(名师整理)最新数学中考专题复习《函数的基础知识》考点精讲精练

(3)与几何图形中的动点结合：一般解题思路为设时间为 t，找出因变量 与 t 之间存在的函数关系，用含 t 的式子表示，再找相对应的函数图象，注 意是否需要分类讨论；
(4)分析函数图象判断结论正误：分清图象的横、纵坐标代表的实际意 义及函数中自变量的取值范围，同时要注意：①分段函数要分段讨论；② 转折点：判断函数的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函 数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程， 从而判断结论的正误．
3．点的坐标用含某个字母的代数式表示时，根据象限内坐标的符号， 得到一元一次不等组并求解，求出这个字母的取值范围．
重难点 2 函数图象 (1)早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的
作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回， 小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明从家出发后所用时间为 x，两人之间的 距离为 y，则能大致反映 y 与 x 之间关系的图象是①．
(1)点 A(a，b)关于 x 轴的对称点为⑫ (a，－b)； (2)点 A(a，b)关于 y 轴的对称点为⑬ (－a，b)； 对称 (3)点 A(a，b)关于原点的对称点为⑭ (－a，－b；) 点的 归纳：关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，关于原点对 坐标 称都变号． 特征 (4)点 P(a，b)关于直线 y＝x 的对称点是⑮ (b，a) ； (5)点 P(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点是⑯ (－b，－a) ．
(8)若点 P 与点 C 关于原点对称，当点 C 在第四象限时，求 m 的取值 范围．
【自主解答】
解：(7)若点 P 与点 B 关于 x 轴对称，则点 P 的坐标为(3，－2)， 又∵P(3m－6，m＋1)， ∴3m－6＝3，且 m＋1＝－2，显然不成立； 若点 P 与点 B 关于 y 轴对称，则点 P 的坐标为(－3，2)， 又∵P(3m－6，m＋1)， ∴3m－6＝－3，且 m＋1＝2，解得 m＝1，成立． 因此当 m＝1 时，点 P(3m－6，m＋1)与点 B(3，2)关于 y 轴对称．
3．自变量的取值范围
函数解析式的形式 自变量的取值范围
整式型
全体实数
分式型AB
B≠0
二次根式型 A
A≥0
零次幂或负整数次幂 底数不为零
分式与二次 根式结合型
A
B≠0
B
A B
B>0
且 A≥0
注意：(1)在实际问题 中，自变量的取值范 围应使该问题有实际 意义；(2)兼其中两种 或两种以上结构，分 别求出各自的取值范 围，再求公共部分
(6)早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，遇到姑姑，停下 来聊了几句，然后小明继续步行到达学校．设小明从家出发后所用时间为 x， 离家的距离为 y，能大致反映 y 与 x 之间关系的图象是②．
【方法指导】 函数图象的分析与判断主要有两种：一是以实际问题 为背景；二是以动点图形问题为背景．方法上主要有定性分析与定量分析．
在具体判断函数图象时，步骤如下： (1)明确两坐标轴所代表的量及自变量的取值范围，同一实际问题(动点 问题)若两坐标轴所表示实际意义不同，得到图象是不同的；
(2)判断图象起始点与终止点时与实际情况是否相符；注意图象拐点(或 交点)与实际情况是否相符，拐点(或交点)是判断函数的倾斜方向或增减性 发生变化的关键点；
(5)若点 P 到两个坐标轴的距离相等，则 m＝ 72或45 ； (6)将点 P 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后得到点
12 M.若点 M 落在直线 y＝2x 上，则 m＝ 5 ；
(7)已知点 B(3，2)，判断点 P 与点 B 能否关于坐标轴对称？若能，求 出 m 的值；若不能，请说明理由；
4．填空： (1)函数 y＝2x2－3x＋1 的自变量 x 的取值范围是全体实数 ； (2)函数 y＝ 1－x的自变量 x 的取值范围是 x≤1 ； (3)函数 y＝1－1 x的自变量 x 的取值范围是 x≠1 ； (4)函数 y＝ 11－x的自变量 x 的取值范围是 x＜1 ；
(5)函数 y＝ 1x－＋x2的自变量 x 的取值范围是 x≥－2且x≠1
(6)任意两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)所连线段的中点坐标为(
a1＋a2 2
，
b1＋2 b2)；
(7)任意两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)之间的距离P1P2＝
（a1－a2）2＋（b1－b2）2.
1．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(－2，3)． (1)点A在第二 象限内； (2)点A关于x轴的对称点A1的坐标为 (－2，－3) ，关于y轴的对称 点A2的坐标为 (2，3) ，关于原点的对称点A3的坐标为 (2，－3) ； (3)将点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A4的 坐标为 (－1，1) ；
上下平移：加减在 纵坐标上，上加下 减，横坐标不变.
平面直角坐标系中的距离 (1)点 P(a，b)到 x 轴的距离为⑳ |b| ； (2)点 P(a，b)到 y 轴的距离为 |a| ； (3)点 P(a，b)到原点的距离为 a2＋b2 ； (4)在 x 轴上或在平行于 x 轴的直线上的两点 P1(a1，b)，P2(a2，b)间的 距离为 |a2－a1| ； (5)在 y 轴上或在平行于 y 轴的直线上的两点 P1(a，b1)，P2(a，b2)间的 距离为 |b2－b1| ；
(4)早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，发现忘记带作业 本，于是打电话让妈妈从家送来，同时小明也往回走，两人相遇后，小明 加速赶往学校．设小明从家出发后所用时间为 x，小明与学校的距离为 y， 则能大致反映 y 与 x 之间关系的图象是⑤ ．
(5)早上，小明从家里骑自行车去公园进行锻炼，到达公园锻炼一会后， 按原路原速度返回家中，然后小明背上书包，步行到达学校．设小明从家 出发后所用时间为 x，离家的距离为 y，则能大致反映 y 与 x 之间关系的图 象是④ ．
(1)第一、三象限的角平分线上的 象限角平分线 点的横坐标与纵坐标⑧相等；
上点的坐标特 (2)第二、四象限的角平分线上的
征
点的横坐标与纵坐标
⑨互为相反．数
平行于坐标轴 (1)平行于x轴的直线上的点的⑩ 纵坐标相等；
的直线上的点 (2)平行于y轴的直线上的点的⑪横坐标相等.
的坐标特征
平面直角坐标系中点的对称与平移
(x，y)―向―单左―位平―长移―度a―个→(x－a，y) 点的 平移 (x，y) ―向―单右―位平―长移―度a―个→⑰ (x＋a，y)
的坐 标特 (x，y) ―向―单上―位平―长移―度a―个→⑱ (x，y＋a)
征
(x，y) ―向―单下―位平―长移―度a―个→⑲ (x，y－a)
左右平移：加减在 横坐标上，左减右 加，纵坐标不变．
(2)已知小明家、公园、学校在一条直线上，早上，小明从家里步行去 公园进行锻炼，到达公园锻炼一会后，小明骑上共享单车到达学校．设小 明从家出发后所用时间为 x，离公园的距离为 y，则能大致反映 y 与 x 之间 关系的图象是 ③ ．
(3)已知小明家、公园、学校在一条直线上，早上，小明从家里步行去 公园进行锻炼，到达公园锻炼一会后，小明继续步行到达学校后，发现忘 记带作业本，立刻按原路骑自行车回家去取．设小明从家出发后所用时间 为 x，离家的距离为 y，则能大致反映 y 与 x 之间关系的图象是⑥ ．
(8)∵点 P 与点 C 关于原点对称，P(3m－6，m＋1)，∴C(6－3m，－m －1)．
∵点 C 在第四象限， ∴6－－m3－m＞1＜0，0，解得－1＜m＜2.
【方法指导】 1.点在直线 y＝a 上，说明此点的纵坐标为 a；点在直 线 x＝b 上，说明此点横坐标为 b.
2．判断两个点是否关于直线 y＝a 对称，只需得到两个点的横坐标相 等，纵坐标之和等于 2a；判断两个点是否关于直线 x＝b 对称，只需得到两 个点的横坐标之和等于 2b，纵坐标相等．
(3)判断过程变化次数与函数图象段数是否相符，每一段的变化趋势与 实际情况是否相符；
(4)有时还需要利用函数关系式进行计算，利用具体数据进行验证．
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
在数学的天地里，重要的不是我们知 道什么，而是我们如何知道什么
-------毕达哥拉斯
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第三单元 函数 第9讲 函数的基础知识
考点解读
平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限内 (1)点P(x，y)在第一象限⇔x>0，y>0； 点的坐标 (2)点P(x，y)在第二象限⇔x<0，y① >0； 特征 (3)点P(x，y)在第三象限⇔x② <0，y<0；
(4)点P(x，y)在第四象限⇔x③ >0，y④ <0. (1)点P(x，y)在x轴上⇔⑤ y＝0； 坐标轴上 (2)点P(x，y)在y轴上⇔⑥ x＝0； 点的坐标 (3)点P(x，y)在原点⇔⑦ x＝0，y＝0． 特征 注意：坐标轴上的点不属于任何象限．原点 既在x轴上，又在y轴上.
重难点选讲
重难点 1 平面直角坐标系及点的坐标 已知点 P(3m－6，m＋1)．
(1)若点 P 在 y 轴上，则 m＝ 2 ； (2)若点 P 在 x 轴上，则 m＝ －1 ； (3)若点 P 的横坐标比纵坐标大 1，则 m＝ 4 ； (4)若点 P 在过 A(3，－2)，且与 x 轴平行的直线上，则 m＝ －3 ；
3．如图，四边形ABCD是周长为20的菱形，点A的坐标是(4，0)，则 点B的坐标是 (0，3) ．
函数及其自变量的取值范围 1．函数：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是 自变量 ，y是 x的函数 ． 2．函数的三种表示方法：列表法、 图象 法、解析式法．
(4)点 A 到 x 轴的距离为 3 ，到 y 轴的距离为 2 ，到原点的距离为 13 ； (5)若 B 点坐标为(1，7)，连接 AB，则线段 AB 的中点 C 的坐标 为 (－12，5) ，线段 wk.baidu.comB 的长度为 5．
2．如图，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是(C ) A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同 C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同
；
(6)函数 y＝ xx＋－13－(x－4)0中，自变量 x 的取值范围是 x＞3且x≠4
．
5．下列图象能反映 y 是 x 的函数的是 ①②④ ．
【方法指导】 画一条垂直于 x 轴的直线，若这条直线在自变量取值 范围内与函数图象有且只有一个交点，则 y 是 x 的函数．
分析判断函数的图象 判断符合题意的函数图象的方法： (1)与实际问题结合：①找起点；②找特殊点；③判断图象趋势；④看 图象是否与坐标轴相交，即此时一个量为 0； (2)与几何图形结合：一般都可转化为求线段的长度，进而求解．一般 利用勾股定理、三角形相似、线段成比例等考查自变量与因变量之间的函 数关系，再找相应图象，要注意分类讨论时自变量的取值范围；
6．(2019·河池)如图，△ABC 为等边三角形，点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→A 做匀速运动，则线段 AP 的长度 y 与运动时间 x 之间的函数关 系的大致图象是( B )
7．如图是小李骑自行车离家的距离 s(km)与离家时间 t(h)之间的关系． (1)在这个变化过程中自变量是离家时间 ； (2)小李 2 小时后到达离家最远的地方，此时离家 30 km； (3)小李这次出行的平均速度为 12 km/h； (4)当 t＝ 1.5或4 时，小李与家相距 20 km.