排列组合公式PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
23
例题
C(4,2)-4+C(4,4) × 2=4 C(10,2)-10+C(10,4) × 2=455
C(5,2)-5+C(5,4) × 2=15 24
31
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同 的方式？ 13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个，则 有多少种不同的方式？ 7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++ 5!2! 4!3! 3!4! 2!5! 1!6! 0!7!
32
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。 • 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类
，k个物体属于第二类，… ，k个物体属于 第(k-1)!类。
33
推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r的展开式中有
项
x x k1 k2 12
• 不含1:910 • 含1:1010-910+1
7
放球问题
• 设n≥r，把r个不同的球放入n个不同的盒子， 这里每一盒最多只能装一物，允许空盒。放 球的方法数为多少？
• 第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等 等，乘法原理
• P(n,r)
10
放球问题
• 把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒 中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法 数为多少？
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？
28
例题
• 摇三个不同的骰子的时候，可能的结果的个数是多 少？
• 63=216。 • 如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数
是多少？ • 从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。 • F(6,3)=C(6+3-1,3)=56 • 将r个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？ • F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5)
≥ 3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
26
例题
• 从为数众多的一分币、二分币、一角币和二 角币中，可以有多少种方法选出六枚来？
• F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
27
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒 装糕点？
• n个元素的r-无重排列数： • 排列的长度r • 计算（一般情形）：乘法原理 • r=n时,n个元素的全排列 • r=0时 • r>n时
5
2、可重排列
• n个元素的r-可重排列数 • 计算（乘法原理）
6
例题
• 在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中 ，有多少个数含有数码1？又有多少个数不 含数码1？
4、可重组合
• n个元素的r-可重组合 • 例子 • 计算 • 一一对应的思想
25
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1
全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆 都得使用，问有多少种安排的方法？
14
组合
• 无重组合 • 可重组合 • 从{a,b,c}中选取2个不同元素，选法数是多
少？ • 从{a,b,c}中选取5个元素，元素可以相同，
选法数是多少？
16
3、无重组合（Combination）
• n个元素的r-无重组合数 • 无重组合数与无重排列数的关系 • 计算 • r=0时 • r=n时 • r>n时
• 第一个球有n种选法，第二个球有n种，等等 ，乘法原理
• nr • 这里n和r的大小没有限制
11Βιβλιοθήκη Baidu
例子
• 将3封信向2个信箱投寄，有多少种投寄方 法？
• 23=8 • 无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序
12
例子
• 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多 少种不同的进站方法？
• [6]9=6×7×…×14 • 七部汽车通过五间收费亭的方式数？ • 今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子，
排列组合公式
• 排列组合公式 • 非降路径问题 • 组合恒等式
1
排列与组合
• 从五个候选人中选出两个代表 • 把5本不同的书安排在书架上 • 从五个候选人中选出两个代表时，有10种
可能的结果。 • 把5本不同的书安排在书架上有120种方法 • 选出-组合；安排-排列
2
一、排列组合公式
• 排列问题：从某个集合中有序地选取若干 个元素的问题
1
2 3
1
2 0
3 5
20
例题
• 如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的 内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成 多少条线段？
21
多边形
22
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
29
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
30
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次 数为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数 。
• 求解方法1 • 求解方法2
17
组合数的推广
Cnr
n! r!(n r)!
n(n
1)(n r!
r
1)
n r
R,r Z
r
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
18
计算
1
2 3
• 组合问题：从某个集合中无序地选取若干 个元素的问题
• 注意：可以重复 不能重复
3
排列
• 无重排列 • 可重排列 • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得
每位数字都不同，有多少个？ • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得
不同数位上的数字可以相同，有多少个？
4
1、 无重排列
23
例题
C(4,2)-4+C(4,4) × 2=4 C(10,2)-10+C(10,4) × 2=455
C(5,2)-5+C(5,4) × 2=15 24
31
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同 的方式？ 13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个，则 有多少种不同的方式？ 7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++ 5!2! 4!3! 3!4! 2!5! 1!6! 0!7!
32
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。 • 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类
，k个物体属于第二类，… ，k个物体属于 第(k-1)!类。
33
推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r的展开式中有
项
x x k1 k2 12
• 不含1:910 • 含1:1010-910+1
7
放球问题
• 设n≥r，把r个不同的球放入n个不同的盒子， 这里每一盒最多只能装一物，允许空盒。放 球的方法数为多少？
• 第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等 等，乘法原理
• P(n,r)
10
放球问题
• 把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒 中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法 数为多少？
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？
28
例题
• 摇三个不同的骰子的时候，可能的结果的个数是多 少？
• 63=216。 • 如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数
是多少？ • 从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。 • F(6,3)=C(6+3-1,3)=56 • 将r个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？ • F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5)
≥ 3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
26
例题
• 从为数众多的一分币、二分币、一角币和二 角币中，可以有多少种方法选出六枚来？
• F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
27
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒 装糕点？
• n个元素的r-无重排列数： • 排列的长度r • 计算（一般情形）：乘法原理 • r=n时,n个元素的全排列 • r=0时 • r>n时
5
2、可重排列
• n个元素的r-可重排列数 • 计算（乘法原理）
6
例题
• 在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中 ，有多少个数含有数码1？又有多少个数不 含数码1？
4、可重组合
• n个元素的r-可重组合 • 例子 • 计算 • 一一对应的思想
25
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1
全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆 都得使用，问有多少种安排的方法？
14
组合
• 无重组合 • 可重组合 • 从{a,b,c}中选取2个不同元素，选法数是多
少？ • 从{a,b,c}中选取5个元素，元素可以相同，
选法数是多少？
16
3、无重组合（Combination）
• n个元素的r-无重组合数 • 无重组合数与无重排列数的关系 • 计算 • r=0时 • r=n时 • r>n时
• 第一个球有n种选法，第二个球有n种，等等 ，乘法原理
• nr • 这里n和r的大小没有限制
11Βιβλιοθήκη Baidu
例子
• 将3封信向2个信箱投寄，有多少种投寄方 法？
• 23=8 • 无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序
12
例子
• 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多 少种不同的进站方法？
• [6]9=6×7×…×14 • 七部汽车通过五间收费亭的方式数？ • 今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子，
排列组合公式
• 排列组合公式 • 非降路径问题 • 组合恒等式
1
排列与组合
• 从五个候选人中选出两个代表 • 把5本不同的书安排在书架上 • 从五个候选人中选出两个代表时，有10种
可能的结果。 • 把5本不同的书安排在书架上有120种方法 • 选出-组合；安排-排列
2
一、排列组合公式
• 排列问题：从某个集合中有序地选取若干 个元素的问题
1
2 3
1
2 0
3 5
20
例题
• 如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的 内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成 多少条线段？
21
多边形
22
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
29
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
30
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次 数为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数 。
• 求解方法1 • 求解方法2
17
组合数的推广
Cnr
n! r!(n r)!
n(n
1)(n r!
r
1)
n r
R,r Z
r
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
18
计算
1
2 3
• 组合问题：从某个集合中无序地选取若干 个元素的问题
• 注意：可以重复 不能重复
3
排列
• 无重排列 • 可重排列 • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得
每位数字都不同，有多少个？ • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得
不同数位上的数字可以相同，有多少个？
4
1、 无重排列