高考数学线性规划题型总结

高考数学线性规划题型
总结
文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目
标关系最值问题
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数
z 最大值为18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将
l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 .
22x y +解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，
2）是满足条件的最优解。

22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标
关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

习题2、已知x 、y 满足以下约束条件
220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z=x 2+y 2
的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2
C 、13，
4
5
D 、13，25
图2
x y O
2
2 x=2
y =2 x + y =2
B
A
2x + y - 2= 0
x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0
O
y
x
A
解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为4
5
，选C 练习2、已知x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,10
52y x y x y x ，则
x y 的最大值为___________，最小值为
____________． 2，0
三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例3、在平面直角坐标系中，不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表
示的平
面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组
20200x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域是一个三角形。

容易求三角形的
三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：
11
||||42 4.22
S BC AO =
⋅=⨯⨯=从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
表示的平
面区域
的面积为
（ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即
为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC
的面积即可，选B
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）
2x + y – 6= 0
x ＋y – 3 = 0
O
y
x A B
C M y =2
(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D)0003x y x y x -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域（如图4所示）时有0
003x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩。

点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。

验证
法或排除法是最效的方法。

习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是
（ ）
A 232600y x y x ≥-⎧
⎪-+>⎨
⎪<⎩ B 232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
C 232600y x y x >-⎧
⎪-+>⎨
⎪≤⎩
D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩
C
五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例
5、在约束条件0
24
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨
+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即
max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D;
点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。

六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点
（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）
C
O
2x – y = 0
y
2x – y + 3 = 0
A 、（-3,6）
B 、（0,6）
C 、（0,3）
D 、（-3,3）
解：|2x －y ＋m|＜3等价于230
230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩
由右图可知33
30
m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C
习题6、不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是 （ ） A ．32<<-m B ．60<<m
C ．63<<-m
D ．30<<m
A
七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例7、已知变量x ，y 满足约束条件14
22x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若
目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。

解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。

则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之
间。

即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。

求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

习题7、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，使
z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为
（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得
最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D
八、研究线性规划中的整点最优解问题
x + y = 5
x – y + 5 = 0
O
y
x
x=3
例8、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足
约
束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解析：如图７，作出可行域，由101010
z z x y y x =+⇒=-+，它
表示为斜率为1-，纵截距为
10
z
的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。

当直线1010z x y =+通过119
(
,)22
A z 取得最大值。

因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。

于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z =
点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

九、求可行域中整点个数
例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)
2
(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x
y
+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪
⎨
-+≤≥⎪⎪--≤⎩
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选C
习题9、不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为
（ ）
A ． 13个
B ． 10个
C ． 14个
D ． 17个 A
x
y
O。