【高考精品复习】选修4-2 矩阵与变换 矩阵与变换

【高考会这样考】

1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 【复习指导】

1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算．

2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换．

3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组．

基础梳理

1．乘法规则

(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎡⎦⎤b 11b 21

的乘法规则：

[a 11 a 12]⎣⎡⎦⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．

(2)二阶矩阵⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎡⎦⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦

⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22 ⎣⎡⎦

⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎡⎦⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22

(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝

A (BC )，A

B ≠BA ，由AB ＝A

C 不一定能推出B ＝C .

一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换

恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换． 3．逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；

(2)若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－

1＝B －

1A －

1.

4．特征值与特征向量

设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．

双基自测

1．(2011·南通调研测试)曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤

10 21的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．

解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，

则⎣⎡⎦⎤10 21⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎨⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎨⎧

x ′＝x －2y ，y ′＝y .

因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1.

2．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎡⎦⎤

11，求矩阵A .

解 设A ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，由⎣⎡⎦⎤a c b d ⎣⎡⎦⎤10＝⎣⎡⎦⎤23，得⎩⎨⎧

a ＝2，c ＝3.

由⎣⎡⎦⎤a c b d ⎣⎡⎦⎤11＝3⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤33，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎨⎧

b ＝1，d ＝0. 所以A ＝⎣⎡⎦⎤

23 10.

3．(2011·苏州调研测试)已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵形A ＝⎣⎡⎦⎤

a 0 0

b (a ＞0，b ＞0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y 2

4＝1，求a ，b 的值．

解 设P (x ，y )为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，

则⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤a 0 0b ⎣⎡⎦⎤

x y ，即⎩⎨⎧

x ′＝ax ，y ′＝by .

又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以a 2x 29＋b 2y 2

4＝1.由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝3，b ＝2.

4．(2011·南京市模拟)已知a ＝⎣⎡⎦⎤21为矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 a 4属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.

解 由条件可知⎣⎡⎦⎤ 1－1 a 4 ⎣⎡⎦⎤21＝λ⎣⎡⎦⎤21， 所以⎩⎨⎧

2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.

因此A ＝⎣⎡⎦⎤

1－1 24.

所以A 2＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 24 ⎣⎡⎦⎤ 1－1 24＝⎣⎡⎦⎤－1－5 1014.

考向一 矩阵与变换

【例1】►求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎡⎦⎤10 02，N ＝⎣⎡⎦

⎤ 1－1 01. [审题视点] 先求积MN ，再求变换公式． 解 MN ＝⎣⎡⎦⎤10 02⎣⎡⎦⎤ 1－1 01＝⎣⎡⎦⎤ 1－2 02.

设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换

下变为点P (x ，y )，

则⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ 1－2 02⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y

2

，

代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.

所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.

【训练1】 四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′D ′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A (－1,2)，B (3,2)，C (3，－2)，D (－1，－2)，A ′(－1,0)，B ′(3,8)，C ′(3,4)，D ′(－1，－4)，求将四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′的变换矩阵M .

解 该变换为切变变换，设矩阵M 为⎣⎡⎦⎤1k 01， 则⎣⎡⎦⎤1k 01⎣⎡⎦⎤－1 2＝⎣⎡⎦⎤－10.所以－k ＋2＝0，解得k ＝2. 所以M 为⎣⎡⎦⎤12 01.

考向二 矩阵的乘法与逆矩阵

【例2】►已知矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

0 －11 0，求(AB )－1. [审题视点] 求矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

a

b c d 的逆矩阵，一般是设 A －1

＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤x y z w ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a

b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1 00

1求得． 解 AB ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1 00 1， 得⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c

d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1 00 1，