数学建模_淋雨模型86221

淋雨量模型

一、问题概述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，

=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v

m

及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论

：

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（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;

（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.

（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）

（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.

（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型

二、问题分析

淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位

面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

可得：

淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①

时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②

由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v

三、模型假设

（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.

=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑

设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v

m

步速度为v；

（参考）

（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；

（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；

（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失

的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；

四、模型求解：

（一）、模型Ⅰ建立及求解：

设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：

S＝2ab+2ac+bc

雨中奔跑所用时间为：

t=d/v

总降雨量

V＝ω×S×d/v

ω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：

S＝2.2（㎡）

V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)

（二）、模型Ⅱ建立及求解：

若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）

设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：

（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：

()v sin u +⋅θ

则前部单位时间单位面积淋雨量为：

u /v sin u ）（+⋅⋅θω

又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v

于是前部淋雨量V 2为 ：

()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a

即：

()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①

（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：

v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②

由①②可算得总淋雨量 :

()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d

代入数据求得：

v

1800v

875.1sin 5.7cos V ⋅++=

θθ

由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角

（θ）两者有关。

对函数V （v ）求导，得：

()

2

v 1800sin 5.7cos V ⋅⋅+-

='θ

θ

显然：V '<0， 所以V 为v 的减函数，V 随v 增大而减小。 因此，速度v=v m =5m/s ，总淋雨量最小。 （Ⅰ）当θ=0，代入数据，解得：

V ＝0.0011527778（m ³）≈1.153（L ）

（Ⅱ）当θ=30°，代入数据，解得：

V ＝0.0014025(m ³)≈1.403（L ）

（三）、模型Ⅲ建立及求解：

若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.（如图2）

设雨从背部吹来时与人体夹角为α， 且0°＜α﹤90°,建立a ，b ，c ，d ，u ，α，ω之间的关系为：

（1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量 V 1 ，它与模型①中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：

()/v cos d c b v /cos b V 1αωαω⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=d c