
生自主探究，做适当的拓展与延伸，在处 理问题的思想方法、在思维发展上获得突 破。
局部与整体 —— 突出学生解决问题的思想方
法，不求完美的科学体系。例如，矩阵与 变换。
总结与提高 —— 学会查阅资料，整理、思考
本专题所学的内容并与同学交流。
教学过程 问 题 情 境 提 出 问 题 学 生 活 动 体 验 数 学
选修 4 - 1 —— 几何证明选讲 ★
选 修 系 列 的 个 专 题
选修 4 - 2 —— 矩阵与变换 ★
高中数学选修4-2矩阵切变变换课件.ppt
ABC
变换成 △
ABC
的变换，其中
A(2,1)
，
。
五、小结
1．切变变换与切变变换矩阵的概念。
1 k 0 1
2． 是沿x轴方向的切变变换，x轴上的 点是不动点。
3． 是沿y轴方向的切变变换，y轴上的 点是不动点。 4．切变变换保持图形面积不变。 六、作业 课本P34. 11 课课练 第5课
三、应用
D(2, 2) C (2, 2) ， B(2,0) ， 例1．已知矩形的项点 A(2,0)， 。
1 0 1 2 1
⑴求矩形ABCD在矩阵 几何图形。
作用下变换得到的
1 ⑵求矩形ABCD在矩阵 1 2 何图形。
0 1
作用下变换得到的几
例2．如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下 变成图形 ABCD，试求变换T对应的矩阵M。
试求变换对应的矩阵M，并指出矩形区域 ABCD变换过程中的不变线段。
AB C D
1 2．考虑直线 x y 2 在矩阵 1 作用下变换得到的 0 1 几何图形。
3．如图，求把△
A(2, 3) ， B(0,1) ，C（0，-1）， B(0,1)，C (0, 1)
图2
图1
问题2：仔细观察，你发现了什么
问题3：你能将问题数学化吗？
图3
图4
1．切变变换、切变变换矩阵 1 k 1 0 象由矩阵 确定的变换通常叫做切变变换， 对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
1 k 2． 0 1 沿x轴方向的切变变换。对于原图形中的任
0 1
S
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平 行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要 发生改变，如图，这种形式的形变叫切变。
高二数学选修4-2矩阵与变换课件 苏教版
2.在本章中点和向量不加区分.如:
x （0， 0）为起点， y 既可以表示点（x, y），也可以表示以O uuu r 以（ P x, y）为终点的向量OP。
2.1 二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向 量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩 阵的概念和表示方法.如: 某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240 万吨、160万吨； 从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360 万吨、820万吨。 城市A 城市B 城市C 甲矿区 乙矿区
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 a21 a22 y0 a21 x0 a22 y0
2.1 二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义 理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合 的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.
200 240 160 400 360 820
2.1 二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列 矩阵通常用希腊字母α 、β 等表示. 5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的 元素也分别相等时两矩阵相等. 6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
难点
切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向 量。
主要数学思想
（1）数学化思想； （2）数学建模； （3）数形结合的思想；（4）算法思想。
主线
本专题的教学思路
通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩 阵的意义和作用。
教学要点
从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循
高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版
a b x bx ax＋by ＋ ＝ ，这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质 ． 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， ， 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝ ＝ c x b ＝ ，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋ 向量 ，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即 法．
a Aa＝ ＝ c
理科
│要点探究
【点评】 要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常 点评】 要理解二阶矩阵变换的定义， 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点． 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题 已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分 ， 分 别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ， ，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义 ． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由 ，，， 矩阵． 矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换 ． (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是
高考数学(理)二轮复习专题突破课件：选修4-2 矩阵与变换
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
矩阵变换与逆矩阵交汇创新 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量的求法是高考的热点内容， 其中矩阵的逆矩阵常和矩阵变换结合在一起考查，难度不大， 属中低档题，在解答过程中应注意步骤的规范化．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
【典例】(满分 7 分)设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 在矩阵 A＝ab 01(a>0) 对应的变换作用下得到的曲线为 x2＋y2＝1. (1)求实数 a，b 的值； (2)求 A2 的逆矩阵．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
考向二 二阶矩阵的逆矩阵与逆变换 常考查：①求二阶矩阵的逆矩阵；②直线在线性变换下求参数 的取值．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
【例 2】 已知矩阵 A＝13 (1)求逆矩阵 A－1；
－ －27.
(2)若二阶矩阵 X 满足 AX＝31 05，试求矩阵 X.
提示：对应的矩阵为k01 k02.
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
[思考 3] 对于二阶矩阵 A＝ac bd(ad≠bc)，你能写出它的逆矩阵 吗？
[思考4] 请叙述什么是二阶矩阵的特征值和特征向量？ 提示：(1)设 λ 是二阶矩阵 M＝ac bd的一个特征值，它的一个 特征向量为 α＝yx， 则有 Myx＝λxy.
阅卷现场体验
[探究提升] 1.二阶矩阵与线性变换的题目往往和矩阵的基本运算 相结合命题．包括二阶矩阵的乘法，矩阵与向量的乘法等． 2．(1)二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵、变换前的曲线方程、 变换后的曲线方程三个要素，知其二可求第三个．(2)在解决通 过矩阵进行平面曲线的变换问题时，要把变换前后的变量区别 清楚，防止混淆．
人教A版高中数学选修4-2 第二讲 一 复合变换与二阶矩阵的乘法 课件(共28张PPT)最新课件P
定义
上述这个线性变换就称为变换g和变换f 的复合变换,记为f·g.
复合变换f·g对应的矩阵为 a1a2 + b1c2 a1b2 + b1d 2 c1a2 + d1c2 c1b2 + d1d 2
称这个矩阵为矩阵A与B的乘积,记为AB AB= a1 b1 a2 b2 c1 d1 c2 d 2
a1a2 + b1c2 a1b2 + b1d 2 = c1a2 + d1c2 c1b2 + d1d 2
矩阵乘法的内在规律:
矩阵AB第一行的第一个元素等于A的第一行的 元素与B的第一列的元素的乘积之和;
矩阵AB第一行的第二个元素等于A的第一行的 元素与B的第二列的元素的乘积之和;
矩阵AB第二行的第一个元素等于A的第二行的 元素与B的第一列的元素的乘积之和;
矩阵AB第二行的第二个元素等于A的第二行的 元素与B的第二列的元素的乘积之和.
探究
直角坐标系中,连续进行两 次线性变换,其作用效果是否能 用一个线性变换来表示?
是否存在一个二阶矩阵与 之对应?
若存在,这个线性变换的二 阶矩阵与原来两个线性变换的 二阶矩阵由什么关系?
教学目标
知识与能力
➢掌握矩阵乘积的概念； ➢了解矩阵乘法的运算律,并能灵活 应用.
过程与方法 ➢通过从特殊到一般,从具体到抽象的过 程,理解一般性的概念和结论.
θ2
θ1
α
O
x
对x 应的线性变换分别为旋转变换Rθ1,Rθ2.对 α = y ,依次作这两个旋转变换,由图可得,其效 果可用一个变换Rθ1+θ2表示.
∴旋转变换Rθ1+θ2是一个线性变换,对应
的矩阵为
cos(θ1 + θ2) －sin(θ1 + θ2) sin(θ1 + θ2) cos(θ1 + θ2)
选修4-2 矩阵与变换
提 能 力
明 考 向
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
考什么
抓 基 础
怎么考 矩阵的运算及
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
明 考 向
矩阵变换的应用是
高考考查的重点， 都以解答题形式考 查.
(2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律． (4)理解矩阵乘法不满足消去律.
目 录
选修4-2 矩阵与变换 第一节 第二节 矩阵的性质、变换及乘法 逆变换与逆矩阵，矩阵的特征向量
数学（理）
选修4-2
矩阵与变换
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
[备考方向要明了]
抓 基 础
考什么 1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二 阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β) ＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、 旋转变换、投影变换、切变变换．
2 2 2 2 x y ∴圆 C： x2＋y2＝1 在变换 T 的作用下变成了椭圆 ＋ 4 16
提 能 力
明 考 向
0 1
0 1 ， 关于 y＝x 对称对
应的矩阵为 A＝
1 0 .
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
(3)伸缩变换：对应的二阶矩阵
抓 基 础
k1 A＝ 0
0 ，表示将每个 k2
点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍． (4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A
明 考 向
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
考什么
抓 基 础
怎么考 矩阵的运算及
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
明 考 向
矩阵变换的应用是
高考考查的重点， 都以解答题形式考 查.
(2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律． (4)理解矩阵乘法不满足消去律.
目 录
选修4-2 矩阵与变换 第一节 第二节 矩阵的性质、变换及乘法 逆变换与逆矩阵，矩阵的特征向量
数学（理）
选修4-2
矩阵与变换
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
[备考方向要明了]
抓 基 础
考什么 1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二 阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β) ＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、 旋转变换、投影变换、切变变换．
2 2 2 2 x y ∴圆 C： x2＋y2＝1 在变换 T 的作用下变成了椭圆 ＋ 4 16
提 能 力
明 考 向
0 1
0 1 ， 关于 y＝x 对称对
应的矩阵为 A＝
1 0 .
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
(3)伸缩变换：对应的二阶矩阵
抓 基 础
k1 A＝ 0
0 ，表示将每个 k2
点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍． (4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A
一轮复习配套讲义：选修4-2 矩阵与变换.pptx
λ－a －c
λ－－db＝0.记
f(λ) ＝ λ－－caλ－－db 为 矩 阵
A＝ca
b d
的特征多项式；方程
－λ－caλ－－db＝0，即
f(λ)＝0
称为矩阵
A＝ca
b d
的特征方程．
(3)特征值与特征向量的计算 λ－a －b
如果 λ 是二阶矩阵 A 的特征值，则 λ 是特征方程 f(λ)＝－c λ－d ＝λ2－(a＋d)λ ＋ad－bc＝0 的一个根． 解这个关于 λ 的二元一次方程，得 λ＝λ1、λ2，将 λ＝λ1、λ2 分别代入方程组(*)， 分别求出它们的一个非零解
0－157＝0×15×＋5＋－01××7 7 ＝－75.
学海无涯
答案
5 －7
2．若
A＝121 2
2121，B＝－1212
－1 12，则 AB＝ 2
.
解析
1 AB＝122
21
1 2
12－12
－12
1 2
＝2112××2112＋＋2211××－－2112
12×－21＋21×12 12×－12＋12×12
【训练 1】已知变换 S 把平面上的点 A(3,0)，B(2,1)分别变换为点 A′(0,3)，B′(1，
－1)，试求变换 S 对应的矩阵 T.
解
设 T＝ba dc，则 T：03→xy′′＝ab
c d
30＝33ab＝03，解得ab＝＝01，；
学海无涯
T：12→yx′′＝ba dc12＝22ba＋＋dc＝－11，
知 识 梳理
1．矩阵的乘法规则
b11 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵 的乘法规则：
b21
b11 [a11 a12] ＝[a11×b11＋a12×b21]．
人教版高中数学选修4-2课件：2.4 逆变换与逆矩阵 (共49张PPT)
4．求矩阵乘积 AB 的逆矩阵．
(1)A＝02 10，B＝01 40； (2)A＝－01 －10，B＝31 42.
解：(1)(AB)－1＝B－1A－1
1 ＝0
0 1 1 2 4 0
01＝120
0 1. 4
(2)(AB)－1＝B－1A－1
－2 1
＝3 2
－12
－1
0
0 －1
2 －1
＝－32
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩 阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵 乘法并不满足交换律．
则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y， 故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)． 又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
－y＋2w＝1.
x＝25， 解得yz＝＝15－，15，
w＝25.
2 故矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝51
5
－15 2. 5
1 0
1
6．已知矩阵 M＝0
1，N＝2
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X’，根据矩阵变换的性质有
16
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
17
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v
2
15
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变 换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
21
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的
0 –1
1
0
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
4
矩阵---几何变换的代数表示
1211101211(110)012
2 10 2011 1 11110(1)11
5
矩阵把平面上的任一个点 ，变成 平面上的另一个点。它是一个几何变 换，
6
中学常见的几种几何变换的矩阵表示
恒等变换 伸压变换 反射变换 切变变换 旋转变换 投影变换
7
伸压变换
1/2 0 01 10 0 1/2
8
反射变换
10 0 -1
-1 0 01
9
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
10
切变变换
11 01
10 21
11
旋转变换
0 -1 10
01 -1 0
12
投影变换
10 00
00 11
13
矩阵变换是线性变换
也就是
1)A()A 2)A()AA
A ( ) A A
18
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1 0 01
压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换 切边变换之逆为切变变换
-1 0 01
19
两矩阵之积之逆的几何意义
0 –1 10
10 0 1/2
01 –1 0
10 02
20
线性方程组与变换
线性方程组 2 x y 1
x
3y
2
的矩阵形式 2 –1 x
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
23
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
24
16
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
17
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v
2
15
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变 换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
21
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的
0 –1
1
0
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
4
矩阵---几何变换的代数表示
1211101211(110)012
2 10 2011 1 11110(1)11
5
矩阵把平面上的任一个点 ，变成 平面上的另一个点。它是一个几何变 换，
6
中学常见的几种几何变换的矩阵表示
恒等变换 伸压变换 反射变换 切变变换 旋转变换 投影变换
7
伸压变换
1/2 0 01 10 0 1/2
8
反射变换
10 0 -1
-1 0 01
9
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
10
切变变换
11 01
10 21
11
旋转变换
0 -1 10
01 -1 0
12
投影变换
10 00
00 11
13
矩阵变换是线性变换
也就是
1)A()A 2)A()AA
A ( ) A A
18
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1 0 01
压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换 切边变换之逆为切变变换
-1 0 01
19
两矩阵之积之逆的几何意义
0 –1 10
10 0 1/2
01 –1 0
10 02
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线性方程组与变换
线性方程组 2 x y 1
x
3y
2
的矩阵形式 2 –1 x
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
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矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
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