近似计算

近似计算

在生活和生产中，时常要对事物进行计数、度量和计算，例如计算人数的多少、衡量物体的重量、丈量道路的长度以及观察温度的高低等．这种计数或度量所得的结果往往不是绝对准确的，一般说都是有一定误差的．

在各种数值计算中，或由于原始数据本身就是近似数，或由于计算工具的限制只能取近似值，或由于实际需要计算时采用近似的计算公式和方法，如果不了解原始数据和计算结果的误差大小，可能使计算结果的准确度不够要求；或多做了许多不必要的计算工作，而所得结果的准确度又没有提高或超过需要，徒然浪费了时间和精力．

因此，我们有必要知道误差理论知识，根据这些知识去研究如何使计算简化，同时又能获得足够的精确度．

一、近似值的截取方法

用位数较少的近似值来代替位数较多或无限位数的数时，要有一定的取舍法则．在数值计算中，为了适应各种不同的情况，须采用不同的截取方法．

1．去尾法

把舍去部分去掉后，所保留的数不变．例如把π=3.1415926…用去尾法截取到千分位时，近似值为3.141．

这种截取法只舍不入，如果截取到第n个数位的近似值，它的误差不超过第n个数位上的一个单位．

2．进一法

把舍去部分去掉后，所保留数的最后一位数字加1．例如把π=3.1415926…用进一法截取到千分位时，则近似值为3.142．

这种截取法只入不舍，如果截取到第n个数位的近似值，它的误差不超过第n个数位上的一个单位．

3．四舍五入法

(1)如果舍去部分小于保留部分最后一位的一个单位的二分之一时，则采用去尾法处理，使所保留的数不变．例如把

π＝3.1415926…

截取到百分位时，则保留部分最后一位的单位是10-2，舍去部分为

因此采用去尾法截取得近似值为3.14．

(2)如果舍去部分大于保留部分最后一位的一个单位的二分之一时，则采用进一法处理，使所保留数的最后一位数字加1．例如把π取舍到四位小数时，采用进一法截取得近似值为3.1416．

(3)如果舍去部分恰好等于保留部分最后一位的一个单位的二分之一时，则根据偶数法则取舍．当保留部分最后一位数字为偶数时，采用去尾法来取舍；保留部分最后一位数字为奇数时，则采用进一法来取舍．例如把0.345取舍到百分位时，采用去尾法取舍，得近似值0.34．把3.135取舍到百分位时，则采用进一法取舍，得近似值3.14．因此，用偶数法则取舍的近似值，保留部分的末位上数字都是偶数，这正是它命名的由来．

用四舍五入法截取近似数，可能是原数的不足近似值，也可能是原数的过剩近似值，而产生的误差，都不超过保留部分最末一位的半个单位．因此，这种方法有两个优点：

①对于一个数来说，用四舍五入法截取到一个指定的数位，所产生的误差一般要比用其

它方法截取时小；

②在含有几个数的计算中，用四舍五入法来截取近似数，可以有一些比原数小，另一些比原数大，因而产生的误差往住可以相互抵消，从而使计算结果的精确度比较高．确定近似值准确度的高低，可以采用下列三种法则：

i．计算近似值的绝对误差、绝对误差界；

ii．计算近似值的相对误差、相对误差界；

iii．计算近似值的有效数字或可靠数字的个数．

二、绝对误差与相对误差

设某一个量的真值为A，它的近似值为a，则A与a的差叫做近似值a的误差．误差可能为正数也可能为负数．

A与a的差的绝对值叫做近似值a的绝对误差，用α表示，则

α=｜A-a｜．

可用绝对误差来表示近似值a与真值A的接近程度，即可用绝对误差来比较近似值准确度的高低．

但是对某一个量进行度量时，一般是不知道这个量的真值的，因此近似值的绝对误差一般也不可能知道．虽然如此，我们可以根据近似值本身的性质以及用怎样的取舍法则得出这个近似值，来估计出绝对误差的范围．也就是说，我们可以定出一个尽可能小的正数△，使这个绝对误差为最大时也不会超过它，即

α=｜A-a｜=△，

正数△叫做近似值的绝对误差界．

例如用四舍五入法则取舍得出的近似值为3.46，我们可以估计出它最多舍去0.005或增加0.005．因此定出正数0.005为这个近似值的绝对误差界，即

｜A-3.46｜≤0.005．

有了近似值的绝对误差界，可以知道这个近似值与真值之间可能存在的误差范围，也就可以判断它的准确度．绝对误差界较小的近似值，它的准确度较高．

绝对误差界为正数k的近似值，常说这个近似值准确到k．例如对于同一个真值，绝对误差界分别为0.05和0.1的两个近似值，常说它们分别准确到0.05和0.1．由于0.05＜0.1，可以判定绝对误差界为0.05的近似值的准确度较高．

近似值的写法通常把它的绝对误差界冠以正负号写在这个近似值的后面并加上括号，用以表示它的准确度．例如量得一条钢丝长为25厘米，它的绝对误差界为0.03厘米，可以写成25厘米(±0.03厘米)来表示它的准确度．

对于具有同一真值的量的近似值，我们可以用它们的绝对误差或绝对误差界来比较它们的准确度，可是对于真值不相同的近似值，单凭它们的绝对误差或绝对误差界还不可能确定它们准确度的高低．例如丈量一条40公里长的道路，知道所得结果的绝对误差为20米；丈量另一个20公里长的道路，所得结果的绝对误差也为20米．虽然两次丈量结果的绝对误差相同，但是显然看出40公里的道路较长，所量得的结果具有较高的准确度．这个例子说明了近似值准确度的高低，不仅根据它的绝对误差的大小，而且与近似值本身的大小有关．因此，为了比较真值不相同的近似值的准确度的高低，常采用它们的相对误差．

一个量的近似值为a，它的绝对误差α与近似值a的绝对值之比，叫做这个近似值的相对误差．用α＇表示，则得

例如丈量40公里长的道路，它的绝对误差为20米，则它的相对误差为

由于绝对误差一般都不能知道，相对误差也就不可能求得，因此，在实际数值计算中用相对误差界来表示它们的准确度．

相对误差界是一个尽可能小的正数δ，而使近似值的相对误差为最大时也不会超过它，即

相对误差界常用百分比表示．如果δ等于p ％，就表示这个近似值准确到它的p ％．相对误差比较小的近似值，它的准确度较高．

三、有效数字与可靠数字

任何一个用十进制表示的近似值a 都可以用下列形式表示：

a ＝±(a ＇×10m -1)

或 a=±(x 110m -1＋x 210m -2＋…＋x k 10m -k ＋…＋x n 10m -n )，这里1≤a ＇＜10，n 与k 都是正整数且k ≤n ，m 为这个近似值的整数位数．x 1，x 2，…，x n 都是0到9中间的任一个整数，且x 1≠0．

那么称x k 为有效数字，同时在它左方的x 1，x 2，…，x k -1都是有效数字．这时a 叫做具有k 个有效数字的近似值．

例如用四舍五入法截得近似值0.00305，它的有效数字为3，0，5又如近似值0.00630的绝对误差不大于51021-⨯则6，3，0为有效数字；如果不大于4102

1-⨯，则最右边的一个0不是有效数字，近似值0.00630的有效数字为6，3．

如果近似值a 的绝对误差界不超过10-k ，即Δ≤10m -k ，那么称x k 为可靠数字，同时在它左方的x 1，x 2，…，x k -1都是可靠数字．这时a 叫做具有k 个可靠数字的近似值．

例如3.1415926…用去尾法截取得到 3.1415．这个近似值具有五个可靠数字：3，1，4，1，5．又如近似值0.00345(±10-5)具有三个可靠数字3，4，5．

近似值a 的绝对误差界若不超过k m -⨯102

1，则必有不超过k m -10因此，一个近似值的有效数字必是可靠数字，反之不然．

具有几个有效(可靠)数字的近似值的写法，应该从最左边非零数位起写出几个数字．如果近似值的有效(可靠)数字中，在小数点后最后有一个或几个零，这些零都不应略去．例如近似值4.600，如果具有四个有效数字，则不能写成4.6．

较大数目的近似值的写法，一般可写成10的乘幂形式来表示它具有几个有效数字．例如用四舍五入法截取7543475使具有三个有效数字的近似值，应写成754×104．有时也可写成7540000，把后面几个零写得小一些、靠下些，以便和作为有效(可靠)数字的“0”区分开来．

有效数字与可靠数字这两个概念都是由绝对误差界来定义的，知道了近似数的绝对误差界，就能确定这个近似数有几个有效(可靠)数字．反过来，知道了近似数的有效(可靠)数字